數(shù)列問題的分析與研究

葉犇宇

摘要：數(shù)列問題，不僅對(duì)高中數(shù)學(xué)來說舉足輕重，是高考數(shù)學(xué)壓軸大題，更是進(jìn)入大學(xué)后高等數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)問題的基礎(chǔ)。數(shù)列問題，可以同時(shí)蘊(yùn)含了遞歸、放縮、因式分解、數(shù)學(xué)歸納等數(shù)學(xué)思想方法，多種思想摻雜在一起，導(dǎo)致數(shù)列問題難度很大，同時(shí)解法百花齊放。通過3個(gè)例題，從易到難分別介紹函數(shù)與數(shù)列問題的求解、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用、歐拉級(jí)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用，并對(duì)數(shù)列問題的解法進(jìn)行總結(jié)，提出針對(duì)數(shù)列問題的想法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列 歐拉級(jí)數(shù) 研究與應(yīng)用

數(shù)列問題，可以和很多高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)交叉，如數(shù)列與函數(shù)、方程相結(jié)合問題，數(shù)列與不等式相結(jié)合問題、數(shù)列和極限相結(jié)合問題，等等。本文主要從三個(gè)方面入手：函數(shù)與數(shù)列問題、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中應(yīng)用、歐拉級(jí)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用，分別給出一個(gè)例題，求解之后對(duì)這幾個(gè)方面的數(shù)列問題總結(jié)歸納，提出針對(duì)數(shù)列問題的想法。

一、函數(shù)與數(shù)列問題

對(duì)于高中數(shù)學(xué)來說，數(shù)列是高考的難點(diǎn)和重點(diǎn)，同時(shí)，函數(shù)問題也是高考躲不過逃不過的難題，對(duì)于函數(shù)與數(shù)列知識(shí)點(diǎn)交叉的問題來說，如何尋找有效的突破口，是解這類問題的關(guān)鍵所在。

思路分析：函數(shù)與數(shù)列知識(shí)點(diǎn)交叉的問題，通常會(huì)給出函數(shù)的表達(dá)式，大部分此類題型都會(huì)已知函數(shù)與數(shù)列元素間關(guān)系，某些不給出具體關(guān)系，但通過簡(jiǎn)單的代入遞推也可以求出關(guān)系，如上題。函數(shù)只是一個(gè)工具，它的作用就是求出數(shù)組元素間的關(guān)系（一般是an-1與an之間的關(guān)系），再通過求出的數(shù)列元素間的關(guān)系，求出題目問題所需要求的數(shù)列表達(dá)式。

三、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法，即通過對(duì)一些特例或簡(jiǎn)單情形進(jìn)行觀察與綜合以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的一種科學(xué)思維方法，數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造與再創(chuàng)造過程。數(shù)學(xué)研究過程中，常常需要先對(duì)問題先進(jìn)行假設(shè)，再根據(jù)假設(shè)進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，把特殊情況推廣至一般情況。所以，數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)研究過程中，占有極大的地位，是其最重要的基本方法之一。對(duì)于某些特定的數(shù)列問題，可以使用數(shù)學(xué)歸納法快速的得到答案。

三、歐拉級(jí)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用

四、總結(jié)

數(shù)列問題，千奇百變，但萬變不離其宗，歸根結(jié)底可以分為這么三類，一是求數(shù)列的表達(dá)式，二是數(shù)列的求和，三是數(shù)列與不等式的證明。對(duì)于這三類問題，可以有許多方法去求解，文中提到的函數(shù)代入、數(shù)學(xué)歸納法和歐拉常數(shù)法只是眾多解法的冰山一角，平時(shí)養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維，多總結(jié)解題思路和方法才能做到百戰(zhàn)不殆。

參考文獻(xiàn)：

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