例析分離變量法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

郭小輝

分離變量法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.在近些年的高考數(shù)學(xué)試題中多有體現(xiàn).縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)試題，有關(guān)考查分離變量法的題型主要有：求函數(shù)零點(diǎn)問題；解決函數(shù)的單調(diào)性問題；解決不等式的恒成立問題；在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用等.

一、方法介紹

使用分離變量法是通過將兩個變量構(gòu)成的不等式（方程）變形到不等號（等號）兩端，使兩端變量各自相同，解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法.兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知.使用分離變量法解決問題的關(guān)鍵是分離變量之后將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域的問題.分離變量后，對于不同問題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循.以下定理均為已知x的范圍，求a的范圍：

定理1不等式f（x）≥g（a）恒成立f（x）min≥g（a）（求解f（x）的最小值）；不等式f（x）≤g（a）恒成立f（x）max≤g（a）（求解f（x）的最大值）.

定理2不等式f（x）≥g（a）存在解f（x）max≥g（a）（求解f（x）的最大值）；不等式f（x）≤g（a）存在解f（x）min≤g（a）（即求解f（x）的最小值）.

定理3方程f（x）=g（a）有解g（a）的范圍=f（x）的值域（求解f（x）的值域）.

解決問題時需要注意：

（1）確定問題是恒成立、存在、方程有解中的哪一個；

（2）確定是求最大值、最小值還是值域.

二、典例分析

1.利用分離變量法解決函數(shù)的零點(diǎn)問題

例1已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析問題轉(zhuǎn)化為2ax2+2x-3-a=0在x∈[-1，1]上恒有解

由定理得只需求函數(shù)g（x）=3-2x2x2-1在x∈[-1，-22）∪

（-22，22）∪（22，1]上的值域即可， ±22單獨(dú)考慮.此法思維量較小，運(yùn)算量較二次函數(shù)略大，得分率略有增加.2.利用分離變量法解決函數(shù)的單調(diào)性問題

例2已知函數(shù)f（x）=12ax2+2x（a≠0），g（x）=lnx.若h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍.

解析問題轉(zhuǎn)化為h′（x）=ax2+2x-1x≥0在x>0上有解，即ax2+2x-1≥0在x>0上有解.問題轉(zhuǎn)化為a≥1-2xx2在x>0上有（存在）解 由定理1.2得a≥1-2xx2min.

由1-2xx2=（1x-1）2-1≥-1，所以a≥-1.

3.利用分離變量法解決不等式恒成立問題

例3設(shè)f（x）=lg1+2x+a·4x3，其中a∈R，如果x∈（-∞，1）時，f（x）恒有意義，求a的取值范圍.

解析如果x∈（-∞，1）時，f（x）恒有意義

1+2x+a4x>0，對x∈（-∞，1）恒成立

a>-1+2x4x=-（2-x+2-2x），x∈（-∞，1）恒成立.

令t=2-x，g（t）=-（t+t2）

又x∈（-∞，1），則t∈（12，+∞）

∴a>g（t）對t∈（12，+∞）恒成立，

又∵g（t）在t∈（12，+∞）上為減函數(shù)，

g（t）

∴a≥-34.

4.利用分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問題

例4已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2+3x+1，設(shè)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析若導(dǎo)函數(shù)在（2，3）內(nèi)沒有零點(diǎn)，則有以下兩種情況：

（1）f ′（x）=3x2-6ax+3≥0在（2，3）內(nèi)恒成立，即a≤x2+12x=12（x+1x）在（2，3）內(nèi)恒成立.

易知當(dāng)x∈（2，3）時，54<12（x+1x）<53，所以，此時有a≤54.

（2）f ′（x）=3x2-6ax+3≤0在（2，3）內(nèi)恒成立，即a≥x2+12x=12（x+1x）在（2，3）內(nèi)恒成立.

易知當(dāng)x∈（2，3）時，54<12（x+1x）<53，所以，此時有a≥53.

所以，當(dāng)f（x）在區(qū)間（2，3）中無極值點(diǎn)，即f ′（x）=3x2-6ax+3≥0或者f ′（x）=3x2-6ax+3≤0在（2，3）內(nèi)恒成立時，有a≥53或者a≤54.

從而，當(dāng)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點(diǎn)時，a的取值范圍是（54，53）.

點(diǎn)評這種解法中，把a(bǔ)分離出來以后，轉(zhuǎn)化成了求a≤x2+12x=12（x+1x）或者a≥x2+12x=

12（x+1x）在（2，3）內(nèi)恒成立的問題，也是學(xué)生熟悉的函數(shù)基本題型，與上一種解法比較，顯得更為簡捷，有效率.

（收稿日期：2016-10-12）