“分?jǐn)?shù)是什么，怎么教”的研究報(bào)告

□ 高子林

“分?jǐn)?shù)是什么，怎么教”的研究報(bào)告

□ 高子林

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。經(jīng)過長期的教學(xué)改革，分?jǐn)?shù)教學(xué)始終沒能有效幫助學(xué)生解決“量”與“率”的科學(xué)建構(gòu)。從“率”入手的教學(xué)偏向于知識的“順應(yīng)”，是“開一口新井”；從“量”入手的教學(xué)是“在老井里打水”，更加重視知識的“同化”。本報(bào)告試圖從數(shù)學(xué)的知識邏輯、學(xué)生的認(rèn)知邏輯和教師的教學(xué)邏輯中，找尋突破分?jǐn)?shù)教學(xué)困境的路徑——先用“平均除”引入作為量的分?jǐn)?shù)，然后用“倍數(shù)除”引入作為率的分?jǐn)?shù)，再構(gòu)建完整的“商定義”與“份定義”兼顧的分?jǐn)?shù)概念。

分?jǐn)?shù) 學(xué)情 經(jīng)驗(yàn) 教學(xué)改進(jìn)

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。經(jīng)過長期的教學(xué)改革，分?jǐn)?shù)教學(xué)始終沒能有效幫助學(xué)生解決“量”與“率”的科學(xué)建構(gòu)，令類似“一根鐵絲長2米，平均分成4份，每份長（）米，每份占全長的（）”這樣的高錯(cuò)誤率問題長期困擾一線教師。原因是什么？是學(xué)生的心智不夠成熟引起的嗎？是教師的教法不夠機(jī)智引起的嗎？是教材的編排不夠科學(xué)引起的嗎？如果學(xué)生的心智能夠接受分?jǐn)?shù)，那么問題一定出在教材或教師的身上。本報(bào)告試圖打開這個(gè)“心結(jié)”。

一、內(nèi)容解讀

分?jǐn)?shù)是什么？要講清它，我們首先要了解一件很重要的事件——“量的度量”——“在度量的時(shí)候，得出一個(gè)數(shù)，它表示一已知量所含度量單位的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)叫作該量的數(shù)值……一般說起來，量A如果用度量單位B去度量，如果不是整數(shù)倍數(shù)時(shí)，度量的結(jié)果便不能用整數(shù)來表示。我們便把B分為n等份，取其中的一等份作度量單位而去量它的剩余部分。假如剛好量m次量盡了，那么量A的剩余部分的度量結(jié)果用來表示所產(chǎn)生的新數(shù)。這新數(shù)叫作分?jǐn)?shù)，數(shù)m叫作分子而數(shù)n叫作分母”。而類似于“度量”的情況，也可能在“分物”時(shí)出現(xiàn)，而且統(tǒng)統(tǒng)都是“平均除”解決問題的過程——“分?jǐn)?shù)的真正來源，在于自然數(shù)除法的推廣”。因此，人教版教材在“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生”一節(jié)中就講到“在進(jìn)行測量、分物或計(jì)算時(shí)，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時(shí)常用分?jǐn)?shù)來表示”。這也可能是北師大版教材在“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)中，會有“用紙條量數(shù)學(xué)書的長寬”“豬八戒分餅”“分?jǐn)?shù)與除法”等專題的道理。

分?jǐn)?shù)有一種十分流行的定義：“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。”這正是目前所編教材所采用的觀點(diǎn)，即所謂的份數(shù)定義。

但是，分?jǐn)?shù)的本質(zhì)卻是“分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商”（商定義），或“分?jǐn)?shù)是整數(shù)q與整數(shù)p（p≠0）之比”（比定義）。由此看，分?jǐn)?shù)的“份數(shù)定義”其實(shí)就是“比定義”的一部分（部分和整體的比）。

“比的定義和商的定義相近，值相同，表達(dá)的方式不同。在教學(xué)處理上，第一階段的分?jǐn)?shù)教學(xué)，先出份數(shù)的定義，然后過渡到商定義”?，F(xiàn)行教材，基本上就是按照這樣的邏輯展開的，因而大同小異。如下表。

認(rèn)識1蘇教版份數(shù)意義認(rèn)識2 §1份數(shù)定義§2商定義（分?jǐn)?shù)與除法）認(rèn)識3人教版份數(shù)意義§1分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生§2份數(shù)定義§3 商 定 義（分?jǐn)?shù)與除法）比定義（除法、分?jǐn)?shù)與比）北師大版份數(shù)意義§1份數(shù)定義§2份數(shù)定義（測量）§3份數(shù)定義（分物）§4商定義（分?jǐn)?shù)與除法）比定義（除法、分?jǐn)?shù)與比）比定義（除法、分?jǐn)?shù)與比）

二、學(xué)生研究

現(xiàn)行教材中，用份數(shù)來定義分?jǐn)?shù)，有不少缺點(diǎn)。比如圖1，學(xué)生會看到什么分?jǐn)?shù)呢？

圖1

調(diào)查結(jié)果如下表：

?

可見，“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)”只揭示出了“部分與整體的關(guān)系”，常常讓學(xué)生誤解為分?jǐn)?shù)總是小于1。同時(shí)，用份數(shù)來定義分?jǐn)?shù)，也容易讓學(xué)生將分?jǐn)?shù)與商對立起來，不僅“矮化”了分?jǐn)?shù)概念，而且“鈍化”了除法思維。比如在筆者組織的一項(xiàng)調(diào)查中，面對“把8個(gè)月餅平均分成4份，每份是（ ）個(gè)，每份占總數(shù)的（ ）”，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前的二年級學(xué)生和學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之后的四年級學(xué)生，出現(xiàn)了令人匪夷所思的結(jié)果——

二年級四年級六年級每份是（ ）個(gè)正確率91.9%正確率22.6%正確率90.9%每份占總數(shù)的（ ）正確率8.1%正確率51.6%正確率87.9%

四年級學(xué)生雖然對“率”的理解水平在上升，但對“量”的理解水平卻出現(xiàn)了明顯下降，而到六年級又大為改善。為什么會這樣？筆者發(fā)現(xiàn)，除了“兩個(gè)相近問題出現(xiàn)了相互干擾”外，還大致與學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和思維方式相關(guān)——

二年級學(xué)生采用“自然數(shù)除法”思考：把8個(gè)月餅平均分成4份，每份都是2個(gè)。

四年級學(xué)生試圖用“份數(shù)定義”思考“數(shù)量”：把8個(gè)月餅看作一個(gè)整體，平均分成4份，每份是4分之一個(gè)（筆者注：分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義與自然數(shù)除法“打了架”）。

六年級學(xué)生用“商定義”或“比定義”的方式進(jìn)行思考：把8個(gè)月餅平均分成4份，每份是8個(gè)除以4份等于2個(gè)，也是2個(gè)除以8個(gè)等于總數(shù)的4分之一（筆者注：這是數(shù)量比的方法），或者1份除以4份等于總數(shù)的4分之一（筆者注：這是份數(shù)比的方法）。

由此，我們是不是可以這樣說，分?jǐn)?shù)的“份數(shù)定義”從某種意義上講，是橫亙在學(xué)生基于“平均分思想（自然數(shù)除法）”將自然數(shù)自發(fā)擴(kuò)展至有理數(shù)的巨石，令學(xué)生不能從一開始就有效建構(gòu)“分?jǐn)?shù)”與“除法”的因果聯(lián)系。

三、經(jīng)驗(yàn)回顧

近二十年來，教育界對待分?jǐn)?shù)教學(xué)的主流策略是從“率”入手——對一個(gè)整體平均分后用“部分與整體的份數(shù)關(guān)系”定義分?jǐn)?shù)，再逐步溝通“分?jǐn)?shù)與除法、分?jǐn)?shù)與比的關(guān)系”。這也是現(xiàn)行教材的特點(diǎn)。而小眾做法是從“量”入手，雖然也用“份數(shù)關(guān)系”定義分?jǐn)?shù)，但表征的是分物或測量時(shí)不能用整數(shù)表示部分的數(shù)量，再逐步溝通“分?jǐn)?shù)與除法、分?jǐn)?shù)與比的關(guān)系”。兩者雖然各有千秋，但均是圍繞分?jǐn)?shù)的“份數(shù)定義”展開的。

（一）由“率”入手的設(shè)計(jì)（邱向理：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識）

從激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)切入，通過操作活動(dòng)提升為活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識——把一個(gè)蘋果平均分成兩份，其中的一份可以用表示；把一張紙平均分成兩份，其中的一份可以用表示；把一張紙平均分成四份，其中一份可以用表示……學(xué)生新認(rèn)識的分?jǐn)?shù)是一種以“率”的身份存在的數(shù)。

師：佳佳和弟弟有一個(gè)蘋果，你猜他們怎樣分著吃？

……

生：可能一人一半分吃了。

師：（把一個(gè)蘋果平均分成兩份）你能用一個(gè)數(shù)表示一個(gè)蘋果的一半嗎？（二分之一；1的一半；0.5；

師：選一張紙（長方形、正方形、圓形、正三角形），折出這張紙的。

師：哪個(gè)不是二分之一？（略）

師：選一張紙（長方形、正方形、圓形、正三角形），折出這張紙的。

……

（二）由“量”入手的設(shè)計(jì)（朱國榮：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識）

按照認(rèn)識自然數(shù)的邏輯順序，組織學(xué)生以平均分為基礎(chǔ)認(rèn)識表示數(shù)量的分?jǐn)?shù)，并滲透分?jǐn)?shù)表示部分與整體關(guān)系的含義——把8個(gè)月餅平均分成4份，其中1份有2個(gè)；把1個(gè)月餅平均分成4份，其中1份的大小是個(gè)；把1個(gè)月餅平均分成3份，其中1份的大小是個(gè)……學(xué)生新認(rèn)識的分?jǐn)?shù)是一種以“量”的身份存在的數(shù)。

師：把8個(gè)月餅平均分給4人，每人分得幾個(gè)？（略）

師：把9個(gè)月餅平均分給4人，結(jié)果是什么？生：每人2個(gè)，多1個(gè)。

生：每人2個(gè)，最后1個(gè)分成4份。

師：老師也分成了4份，你們同意這樣分嗎？

生：不同意。要平均分。

師：他說要平均分，你們明白他的意思嗎？是不是這樣？

師：我們把這個(gè)餅平均分成了4份。那一個(gè)人吃多少個(gè)呢？（生上來指出其中的1份）

師：這一份如果要用一個(gè)數(shù)來表示，你會怎么表示？

師：4位小朋友有4種不同的寫法，你贊同哪一種，為什么？

生：我覺得半個(gè)的半個(gè)也可以，就是寫起來比較麻煩。

生：最后一個(gè)寫倒了。

師：寫“一塊”行不行？

生：寫“一塊”是不行的，如果寫“一塊”，我們不知道這一塊有多大。

師：這個(gè)數(shù)讀作四分之一，是我們今天這節(jié)課要認(rèn)識的一種新的數(shù)——分?jǐn)?shù)。

師：把1個(gè)月餅平均分成3份，每份是（）個(gè)月餅。（略）把1個(gè)月餅平均分成5份，每份是（）個(gè)月餅。（略）

……

四、教學(xué)改進(jìn)

雖然上面兩位教學(xué)專家都利用“份數(shù)定義”指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)，但是，從學(xué)的角度講，從“率”入手的設(shè)計(jì)偏向于知識的“順應(yīng)”，是“開一口新的井”；而從“量”入手的設(shè)計(jì)是“在老井里打水”，更加重視知識的“同化”。這是因?yàn)閷W(xué)生之前一直學(xué)習(xí)“自然數(shù)除法”，對于“量”的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)認(rèn)知明顯多于“率”，從“量”入手進(jìn)行分?jǐn)?shù)教學(xué)，就是像自然數(shù)那樣學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，更容易進(jìn)入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這也吻合分?jǐn)?shù)的起源。從“量”入手既代表了小學(xué)數(shù)學(xué)界對“生本課堂”的追求，也預(yù)示了分?jǐn)?shù)教學(xué)改革的趨勢。

從“量”入手，已經(jīng)距離“用分?jǐn)?shù)表示商”不遠(yuǎn)。我們能不能以“自然數(shù)除法”為依托再向前推進(jìn)一步，采用“商的擴(kuò)展”（商定義）方式組織分?jǐn)?shù)教學(xué)呢？有專家也曾說過：從知識銜接的角度，建議可在有關(guān)實(shí)物均分的整體與部分的例子中增加若干運(yùn)用到簡單除法運(yùn)算的例子，從而引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，一方面顯示分?jǐn)?shù)就是除法運(yùn)算的結(jié)果，另一方面幫助學(xué)生將分?jǐn)?shù)從具體事物中抽象出來。

從學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和知識儲備看，他們有豐富的“平均除”和“倍數(shù)除”經(jīng)驗(yàn)，尤其是“平均除”，具有在原有整數(shù)商的基礎(chǔ)上建構(gòu)分?jǐn)?shù)商的基礎(chǔ)。

從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，如果拋開分?jǐn)?shù)的公理化定義，分?jǐn)?shù)的商定義和比定義涵蓋作為量的分?jǐn)?shù)和作為率的分?jǐn)?shù)，外延較之份數(shù)定義要大。如下圖。

筆者認(rèn)為：把從“量”入手認(rèn)識分?jǐn)?shù)的策略進(jìn)一步推向前進(jìn)，引入分?jǐn)?shù)的“商定義”，同時(shí)兼顧“份數(shù)定義”，可以更好地幫助學(xué)生“同化”和“建構(gòu)”分?jǐn)?shù)，實(shí)現(xiàn)有理數(shù)認(rèn)識的自然生長。具體做法是：先用“平均除”引入作為量的分?jǐn)?shù)，然后用“倍數(shù)除”引入作為率的分?jǐn)?shù)，再構(gòu)建完整的“商定義”與“比定義”兼顧的分?jǐn)?shù)概念。

（一）“認(rèn)識分?jǐn)?shù)（量）”的新設(shè)計(jì)（在朱國榮團(tuán)隊(duì)研究成果上改進(jìn)，見表1）

表1

（二）“認(rèn)識分?jǐn)?shù)（率）”的新設(shè)計(jì)（在朱國榮團(tuán)隊(duì)研究成果上改進(jìn)，見表2）

雖然從最終獲得知識的結(jié)果看，分?jǐn)?shù)的教學(xué)無論是“先率再量”還是“先量再率”，無論是“先份數(shù)定義，再擴(kuò)展到商定義”還是“商定義兼顧份數(shù)定義”，殊途同歸，似乎并沒有多大差別。但是，從學(xué)生的認(rèn)識邏輯看，意義卻是非同凡響的——前者，以知識為本，學(xué)習(xí)方式以順應(yīng)為主；后者，以學(xué)生為本，學(xué)習(xí)方式以同化為主。在尊重認(rèn)知規(guī)律、倡導(dǎo)生本課堂的今天，我們或許更應(yīng)該考慮后者。

表2

[1]張奠宙，孔凡哲，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]趙登明.分?jǐn)?shù)教學(xué)[M].鄭州：河南人民出版社，1964.

[3]吳衛(wèi)東，邱向理.小學(xué)數(shù)學(xué)典型課示例[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2005.

[4]張春莉，吳正憲.讀懂中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

[5]楊佑清.教學(xué)論新編[M].北京：人民教育出版社，2011.

[6]章敏.關(guān)于分?jǐn)?shù)教學(xué)的思考[J].課程·教材·教法，2015，（03）.

[7]朱國榮.像教自然數(shù)那樣教分?jǐn)?shù)[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2015，（07）.

（浙江省海寧市仰山小學(xué) 314400）