函數(shù)的單調(diào)性復習指導

■胡 磊

函數(shù)的單調(diào)性定義的等價形式:設(shè)任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2,若(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或,則f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù);若(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0 或,則f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù)。復合函數(shù)的單調(diào)性:函數(shù)y=f(u),u=φ(x),在函數(shù)y=f[φ(x)]的定義域上,如果y=f(u),u=φ(x)的單調(diào)性相同,那么y=f[φ(x)]單調(diào)遞增;如果y=f(u),u=φ(x)的單調(diào)性相反,那么y=f[φ(x)]單調(diào)遞減。

下面舉例說明函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。

例1若函數(shù)y=-|x-a|與y=在區(qū)間[1,2]上都是嚴格減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為_____。

解:y=-|x-a|的圖像關(guān)于x=a對稱,且在x=a的左側(cè)單調(diào)遞增,在x=a的右側(cè)單調(diào)遞減,要在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,則a≤1。對于y=,當a>0時,在x∈(-1,+∞)上單調(diào)遞減,在x∈(-∞,-1)上也單調(diào)遞減;當a<0 時,單調(diào)性反之。要在[1,2]上單調(diào)遞減,則a>0。綜上可知,0

例2已知分段函數(shù)f(x)=是定義在R 上的增函數(shù),則a的取值范圍是_____。

解:當x≥0 時,f(x)=ax+3 在[0,+∞)上遞增,則a>0;當x<0 時,f(x)=-x2+2x+a=-(x-1)2+a+1的對稱軸為x=1,則f(x)在(-∞,0)上遞增,要使f(x)在R 上遞增,還需滿足在x=0左側(cè)的值不大于右側(cè)的值,即得a≤3。綜上可得,0

例3函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。

解:由2x-x2≥0,可得f(x)的定義域為[0,2]。設(shè)t=2x-x2,t≥0,則y=為增函數(shù)。函數(shù)t=2x-x2的對稱軸為x=1,在(-∞,1]上單調(diào)遞增。由復合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1]。

例4已知函數(shù)f(x)=。

(1)證明:f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)解不等式:f(x2-2x+4)≤f(7)。

(2)因為x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,所以x2-2x+4∈[3,+∞)。函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,要使f(x2-2x+4)≤f(7),則x2-2x+4≤7,即x2-2x-3≤0,所以-1≤x≤3。故不等式f(x2-2x+4)≤f(7)的解集為[-1,3]。

注意:單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性。對于某個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以不單調(diào)(如常函數(shù))。函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認為函數(shù)在A,B上是增(或減)函數(shù)。