嚴格半正長方形張量互補問題解的估計

于 雯，凌 晨

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

嚴格半正長方形張量互補問題解的估計

于 雯，凌 晨

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

針對長方形張量，定義了一個連續(xù)正齊次算子和一個常量，證明了長方形張量為嚴格半正的充要條件是此常量為正.在此基礎(chǔ)上，得到了嚴格半正長方形張量互補問題解的上下界.

張量；長方形張量；嚴格半正張量；張量互補問題；解的估計

0 引 言

張量互補問題是線性互補問題[1]的推廣和非線性互補問題的特例，n人非合作博弈問題可被轉(zhuǎn)化成張量互補模型表述并求解[2].自2014年文獻[3]首先提出張量互補問題概念以來，此問題已得到廣泛研究，其中，文獻[4]討論了對稱正定張量、協(xié)正定張量互補問題解的存在性以及可對角化張量互補問題解的唯一性，文獻[5]證明了在一定條件下，求解Z-張量互補問題稀疏解可轉(zhuǎn)化成求解一類目標函數(shù)為線性的多項式規(guī)劃問題，文獻[6]研究了P-張量互補問題解的性質(zhì).長方形張量是更一般的張量，其應(yīng)用更為廣泛.長方形張量的奇異值概念和求解非負長方形張量最大奇異值的交替型算法已由文獻[7]給出.與方形張量互補問題相比，長方形張量互補問題需要求兩個不同向量，所以其求解更困難.本文研究嚴格半正長方形張量互補問題解的估計問題.

1 問題描述及預(yù)備知識

本文考慮一類長方形張量互補問題:求x∈Rn和y∈Rm，使得:

(1)

和

稱滿足式(1)的(x,y)為長方形張量互補問題的解.

xi(Axp-1yq+c)i+yj(Axpyq-1+d)j>0

(2)

(3)

顯然，算子TA連續(xù)且為正齊次.進一步，定義TA的無窮范數(shù)如下:

(4)

(5)

其中dij≥0，則:

1)β(A)≤β(A+D)

證明 1)因A是嚴格半正，易知A+D也是嚴格半正.進一步，由β(A)的定義，知:

從而有:

定理1證畢.

2 解的估計

長方形張量互補問題比方形張量互補問題更復雜，其求解更困難.本節(jié)研究式(1)解的估計.

2.1 解的上界

(6)

進一步，由于(x,y)是式(1)的解，有:

定理2證畢.

2.2 解的下界

(7)

進一步，由TA的定義和定理1，知:

由此，得:

(8)

類似地，可得:

(9)

結(jié)合式(8)和式(9)，證得式(7).定理3證畢.

由定理1的2和定理3，可證得如下推論.

3 結(jié)束語

本文利用嚴格半正張量的相關(guān)算子和β(A)，得到了嚴格半正長方形張量互補問題解的上下界.當m=n且x=y時，本文所考慮問題即為方形張量互補問題，此時所得結(jié)論退化為文獻[8]中已有的結(jié)果.

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[5]LUOZ,QIL,XIUN.TheSparsestSolutionstoMYMZMYM-TensorComplementarityProblems[L/OL]. [2016-06-14].http://arxiv.org/abs/1505.00993.

[6]DINGW,LUOZ,QIL.P-Tensors,PMYM_0MYM-Tensors,andTensorComplementarityProblem[L/OL]. [2016-06-14].http://arxiv.org/abs/1507.06731.

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[8]SONGY,QIL.Onstrictlysemi-positivetensors[L/OL].[2016-07-07].http://arxiv.org/abs/1509.01327.

Estimation of Solutions for Complementarity Problem with Strictly Semi-positive Rectangular Tensor

YU Wen, LING Chen

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

For rectangular tensors, define a continuous positively homogeneous operator and a constant, and prove that the considered rectangular tensor is strictly semi-positive if and only if this constant is positive. On this basis, present some upper and lower bounds of solutions for the complementarity problem with strictly semi-positive rectangular tensor.

tensor; rectangular tensor; strictly semi-positive tensor; tensor complementarity problem; estimation of solutions

10.13954/j.cnki.hdu.2017.02.016

2016-06-20

國家自然科學基金資助項目(11571087)；浙江省自然科學基金重點資助項目(LZ14A010003)

于雯 (1990-),女,遼寧葫蘆島人,碩士研究生，非線性優(yōu)化.通信作者：凌晨教授，E-mail：macling@hdu.edu.cn.

O221.2

A

1001-9146(2017)02-0077-04