淺析“求導(dǎo)法”在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用

湖南省長沙市雅禮中學(xué)(410000)

鐘柏舟●

淺析“求導(dǎo)法”在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用

湖南省長沙市雅禮中學(xué)(410000)

鐘柏舟●

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要概念，通過求導(dǎo)等方法可以對函數(shù)的一系列性質(zhì)例如單調(diào)性，極值等進(jìn)行分析.在高中數(shù)學(xué)的考試過程中導(dǎo)數(shù)問題是一類重要的問題，靈活地運(yùn)用求導(dǎo)法對問題進(jìn)行求解對同學(xué)們數(shù)學(xué)成績的提高有很大幫助.本文對導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)在應(yīng)用題中的應(yīng)用進(jìn)行了探討，并對考試中常見的幾種求導(dǎo)方法進(jìn)行了對比研究.

導(dǎo)數(shù)；求導(dǎo)法；高中數(shù)學(xué)

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要部分，在考試過程中導(dǎo)數(shù)問題十分常見，掌握導(dǎo)數(shù)問題的解題技巧對同學(xué)們學(xué)習(xí)成績的提高有很大幫助.與此同時(shí)求導(dǎo)法解題也是同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中常見的難點(diǎn)，因此本文對求導(dǎo)法在數(shù)學(xué)題上的應(yīng)用進(jìn)行分析和闡述.

一、導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)是微積分?jǐn)?shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，可以表示函數(shù)的斜率等重要性質(zhì).對于一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)來說，f(x)在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示f(x)的曲線在x0點(diǎn)處切線的斜率.對導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義為：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x產(chǎn)生了Δx的增量時(shí)，f(x)相應(yīng)產(chǎn)生Δy的增量.若Δy與Δx的比值Δy/Δx在Δx→0時(shí)存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，記此極限為函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)函數(shù)f′(x0).若某一函數(shù)f(x)在整個(gè)區(qū)間U內(nèi)都可導(dǎo)，在這一區(qū)間內(nèi)f′(x)就形成了一個(gè)新的函數(shù)，稱該函數(shù)為f(x)在區(qū)間U內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的重要性質(zhì)，函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)描述了該函數(shù)在x0處的變化率.若函數(shù)f(x)為實(shí)函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)f′(x0)代表曲線f(x)在x0處的切線的斜率.可導(dǎo)函數(shù)一定是連續(xù)的，但反過來連續(xù)函數(shù)卻不一定可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)許多科學(xué)問題的分析解決中都有重要的應(yīng)用，例如在物理學(xué)中用速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)來定義加速度這一概念.

二、求導(dǎo)法在函數(shù)單調(diào)性判斷上的應(yīng)用

在考試過程中我們經(jīng)常會遇到判斷函數(shù)單調(diào)性或求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題.對這一類問題在傳統(tǒng)上我們需要根據(jù)函數(shù)的特性，畫出函數(shù)的示意圖形.這一過程相對比較復(fù)雜，而且準(zhǔn)確性較差，尤其對于復(fù)雜函數(shù)來說解題難度非常大.但是如果將求導(dǎo)法引入，這類問題的求解將會迎刃而解.根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，對于可導(dǎo)函數(shù)來說若在某一區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)f′(x)大于0，則函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若導(dǎo)函數(shù)f′(x)小于0,則函數(shù)f(x)在這一區(qū)間內(nèi)單調(diào)減小.因而在函數(shù)單調(diào)性問題的判斷上如果我們能夠找到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性特征就可以得到問題的答案.

例題 已知函數(shù)f(x)=2ax3-2x-5在R上為減函數(shù)，求a的取值范圍.

解 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=6ax2-2.因函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)f′(x)=6ax2-2在R上小于0.此時(shí)6ax2-2<0，可以解得a≤0.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)還可以對函數(shù)的極值問題進(jìn)行求解.一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有f′(x0)=0,x0,x>x0時(shí)f′(x)<0，則f(x0)為函數(shù)的極大值；xx0時(shí)f′(x)>0，則f(x0)為函數(shù)的極小值.

例題 求函數(shù)f(x)=x3-6a2x+9(a>0)在R上的極值點(diǎn).

解 對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，f′(x)=3x2-12a2.f′(x)=0時(shí)有x1=-2a,x2=2a.因在(-2a,2a)區(qū)間上f(x)<0,在(-∞，-2a)和(2a,+∞)的區(qū)間上f(x)>0,可知x1=-2a和x2=2a分別為f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).

三、求導(dǎo)法在隱函數(shù)解題中的應(yīng)用

隱函數(shù)是指沒有明確表示成y=f(x)的函數(shù)，y與x之間的關(guān)系用f(x,y)=0來進(jìn)行表示.例如函數(shù)y=3x+7就是顯函數(shù)，而函數(shù)3x2+y3+7=0就是一個(gè)隱函數(shù).隱函數(shù)的求解是高中數(shù)學(xué)中的一大難點(diǎn)，需要我們靈活運(yùn)用求導(dǎo)等手段進(jìn)行解決.對隱函數(shù)的求導(dǎo)方法包括直接求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法，在解題過程中要根據(jù)題目的類型選擇合適的求導(dǎo)方法.下面對這些方法進(jìn)行詳細(xì)的介紹.

對拋物線、橢圓等復(fù)雜隱函數(shù)方程的切線問題的求解是一種常見的題型，在解題過程中可以利用求導(dǎo)法進(jìn)行解決.

例題 已知橢圓曲線ax2+by2=1(a,b>0),求該橢圓上點(diǎn)P(x0,y0)處的切線斜率.

解 對橢圓方程進(jìn)行直接求導(dǎo)得，2ax+2byy′=0，即有y′=-ax/by.將P點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)代入得P點(diǎn)處切線的斜率為k=y0′=-ax0/by0.

對一些復(fù)雜的函數(shù)來說，直接進(jìn)行求導(dǎo)困難較大，可以通過將這類函數(shù)轉(zhuǎn)換成隱函數(shù)，通過對數(shù)求導(dǎo)的方式進(jìn)行求解.

例題 求y=xsinx(x>0)的導(dǎo)函數(shù).

對例題進(jìn)行分析，該函數(shù)的形式比較特殊，直接求導(dǎo)沒有可用的公式定理作為參考.因?yàn)閤>0，函數(shù)兩側(cè)恒大于0.可以對函數(shù)兩側(cè)同時(shí)取對數(shù)，然后再進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算.

解 由于x>0,觀察函數(shù)可知y>0.對函數(shù)兩側(cè)同時(shí)取對數(shù)，有l(wèi)ny=lnsinx+lnx.對這一函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，y′/y=cosx/sinx+1/x，化簡可得y′=xsinx(cosx/sinx+1/x)=xcosx+sinx.

綜上所述，通過這些應(yīng)用實(shí)例可以看到導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解析中用途廣泛，通過求導(dǎo)法的運(yùn)用可以明顯降低解題難度，提高解題效率.本文對隱函數(shù)的求導(dǎo)方法也進(jìn)行了簡單的介紹，尤其是提出可以用對數(shù)求導(dǎo)等特殊的求導(dǎo)方式對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求解.

[1]楊森林.求導(dǎo)數(shù)法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2003(7):44-45

[2]韋洲.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J].新課程:中學(xué)，2014(10):87-87

[3]關(guān)春英.淺析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索[J].讀寫算:教育教學(xué)研究，2010(11)

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1008-0333(2017)01-0061-01