把握概念本質(zhì) 落實(shí)核心素養(yǎng)
——兼評(píng)陳瑾、張聰聰《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課

劉　松（特級(jí)教師）

近兩年，關(guān)于學(xué)生核心素養(yǎng)的討論可謂鋪天蓋地。筆者估計(jì)，這恰是官方智囊所希望出現(xiàn)的，因?yàn)檎胬頃?huì)越辨越明，百花齊放、百家爭(zhēng)鳴，學(xué)術(shù)才能真正地走向繁榮。但作為一線(xiàn)教師的我們，除了關(guān)心核心素養(yǎng)理論內(nèi)涵的界定以外，其實(shí)更關(guān)心的是如何在操作層面使學(xué)生的核心素養(yǎng)落地。關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，筆者認(rèn)為無(wú)論是官方公布的內(nèi)涵，還是民間許多專(zhuān)家的質(zhì)疑，其實(shí)均有一定的道理，也并不會(huì)影響我們的執(zhí)行。換句話(huà)說(shuō)，無(wú)論按照哪一派觀點(diǎn)去操作，若真正操作好了，終究都會(huì)對(duì)學(xué)生有益的。

比如，現(xiàn)在許多教師都公認(rèn)抽象是數(shù)學(xué)的第一特征，是三大基本思想之首，也是目前官方已公布的高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之首（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析）。以數(shù)學(xué)抽象為例，官方文件給出的解釋是：數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng)等等。

在筆者看來(lái)，這樣的解釋已是相當(dāng)深刻且完美。但前不久，看到了華南師大何小亞教授的一篇文章《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指標(biāo)反思》，讓筆者不得不慨嘆，學(xué)術(shù)沒(méi)有禁區(qū)，真理也應(yīng)沒(méi)有終點(diǎn)。且看何教授如何反思：

反思1：只舍去“物理屬性”，不舍去“社會(huì)屬性”“形式屬性”？應(yīng)該是“具體屬性”。

反思 2：“表征”應(yīng)改為“表示”，如此更通俗易懂，也更準(zhǔn)確。表征（representation）是教育心理學(xué)的術(shù)語(yǔ)，是認(rèn)知者在腦中重新表示反映——再表示的意思。

反思3：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系已經(jīng)屬于純數(shù)學(xué)世界的內(nèi)容，由兩者抽象出數(shù)學(xué)概念及關(guān)系就是數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家Freudenthal所說(shuō)的垂直數(shù)學(xué)化，即數(shù)學(xué)世界內(nèi)部由低級(jí)向高級(jí)的發(fā)展。“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”指的是從真實(shí)世界得出數(shù)學(xué)原理結(jié)構(gòu)，是由真實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的水平數(shù)學(xué)化之一，但卻少了另一種更基礎(chǔ)的水平數(shù)學(xué)化：由真實(shí)世界抽象出數(shù)量、圖形、概念等數(shù)學(xué)模式。例如：實(shí)際問(wèn)題→莖葉圖；力→向量；力的分解合成→向量的分解合成。

反思4：抽象是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一，但不是數(shù)學(xué)所特有的。邏輯學(xué)、哲學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)中的“抽象”俯拾皆是。概括性才是數(shù)學(xué)更本質(zhì)的特點(diǎn)，抽象是過(guò)程手段，是概括的基礎(chǔ)，而概括才是最終的目的。理解數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)不是理解抽象性，而是理解數(shù)學(xué)概念、原理的概括性或者說(shuō)“通殺性”！

反思5：“數(shù)學(xué)抽象”是一種提煉抽取數(shù)學(xué)對(duì)象的手段，把它作為一種數(shù)學(xué)思想恰當(dāng)嗎？請(qǐng)問(wèn)國(guó)際上有哪一本專(zhuān)著、哪一篇論文把數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)思想之一？從定義所闡述的內(nèi)容看，“數(shù)學(xué)抽象”實(shí)際上是Freudenthal早已提出的“數(shù)學(xué)化”的部分內(nèi)容。

數(shù)學(xué)化是整理現(xiàn)實(shí)性的過(guò)程，它包括數(shù)學(xué)家的全部組織活動(dòng)，比如公理化、形式化、圖式化、建模，以及數(shù)學(xué)內(nèi)部由低級(jí)向高級(jí)的推動(dòng)過(guò)程。這里的“現(xiàn)實(shí)性”是指真實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界的總和，不能望文生義地理解為真實(shí)世界、現(xiàn)實(shí)世界。

數(shù)學(xué)化被分成兩種：一是水平數(shù)學(xué)化，即從生活世界中抽象概括出數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理等數(shù)學(xué)模式的過(guò)程，是從生活世界到數(shù)學(xué)世界的轉(zhuǎn)化過(guò)程。二是垂直數(shù)學(xué)化：即從現(xiàn)有的數(shù)學(xué)世界中抽象概括出更高級(jí)的數(shù)學(xué)模式的過(guò)程，是從低層數(shù)學(xué)到高層數(shù)學(xué)的過(guò)程。

國(guó)內(nèi)外的同行早已認(rèn)同了Freudenthal的觀點(diǎn)：學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化，教數(shù)學(xué)就是教數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，即學(xué)習(xí)如何進(jìn)行公理化、形式化、圖式化、模型化，以及學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)內(nèi)部由低級(jí)向高級(jí)的發(fā)展過(guò)程。

結(jié)論：基于尊重知識(shí)產(chǎn)權(quán)以及與國(guó)際接軌的要求，“數(shù)學(xué)化”應(yīng)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，而不是“數(shù)學(xué)抽象”。

筆者無(wú)法達(dá)到這樣的高度，更不具備他們的視野，甚至不能完全理解教授們所言。只能無(wú)限地感嘆，我們趕上了好的時(shí)代，可以聽(tīng)到不同的聲音、看到不同的觀點(diǎn)，從而引發(fā)自己相對(duì)深層次且多角度地思考問(wèn)題。

至于究竟什么是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，目前個(gè)人比較喜歡的是南京大學(xué)鄭毓信教授的論述：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本涵義，應(yīng)當(dāng)是通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理。換句話(huà)說(shuō)，如果大家認(rèn)可數(shù)學(xué)是思維的體操，如果核心素養(yǎng)只能有一個(gè)，那就必須聚焦學(xué)生的思維。其實(shí)，回望目前國(guó)家已公布的高中數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)，亦或是2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的十大核心概念，哪一條離開(kāi)了思維的基礎(chǔ)與前提，都將成為無(wú)源之水、無(wú)本之木。特別地，關(guān)于“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的審思，最近有專(zhuān)家提出所謂的“三用”主張，即：我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的素養(yǎng)；讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)；讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)。這樣的主張清晰好記，也易于理解。但若冷靜地想一想，“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的思維”“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”是否應(yīng)該絕對(duì)地分隔開(kāi)來(lái)？進(jìn)一步思考：“我們看世界，究竟是用眼睛在看，還是用頭腦在看？”還有，大家都知道語(yǔ)言與思維之間存在重要的聯(lián)系，如“語(yǔ)言是思維的外化”“思維是內(nèi)在的語(yǔ)言”等。如此，可以看出“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的思維”“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”應(yīng)是一個(gè)整體，且是一個(gè)以“數(shù)學(xué)思維”為中心的整體。所以，數(shù)學(xué)思維自然就成了核心的核心。

簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指向數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高。而數(shù)學(xué)思維品質(zhì)區(qū)別于其他學(xué)科的思維，有著豐富的內(nèi)涵，包括思維的清晰性與嚴(yán)密性（合理性），思維的深刻性與全面性，思維的綜合性與靈活性，以及思維的創(chuàng)造性等。

在陳瑾、張聰聰兩位教師的教學(xué)中，通過(guò)關(guān)注數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)，同時(shí)也落實(shí)了數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

關(guān)于《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課，張老師的教學(xué)相對(duì)中規(guī)中矩，基本按照教材編排進(jìn)行；陳老師則相對(duì)大膽，在基于學(xué)情的前提下，充分尊重了教材，又超越了教材。兩位教師都比較關(guān)注學(xué)生的學(xué)，兩種教法均取得了較好的教學(xué)效果。由于學(xué)生年齡較小，且分?jǐn)?shù)的意義較多，本節(jié)課定位是初步認(rèn)識(shí)，所以核心是讓學(xué)生明白分?jǐn)?shù)的第一個(gè)意義，表示部分與整體的關(guān)系即可。該課筆者聽(tīng)過(guò)不少于上百節(jié)，其中包括許多大師名家的精彩演繹。實(shí)事求是地分析，兩位教師許多的教學(xué)設(shè)計(jì)之處與大家并無(wú)多大差異，但有一點(diǎn)卻給筆者留下了深刻的印象。就是引導(dǎo)學(xué)生明白分?jǐn)?shù)是在平均分的基礎(chǔ)上，表示部分與整體的關(guān)系的處理。張老師以為抓手，讓學(xué)生表示出一張正方形紙的，學(xué)生一一展示，黑板上張貼了學(xué)生不同的作品。

教師追問(wèn)：既然這里的六個(gè)正方形形狀不同、大小也不同，為什么都可以用來(lái)表示？引導(dǎo)學(xué)生明白，只要是平均分成四份，不管大小形狀，每一份都是整體的。許多教師的教學(xué)到此就結(jié)束了，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)可以充分感悟分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系的本質(zhì)了。但張老師并沒(méi)有就此打住，而是繼續(xù)往前走了半步：

“師：說(shuō)得太好了！只要把一張正方形紙平均分成四份，那么每份一定是它的。（課件動(dòng)態(tài)演示）那這樣呢？

師：你說(shuō)得沒(méi)錯(cuò)，如果這樣分呢？

生：好像不是平均分的。

師：那我們來(lái)驗(yàn)證一下。（課件動(dòng)態(tài)演示每一份是一樣大的）

師：這樣分呢？

生：一定也是，因?yàn)槊恳环菔且粯哟蟮摹?/p>

師：其實(shí)這樣的分法還有很多！但不管怎么分，只要把它平均分成了四份，每一份都可以用來(lái)表示。”

也許有教師會(huì)質(zhì)疑，后面的三種分法不出，絲毫也不影響學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解呀！況且，本節(jié)課主要是讓學(xué)生初步感知分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生與意義，并非研究如何等分正方形的?。?duì)此，筆者完全贊同，但反過(guò)來(lái)想一想，如此處理，影響學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解嗎？增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)嗎？完全沒(méi)有。后三種分法張老師并沒(méi)有讓學(xué)生探究，而是課件播放讓學(xué)生欣賞。其實(shí)，又并非僅僅是欣賞，還兼有判斷練習(xí)的味道。而這種練習(xí)，又并非簡(jiǎn)單的判斷，恰是強(qiáng)大的思維訓(xùn)練。后三種中的第一種，學(xué)生相對(duì)比較容易看出，第二種有些同學(xué)則并不能一眼看出，需教師通過(guò)課件旋轉(zhuǎn)，才能發(fā)現(xiàn)四部分完全一樣，而第三種分法更多學(xué)生想不到。如此處理，不僅加深鞏固了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)表示部分與整體關(guān)系的意義理解，還凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之與人的素養(yǎng)提升的一個(gè)重要功能——?jiǎng)?chuàng)造性。一張正方形紙均分四份，并非只有三種分法，其實(shí)有無(wú)數(shù)種可能（尤其是后三種分法中的第二種，垂直交叉線(xiàn)只要經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)即可）

張老師如此設(shè)計(jì)，只是往前走了半步，但就是這半步，不僅凸顯了概念的本質(zhì)，還突出展示了數(shù)學(xué)思考的美麗，同時(shí)充分體現(xiàn)了創(chuàng)造性的魅力。

引導(dǎo)學(xué)生理解：不管分得的形狀是怎樣的，只要是把一個(gè)整體平均分成兩份，里面的每一份都是整體的。

至此，陳老師也并沒(méi)有結(jié)束，同樣追問(wèn)：是不是只有這三種分法呢？

有同學(xué)舉手說(shuō)：我發(fā)現(xiàn)只要找到這個(gè)正方形的中點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)再畫(huà)一條線(xiàn)，無(wú)論怎樣畫(huà)，都能將這個(gè)正方形平均分成兩份，每份都是這個(gè)整體的，所以應(yīng)該有無(wú)數(shù)種分法，但不管怎么分，每一份都可以表示為整體的。

事實(shí)上，學(xué)生們的思維水平一點(diǎn)也不比教師差，尤其是最后一個(gè)的表示，已經(jīng)達(dá)到了五年級(jí)分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)的水準(zhǔn)。而教師只需不停地追問(wèn)：形狀、大小都不一樣，為什么都可以用來(lái)表示？學(xué)生自然感悟，分?jǐn)?shù)表示的是部分與整體的關(guān)系，與大小形狀等物理屬性無(wú)關(guān)，這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)抽象或者說(shuō)數(shù)學(xué)化的過(guò)程。如此教學(xué)，同樣做到了關(guān)注數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，同時(shí)還注重了學(xué)生思維品質(zhì)的提升。

兩位教師的教學(xué)還有其他優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)然也有不足，限于篇幅，不再贅述。筆者只想再次表達(dá)一個(gè)觀點(diǎn)，俗話(huà)說(shuō)，術(shù)業(yè)有專(zhuān)攻，讓小學(xué)教師去研究大學(xué)教師的問(wèn)題，不是不可能，但很難有建樹(shù)，反之亦然。作為一線(xiàn)學(xué)科教師的我們，關(guān)注的更多應(yīng)在操作與執(zhí)行的層面，只要大的方向沒(méi)錯(cuò)，心中始終裝著學(xué)生，著眼于學(xué)生的未來(lái)及發(fā)展，關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)（尤其是創(chuàng)造性）的提升，扎實(shí)地上好每一節(jié)課，終究受益的是學(xué)生。