對(duì)兩道電磁感應(yīng)試題的探討

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

對(duì)兩道電磁感應(yīng)試題的探討

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

利用瞬態(tài)過(guò)程的結(jié)論對(duì)兩道有關(guān)滑桿在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的試題進(jìn)行了定量分析，由此探討題中數(shù)據(jù)的自洽性與條件的合理性，并分別給出可行的修改方法.

電磁感應(yīng) 滑桿 電容器 瞬態(tài)過(guò)程

在編擬物理試題時(shí)，由于題中給出的數(shù)據(jù)不自洽或給出多余條件而導(dǎo)致試題錯(cuò)誤，但卻難以發(fā)現(xiàn).下面利用瞬態(tài)過(guò)程的結(jié)論對(duì)兩道有關(guān)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的滑桿電路試題進(jìn)行分析.

【例1】如圖1所示，水平固定的兩根平行金屬導(dǎo)軌間距l(xiāng)=1 m，之間接有電動(dòng)勢(shì)為E=6 V,內(nèi)阻r=1 Ω的電源.質(zhì)量m=1 kg，電阻R=1 Ω的金屬棒靜止在導(dǎo)軌上，與兩導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌向下.已知棒與導(dǎo)軌間的摩擦阻力恒為f=2 N，從開(kāi)關(guān)S閉合到金屬棒的速度達(dá)到穩(wěn)定的過(guò)程中流過(guò)金屬棒的電荷量q=2 C，不計(jì)導(dǎo)軌電阻，試求此過(guò)程中金屬棒上產(chǎn)生的熱量.

圖1 例1題圖

解析:設(shè)金屬棒達(dá)到的穩(wěn)定速度為v，此時(shí)電流

為I，由受力平衡得BlI=f.感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε=Blv，由閉合電路的歐姆定律得電流聯(lián)立方程可得穩(wěn)定速度v=2 m/s.

電路中的瞬時(shí)電流

寫(xiě)成微分形式

可知

對(duì)金屬棒由動(dòng)量定理有

Blq-ft=mv

聯(lián)立方程可得位移x=1.0 m.

由于在金屬棒與電源內(nèi)阻上產(chǎn)生的焦耳熱相等，即QR=Qr，則由能量守恒定律有

聯(lián)立以上各式得熱量QR=4 J.

探討:雖然上述解答方法及過(guò)程都正確，但由于題目本身有誤，因此結(jié)果不正確.對(duì)于該題還有一種錯(cuò)誤解法，即由

下面利用微積分知識(shí)分析題中數(shù)據(jù)的自洽性.

對(duì)金屬棒由牛頓第二定律有

將ε=Blv代入可得關(guān)于瞬時(shí)速度的一階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

利用瞬態(tài)過(guò)程的結(jié)論可知速度穩(wěn)態(tài)值為

時(shí)間常數(shù)為

速度變化的關(guān)系式為

所以電流的關(guān)系式為

進(jìn)行數(shù)學(xué)積分可得

由于e-5≈0.006 7≈0，因此可認(rèn)為當(dāng)t=5τ時(shí)，已趨近于穩(wěn)態(tài).時(shí)間常數(shù)τ=0.5 s，則瞬態(tài)過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間約為t=5τ=2.5 s.所以q=3.5 C.

只要電荷量的數(shù)值不小于3.5 C，就是可行的.由于題中的q=2 C小于3.5 C，因此是錯(cuò)誤的.

也可重新設(shè)置題中數(shù)據(jù).若取E=18 V，B=1.0 T，m=0.1 kg，l=0.5 m，可知τ=0.8 s，則瞬態(tài)過(guò)程的時(shí)間t≈5τ=4 s，所以q=20 C.其實(shí)對(duì)于題中的8個(gè)數(shù)據(jù)，若任意給定7個(gè)，則需對(duì)另一個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行推算，而不能隨意編造.

【例2】如圖2所示，水平放置的兩個(gè)光滑平行金屬導(dǎo)軌相距L，足夠長(zhǎng)，其左端接一電容為C的電容器，在兩導(dǎo)軌間有垂直于導(dǎo)軌平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量為m的金屬桿ab垂直放置在導(dǎo)軌上.現(xiàn)給金屬桿一個(gè)水平向右的初速度v0，設(shè)電容C足夠大，金屬桿與導(dǎo)軌的電阻都可忽略不計(jì)，試求金屬桿運(yùn)動(dòng)的最終速度.

圖2 例2題圖

解析:金屬桿切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε=BLv，給電容器充電，同時(shí)受到安培力的作用而減速，由于電路中電容器兩端的電勢(shì)差與金屬桿的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相反，則當(dāng)二者大小相等時(shí)，電流為零，電容器充電完畢，金屬桿將做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)速度大小為v，通過(guò)金屬桿橫截面的總電荷量為q，對(duì)金屬桿由動(dòng)量定理有

-BLq=mv-mv0

充電完畢時(shí)UC=ε，則電容器的電荷量為

QC=CUC=CBLv

通過(guò)金屬桿的電荷量與電容器的充電量相等，即q=QC.可得金屬桿的最終速度

探討:在解題過(guò)程中沒(méi)有提及電路的電阻，下面利用微積分知識(shí)探究電路的電阻是否為零.

設(shè)當(dāng)金屬桿做減速運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷時(shí)間t時(shí)的瞬時(shí)速度為v，通過(guò)金屬桿橫截面的總電荷量為q，對(duì)金屬桿的減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程由動(dòng)量定理可知

則回路中的電流

設(shè)回路中的等效電阻為R，則回路電壓方程為

可得關(guān)于瞬時(shí)速度的一階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

所以說(shuō)，對(duì)于電容器與滑桿的組合電路，只要滑桿有初速度，電路的等效直流電阻就不能視為零，那么在充電過(guò)程中電容器兩端的電勢(shì)差與電源電動(dòng)勢(shì)不相等，而且必有電能損失即產(chǎn)生焦耳熱，不可忽略；但這個(gè)能量不是電磁輻射能量，因?yàn)樵陔娙萜鞒潆娺^(guò)程中沒(méi)有發(fā)生高頻電磁振蕩，也不存在開(kāi)放電路，則不產(chǎn)生電磁波.

反之，若將電路的電阻視為零，則對(duì)滑桿就不能設(shè)置初速度.滑桿只能受到恒定動(dòng)力由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，那么在電容器充電過(guò)程中其兩端的電勢(shì)差與電源電動(dòng)勢(shì)時(shí)刻相等，而不是最終相等.如2007年上海交通大學(xué)自主招生考試的一道物理試題、2013年高考理科綜合試題(新課標(biāo)卷Ⅰ)物理部分的壓軸題都屬于這種情形；又如1993年第十屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試卷中關(guān)于電容器與滑桿的組合電路問(wèn)題是一道錯(cuò)題，不應(yīng)對(duì)金屬桿設(shè)置初速度，因?yàn)樵谠摋l件下，電容器兩端的電壓由零突變到BLv0，其儲(chǔ)存的能量發(fā)生突變，這是不合實(shí)際的.在解答這類(lèi)題時(shí)，都不考慮電能損失(焦耳熱)，也不考慮電磁輻射(恒定電流不產(chǎn)生電磁波)，而且滑桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程都是勻加速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，不是瞬態(tài)過(guò)程.

若電容器原來(lái)帶電，而滑桿在安培力作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，則電路的有效電阻也不能視為零，這是因?yàn)樵陔娙萜魍ㄟ^(guò)滑桿放電的過(guò)程中，物理量的變化需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程才合理；而只有當(dāng)電路的等效直流電阻不為零時(shí)，物理量的變化過(guò)程才是瞬態(tài)過(guò)程.

上述分析討論過(guò)程雖然是針對(duì)兩道題，但實(shí)際上是涉及到兩類(lèi)題，或者說(shuō)，與兩個(gè)例題相似的錯(cuò)題比較常見(jiàn)，因此對(duì)于探討有關(guān)的物理問(wèn)題或編擬有關(guān)的試題都具有一定的參考價(jià)值和指導(dǎo)意義.

2 鄭金.利用結(jié)論巧解“甲蟲(chóng)和橡膠帶”問(wèn)題.物理通報(bào)，2012(4):61～63

3 彭安璐.殊途理應(yīng)同歸.物理教學(xué)，2007(10)：53

4 黃劍.一個(gè)理想化條件引起的命題錯(cuò)誤.中學(xué)物理，2013(4):79～80

5 張爭(zhēng)光.含容電路中能量轉(zhuǎn)換問(wèn)題的思維對(duì)話.中學(xué)物理教學(xué)參考，2013(8):37

6 薄宏斌.電磁感應(yīng)現(xiàn)象中含容電路的處理.物理教學(xué)，2007(9)：38，55

2016-08-01)