“一題多解”突破難點(diǎn)

陸劍雪

摘要：教學(xué)實(shí)踐與思辨表明，重視微觀方面的教學(xué)設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)有效教學(xué)的充要條件，而一題多解是微觀教學(xué)設(shè)計(jì)的重要思維訓(xùn)練形式。通過(guò)不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題從發(fā)現(xiàn)到解決的全過(guò)程，注重引導(dǎo)學(xué)生從多種解法中解決難點(diǎn)，找出最簡(jiǎn)捷、最巧妙的解法，體驗(yàn)成功的喜悅，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，提高學(xué)生思維的品質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)，形成并發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。

關(guān)鍵詞：一題多解；知識(shí)脈絡(luò)；創(chuàng)新意識(shí)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）07-0021

所謂“一題多解”，是指通過(guò)不同的思維途徑，采用多種解題方法解決同一個(gè)問(wèn)題的教學(xué)方法。二十多年的教學(xué)實(shí)踐與教學(xué)反思總結(jié)都表明，一題多解不僅是激發(fā)學(xué)生興趣、開(kāi)拓思路、提升思維品質(zhì)、靈活應(yīng)變，讓學(xué)生形成解決問(wèn)題能力的基本策略，而且能讓學(xué)生體驗(yàn)解決問(wèn)題時(shí)策略選擇的多樣性，發(fā)展他們的實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力。本文擬就一題多解在初中數(shù)學(xué)教學(xué)微型設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，做一些課堂有效教學(xué)的實(shí)踐和探索。

一、設(shè)計(jì)一題多解，打開(kāi)數(shù)學(xué)大門

在由簡(jiǎn)入繁、循序漸進(jìn)的數(shù)學(xué)殿堂中，每一領(lǐng)域都有一扇虛掩的大門，等待我們?nèi)ラ_(kāi)啟。七年級(jí)學(xué)生剛學(xué)幾何的推理論證時(shí)，總會(huì)很不習(xí)慣。這是由于幾何所研究的對(duì)象、過(guò)程、思維方式、語(yǔ)言的表達(dá)都與代數(shù)有較大的區(qū)別，并且?guī)缀握Z(yǔ)言是人們從長(zhǎng)期的實(shí)踐中提煉而成的，具有概括性、抽象性、邏輯性較強(qiáng)等特點(diǎn)。為此，面對(duì)問(wèn)題，如果能引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去思考，就能把學(xué)生的好奇心轉(zhuǎn)化為求知欲，讓他們興致勃勃地去推開(kāi)幾何殿堂的大門。

例題：如圖所示，直線MN分別和直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)G，H，P，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，試問(wèn)：AB與EF平行嗎？為什么？

分析：首先，掃除三線八角中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角幾何入門的第一道門檻，總結(jié)三類角的特點(diǎn)，關(guān)鍵先找“截線”，再把復(fù)雜圖形基本化（F形、Z形、U形），運(yùn)用定義識(shí)別。然后分析要想得到AB∥EF，可以從問(wèn)題的結(jié)果出發(fā)，思考學(xué)習(xí)過(guò)的判斷兩條直線平行的方法有哪些，讓學(xué)生回想學(xué)過(guò)的五種方法，也培養(yǎng)學(xué)生思維的流暢性，并滲透分析法。需滿足條件∠1=∠EPM，或者∠AGP=∠GPF，或者∠AGP+∠GPE=180°，或者（利于平行的傳遞性）先證AB∥CD，再證CD∥EF，所以可得AB∥EF。因此，這四種方法進(jìn)行解答，并且四種方法靈活運(yùn)用。還有平行線定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，平行線的定義法一般不常用。

解：AB∥EF，理由

方法1：

∵∠1=∠2 ∠2+∠3=180°（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代換）

又∵∠3+∠EPM=180°（鄰補(bǔ)角定義）

∴∠1=∠EPM（等式性質(zhì)）

∴AB∥EF（同位角相等，兩直線平行）

方法2：

∵∠3=∠MPF（對(duì)頂角相等）

∠2+∠3=180°（已知）

∴∠MPF+∠1=180°（等量代換）

又∵∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠MPF=180°（等量代換）

又∵∠1+∠AGP=180°（鄰補(bǔ)角定義）

∴∠AGP=∠MPF（等式性質(zhì)）

∴AB∥EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

方法3：

∵∠1=∠2 ∠2+∠3=180°（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代換）

又∵∠1=∠BGP ∠3=∠GPF（對(duì)頂角相等）

又∵∠BGP+∠GPF=180°（等量代換）

∴AB∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

方法4：

∵∠2=∠CHM（對(duì)頂角相等）

∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠CHM（等量代換）

∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）

又∵∠3=∠HPF（對(duì)頂角相等）

∠2+∠3=180°（已知）

∴∠2+∠HPF=180°（等量代換）

∴CD∥EF （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

∴ AB∥EF（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

此例中，一看到探究平行線，馬上想起一系列角的等量關(guān)系，這種條件反射的建立，是最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一。一題多解表現(xiàn)為依據(jù)定義、定理、公式和已知條件，思維朝著各種可能的方向擴(kuò)散前進(jìn)，不局限于既定的模式，從不同的角度尋找解決問(wèn)題的各種途徑，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。在此，一題多解也讓學(xué)生享受了成功的喜悅。適時(shí)的引導(dǎo)啟發(fā)也讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)幾何有趣、不難。

二、運(yùn)用一題多解，驅(qū)散畏難情緒

領(lǐng)進(jìn)數(shù)學(xué)大門，是成功的第一步。但客觀地說(shuō)，數(shù)學(xué)的確有不少難題，甚至在一些同學(xué)看來(lái)，這些難題簡(jiǎn)直是一座座不可逾越的大山。所謂“難者不會(huì)”，如何通過(guò)一題多解的教學(xué)設(shè)計(jì)驅(qū)散畏難者的消極情緒，幫助他們重拾信心，變成“會(huì)者不難”，是我們要研究的另一大課題。

小學(xué)解應(yīng)用題，學(xué)生學(xué)了五、六年的算術(shù)解法，已經(jīng)習(xí)慣于算術(shù)法，是逆向思考；而初中解應(yīng)用題，學(xué)生學(xué)習(xí)列方程法，是正向思考，思路上不一定轉(zhuǎn)得了彎。盡管強(qiáng)調(diào)：列方程解應(yīng)用題要求“分析題意、找出等量關(guān)系、據(jù)此列出方程”，但這種強(qiáng)調(diào)對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，把等量關(guān)系復(fù)雜化了，常常是一旦思維受阻，就一籌莫展，易產(chǎn)生畏懼心理。

為此，列方程的實(shí)質(zhì)說(shuō)成：在題目描述的過(guò)程中，先隨便“拉出”一個(gè)量，根據(jù)題意用兩種不同的方法表示“它”，中間用“等號(hào)”連接，方程即列成。這樣，若能進(jìn)行策略開(kāi)放，經(jīng)常對(duì)一些問(wèn)題從不同角度思考，得出多種解法，可以幫助同學(xué)們開(kāi)拓思維。再遇思維受阻時(shí)，進(jìn)行換位思考，便也能茅塞頓開(kāi)，拿出解題策略，勢(shì)如破竹，使學(xué)生感到列方程是唾手可得的事情。

最后，歸納出列方程解應(yīng)用題的解題方法，若一量為所求量（設(shè)為未知數(shù)），另一量給出的數(shù)值較具體，則選擇第三量列出方程，即一量設(shè)，一量已知，一量列方程。這使學(xué)生在解應(yīng)用題時(shí)思路更明確清晰，從而能快捷地列出方程。

列方程解應(yīng)用題，是整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也可以說(shuō)是難點(diǎn)。因此，起始課教學(xué)讓學(xué)生掌握好它的原理、方法及實(shí)質(zhì)則顯得十分重要。教學(xué)設(shè)計(jì)要符合初中生的認(rèn)知水平，一個(gè)合適量的“拉出”，衍生了問(wèn)題的一系列的不同解法，同時(shí)，歸納出列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，使學(xué)生的思維始終處于活躍狀態(tài)。他們不僅充分利用已知解決未知，并且在解決未知的過(guò)程中，有效地拓展了思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，從而培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

有了成功的嘗試，學(xué)生再次見(jiàn)到難題就會(huì)從容得多、自信得多。當(dāng)然，這種“成功”一定是學(xué)生經(jīng)過(guò)努力體驗(yàn)到的“成功”，而不是看教師演示出的“成功”。

三、掌握一題多解，融通知識(shí)脈絡(luò)

許多章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)中都有“熟練掌握”基本知識(shí)的要求，與此相配套的強(qiáng)化訓(xùn)練往往會(huì)形成思維定勢(shì)。思維定勢(shì)固然有其積極的意義，但也會(huì)產(chǎn)生消極作用，表現(xiàn)為思考問(wèn)題常常傾向于某種固定的模式，思維不夠靈活。所以，尋求多種解題方法，有助于消除思維定勢(shì)的消極作用，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、形成體系，便于活學(xué)活用，爭(zhēng)取更大的進(jìn)步。

在不同的教學(xué)階段，證明同一個(gè)命題的方法越來(lái)越優(yōu)化，這不僅能幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)，而且有助于學(xué)生更好地把握知識(shí)的脈絡(luò)。

尤其有效的是在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，善于多方位思考，探究一題多解，最有利于學(xué)生掌握和鞏固知識(shí)，把已經(jīng)差不多遺忘的知識(shí)點(diǎn)重新建立起來(lái)，挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，向“少、精、活”探索，既能提高解題速度，又能有目的地把各類知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，達(dá)到溫故而知新的目的，逐步提高認(rèn)知的層次，從低級(jí)到高級(jí)的螺旋式上升，實(shí)現(xiàn)一題多解意義的延伸。

四、尋求一題多解，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

人才的培養(yǎng)不只是讓他們掌握已有的知識(shí)技能，更高的目標(biāo)在于培養(yǎng)他們的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新意識(shí)。在教學(xué)實(shí)踐中，注重產(chǎn)生結(jié)論的過(guò)程教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探索一道題目的多種解法，既可以增強(qiáng)學(xué)生解題的信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。要做到一題多解，教師就要利用典型、生動(dòng)的事例激發(fā)學(xué)生的“求異動(dòng)機(jī)”，有意識(shí)地安排一些靈活多變的練習(xí)，在引導(dǎo)學(xué)生掌握了基本的、規(guī)律性的解題思路的同時(shí)抓住各部分知識(shí)間的聯(lián)系及方法間的聯(lián)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同領(lǐng)域去探索解題方法。

為了尋求一種新的解（證）法，學(xué)生往往冥思苦想，反復(fù)琢磨，百思不得其解?？梢坏╊I(lǐng)悟，解（證）法卻又那樣出人意料。通過(guò)尋求新的解（證）法，學(xué)生既體驗(yàn)到“山窮水盡疑無(wú)路”的艱辛，又品嘗到“柳暗花明又一村”的驚喜，從而激起他們更加強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)熱情。有的同學(xué)課后繼續(xù)探究新的解題方法，由被動(dòng)轉(zhuǎn)為主動(dòng)，從厭學(xué)變?yōu)闃?lè)學(xué)、好學(xué)。相信以后再遇到其他題目，他們也會(huì)不滿足于一種解法，不斷尋找最簡(jiǎn)捷、最巧妙的解法，通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題從發(fā)現(xiàn)到解決的全過(guò)程，享受成功的喜悅，并能從中形成、強(qiáng)化創(chuàng)新意識(shí)。

借鑒前人理論可知，解法探究作為數(shù)學(xué)有效教學(xué)的重要途徑，就是要讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，改進(jìn)學(xué)習(xí)方式、方法，既善于聽(tīng)講，又適應(yīng)變式、樂(lè)于探究，從而使興趣得到培養(yǎng)、情操得到陶冶、智力得到開(kāi)發(fā)、素質(zhì)得到提高，從根本上促進(jìn)學(xué)生的進(jìn)步和發(fā)展。

二十多年的基礎(chǔ)課堂教學(xué)實(shí)踐又證明，一題多解的教學(xué)微設(shè)計(jì)要求教師做好引導(dǎo)啟發(fā)，同時(shí)竭力鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考、積極探索，可以促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，理解并且掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及其應(yīng)用，感悟并熟悉數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生學(xué)得更明、更好、更深；可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)了好的思考方法，提升了學(xué)習(xí)能力，達(dá)到了不需要教的境界，學(xué)生學(xué)得更多、更快、更強(qiáng)。

數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的實(shí)踐和探索還在不斷深入，而一題多解的教學(xué)設(shè)計(jì)將永不落幕。它會(huì)不斷散發(fā)出神奇的魅力，感召我們的數(shù)學(xué)課堂探微知著，一探到底。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區(qū)蘆墟初級(jí)中學(xué) 215200）