變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

謝輝

摘要：變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中至關(guān)重要，通過變式訓(xùn)練，可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而幫助學(xué)生有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。本文闡述了變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：變式訓(xùn)練 高中數(shù)學(xué) 解題

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過這樣一句話：“掌握數(shù)學(xué)也就意味著要善于解題。”數(shù)學(xué)課程的內(nèi)涵趨同于提升學(xué)生解題能力和解題素養(yǎng)。數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一直占據(jù)著主導(dǎo)地位，但數(shù)學(xué)解題不能等同于題海戰(zhàn)術(shù)，不能就題論題，而要揭開數(shù)學(xué)題目中的內(nèi)涵和價(jià)值，因?yàn)橹挥袔椭鷮W(xué)生樹立正確的學(xué)科觀，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，才能真正促使學(xué)生觸類旁通，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之道。

筆者認(rèn)為，變式訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生歸納和演繹的能力。在解題過程中，教師適當(dāng)?shù)亻_展變式訓(xùn)練，既能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心解題能力，從而在數(shù)學(xué)課堂中真正踐行素質(zhì)教育。

一、變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題中的含義

一般情況下，數(shù)學(xué)解題可以分為解標(biāo)準(zhǔn)題、解變式題和解探究題三種類型。其中，解題標(biāo)準(zhǔn)，毫無疑問是“照葫蘆畫瓢”，它是數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的一種最基本的形式；解變式題，可以定性為介于標(biāo)準(zhǔn)題和探究題中間的一種類型，它是拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)邊界，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和解決問題的一種思維訓(xùn)練，它有利于學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。變式訓(xùn)練往往是利用或構(gòu)造一些變式的方法展示問題的本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)的演繹過程，并最終形成一種有利于學(xué)生思維訓(xùn)練的模式。

如有一道關(guān)于幾何概念的數(shù)學(xué)題目：“在等腰直角△ABC中，在斜邊AB任取某點(diǎn)P，求AP

二、變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題中的意義

變式訓(xùn)練是一種揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的思維過程，通過變式思維訓(xùn)練，學(xué)生可以進(jìn)一步了解變量中的穩(wěn)定性和可變性，從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。因此，學(xué)生要積極發(fā)揮主觀能動(dòng)性，深入探究和思考問題，從而培養(yǎng)更高層次的創(chuàng)新思維和能力，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這也是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的主旨需求。

變式訓(xùn)練能凸顯學(xué)生的思維能力，若教師能引導(dǎo)學(xué)生在抓住實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上觸類旁通，既能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，從而體現(xiàn)“讓所有學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中都能取得不同的發(fā)展”的美好愿景。

三、變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題中需遵循的三個(gè)原則

1.針對(duì)性原則

在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，變式教學(xué)常與概念和習(xí)題有關(guān)，所以概念變式應(yīng)落腳在本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)過程中，而習(xí)題變式也應(yīng)立足于本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，以本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容為載體，融入變式數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生在變式訓(xùn)練時(shí)“貼著地面行走”。此外，教師要盡量聯(lián)系縱橫兩個(gè)方向，讓變式過程在本節(jié)課的內(nèi)容中“軟著陸”。

2.適用性原則

在培養(yǎng)學(xué)生變式思維時(shí)，教師既要考慮題目的難易程度，又要考慮學(xué)生的接受能力。教師要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)展開適當(dāng)?shù)淖兪浇虒W(xué)，從而讓變式教學(xué)真正打開學(xué)生數(shù)學(xué)思維的閘門，而不是一味地求深、求新。

3.參與性原則

高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)教學(xué)要面向全體學(xué)生，發(fā)揮學(xué)生的主體性和主觀能動(dòng)性，以學(xué)生的主動(dòng)發(fā)展和主體需求為驅(qū)動(dòng)。因此，教師要讓學(xué)生參與到變式訓(xùn)練中，而不是教師求變、學(xué)生應(yīng)變。此外，教師還要給予學(xué)生適當(dāng)?shù)貑l(fā)和點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生從新的角度和思維審視同一數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從而本源性地理解題目?jī)?nèi)涵。這樣一來，既能培養(yǎng)學(xué)生的探究思維，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生勇于思考、善于探究、勤于追問的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)精神。

四、變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用方法

變式，從字面來看，毫無疑問，就是要對(duì)原來的形式做出相應(yīng)的變換，使原有的題目更具有迷惑性和靈活性，同時(shí)又要透過現(xiàn)象，揭示題目中的原理、規(guī)則和思維方法，還原問題的本來面目，從而達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)題的解題思路，體現(xiàn)殊途同歸的解題模式。那么，作為變式的干擾因素有哪些呢？

1.本質(zhì)未變，陳述已變

如關(guān)于基本不等式應(yīng)用的一道例題：“已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，求+的最小值。”

變式1：已知 0

變式2：已知0

變式1和變式2兩道題都是以原例題為基礎(chǔ)，但在表述上有所不同。其本質(zhì)原理是所求的式子中的分母之和等于1，即x+y=1，x+（1-x）=1， sin2x+cos2x=1這個(gè)本質(zhì)共性特征。通過變式，將這些知識(shí)有效地銜接和統(tǒng)一起來，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象認(rèn)識(shí)本質(zhì)，提升學(xué)生的學(xué)科思維能力大有裨益。

2.題設(shè)未變，問題已變

如有關(guān)橢圓定義與幾何性質(zhì)應(yīng)用的一道題：“在橢圓+=1上求一點(diǎn)M，讓它與兩個(gè)焦點(diǎn)的連線互相垂直。”

變式1：橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)∠F1MF2為鈍角時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍。

變式2：已知橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1， F2，點(diǎn)M在橢圓上，若M、F1、F2為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)M到x軸的距離為_____。

變式1是受到原題的啟發(fā)。其實(shí)，無論是鈍角還是銳角，它皆可以直角為參照目標(biāo)，所以該題的解法較多，其中幾何解法尤為簡(jiǎn)潔。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，以焦距F1、F2的長為直徑畫圓，與橢圓交于四點(diǎn)，由于直徑所對(duì)的圓周角是直角，所以當(dāng)點(diǎn)M位于四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，∠F1MF2為直角；而當(dāng)M位于x軸上方或者下方的圓與橢圓的兩交點(diǎn)之間時(shí)，∠F1MF2為鈍角；銳角的情況也會(huì)不言自明，所以易求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍是（-，-）。

變式2是將原題中的直角改為△F1MF2為直角三角形，沒有確定哪個(gè)角為直角，所以此題具有一定的靈活性。當(dāng)∠F1MF2=90°時(shí)，只要求以焦距F1F2的長為直徑的圓與橢圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由于半焦距小于短半軸3，所以此圓與橢圓無交點(diǎn)；當(dāng)∠MF1F2=90°或∠MF2F1=90°時(shí)，很容易求點(diǎn)M到x軸的距離為。

（作者單位：江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué)）