高中數(shù)學課標卷函數(shù)導數(shù)部分解題策略

侯福紅

【摘 要】基于函數(shù)導數(shù)在高中數(shù)學新課標卷中占據(jù)分數(shù)份額較大，而學生在學習過程中又由于多種原因陷入學習困境的情況。針對函數(shù)導數(shù)部分內(nèi)容，作詳細的解題策略研究，在當前高中數(shù)學教學中具有重要的現(xiàn)實意義。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；函數(shù)；導數(shù)

引言

數(shù)學作為一門科學，在許多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，同時也在高中教育中占據(jù)核心地位。導數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是高中數(shù)學的重要組成部分，是每一年的高考重點關(guān)注的對象，占據(jù)分數(shù)頗大。但是，在具體教學過程中，許多高中生因為不同因素導致學習遭遇困境，尤其是在函數(shù)導數(shù)部分學習極為坎坷，因此，本文就高中數(shù)學中的函數(shù)導數(shù)部分內(nèi)容，實例分析解題技巧和策略。

一、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值

函數(shù)的單調(diào)性即該函數(shù)在一定范圍的圖象曲線的走向，若函 數(shù)圖象曲線向上，則為單調(diào)遞增，反之則為單調(diào)遞減。一個函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)聯(lián)系緊密，定理如下：在區(qū)間（a，b）內(nèi)，若f′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若若f′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

例1：已知三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4

（1）求函數(shù)y=f（x）的表達式

（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值

解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c得f′（x）=3x2+2ax+b

由題意得x=1和x=-1是f′（x）的根，得a=0，b=-3

由f（-2）=-4得c=-2

所以f（x）=x3-3x-2

（2）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）

當x<-1時，f′（x）>0

當x=-1時，f′（x）=0

當-1

當x=1時，f′（x）=0

當x>1時，f′（x）>0

所以，f（x）在區(qū)間[-∞，-1]上為增函數(shù)；在[-1，1]上是減函數(shù)；在[1，+∞]上是增函數(shù)。函數(shù)f（x）的極大值是f（-1）=0，極小值是f（1）=-4。

在例1中，第二個問題即求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，我們可以很容易從例子中看出，當函數(shù)的導數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)大于零時，函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；相應(yīng)的，當函數(shù)的導數(shù)在某已區(qū)間內(nèi)小于零時，函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減。因此，在解題過程中， 當學生遇到求函數(shù)的單調(diào)性以及極值的時候，可以利用求導的方式求出該函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)判斷其單調(diào)性和極值。

二、利用導數(shù)求函數(shù)的最值

函數(shù)的極小值和極大值與函數(shù)的最大值和最小值是兩個不同的概念。極小或極大值都是反映函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)。也就是說，極小值和極大值不能代表函數(shù)的最大值和最小值。但是在求函數(shù)的最大值和最小值的過程中，卻需要借助極小值和極大值。

例2：求f（x）=y=x4-8x2+2在[-1，3]上的最值

解：由y=x4-8x2+2得y′=4x3-16x=4x（x-2）（x+2）

令y′=0，得x=0，x=2，x=-2

代入得F（0）=2，f（2）=-14，f（-1）=-5，f（3）=11

由于x=-2不在區(qū)間[-1，3]中，因此不予考慮。

所以f（x）在區(qū)間[-1，3]中的最小值為f（2）=-14，最大值為f（3）=11。

一般情況下，求某一個函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的最值，可先求出該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值，再將求出的各極值與該函數(shù)在端點處的函數(shù)值比較，最大的則為函數(shù)的最大值，最小的則為函數(shù)的最小值。

三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

構(gòu)造函數(shù)簡單來說就是一種解題方法，是基于具體數(shù)學題目，構(gòu)造符合題目的函數(shù)模型，并通過該函數(shù)模型解決數(shù)學題目的方法。在解題過程中通過構(gòu)造函數(shù)方法可以有效得出答案，如應(yīng)用于證明不等式中。

例3：已知函數(shù)f（x）=x2/2-ax+（a-1）㏑x，a>1.

（1）略

（2）證明；若a<5，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有 f（x1）-f（x2）/x1-x2>-1。

解：f'（x）=x﹣a+（a-1）/x=（x2-ax+a-1）/x=（x-1）（x+1-a）/x

g（x）=f（x）+x=x2/2-ax+（a-1）㏑x+x

∴g'（x）=x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）=1-（-1）2

∵1

∴g'（x）>0，即g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增

∴當x1>x2>0時，g（x1）-g（x2）>0

故f（x1）-f（x2）/x1-x2>-1

當0-1。

例3中，如果只是按照常規(guī)思路進行解題，難度較大，但是通過構(gòu)造函數(shù)g（x）解題，很大程度上降低了解題難度。

四、注意事項——定義域

在利用導數(shù)研究函數(shù)的過程中， 無論是求極值還是最值，亦或是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或者研究函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意申清題目，看清楚題目中的定義域。搞混、弄錯或者直接忽略定義域，都將導致學生解題錯誤。因此，同學們在解題之前應(yīng)認真審題，嚴格按照題目要求進行解題，不得混淆題目意思，不得馬虎了事。

結(jié)束語

導數(shù)是微積分的核心內(nèi)容，是高中數(shù)學不可或缺的內(nèi)容體系。導數(shù)作為一種工具，是高中鑄錯知識的交匯點，在解決函數(shù)等問題時發(fā)揮了非常優(yōu)越的作用，是研究函數(shù)、解決函數(shù)問題的最主要、最有效的工具[2]。因此，在高中數(shù)學教學中，應(yīng)重視導數(shù)的教學，通過例題講解將導數(shù)以及相關(guān)概念與具體解題過程聯(lián)系起來，充分發(fā)揮導數(shù)的工具性作用，從而改善學生學習函數(shù)時遭遇的困境，提高學生學習效果。

【參考文獻】

[1]付禹.高中生學習導數(shù)及其應(yīng)用時的困難點研究[D].東北師范大學，2015

[2]楊曉轉(zhuǎn).普通高中“導數(shù)及其應(yīng)用”教學設(shè)計研究[D].西北師范大學，2014