串聯(lián)整合方法分析比較拓展
——《雞兔同籠》教學(xué)實踐與思考

王相春

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版三年級《雞兔同籠》。

【教學(xué)過程】

一、談話引入

1.引出數(shù)學(xué)特征。

師：同學(xué)們，這是生活中的雞和兔（圖片）；在畫家的筆下，是這樣畫的（美術(shù)作品）；而研究數(shù)學(xué)問題的人用“”來表示雞，這表示什么意思呢？

生：雞有一個頭，兩只腳。

師：那么兔該怎么表示呢？

生：再添上兩只腳，因為兔有一個頭，四只腳。

2.看圖編題。

生：有兩只雞，兩只兔；4個頭，12只腳。

師：現(xiàn)在每人畫一幅圖，請同桌猜猜是什么意思。

師：今天我們就來學(xué)習(xí)《雞兔同籠》問題。

【思考：從畫家筆下的雞兔到數(shù)學(xué)中的雞兔，感悟數(shù)學(xué)更關(guān)注的是事物的數(shù)量特征，體會數(shù)學(xué)思維的抽象性和概括性。在圖像和語言之間進(jìn)行溝通轉(zhuǎn)換，為接下來課程的展開做好必要的鋪墊?！?/p>

二、解決問題方法的多樣化

1.分步呈現(xiàn)例題。

師：一個放雞、兔的籠子，從上面數(shù)，有8個頭，雞和兔可能各有幾只？

（教師引導(dǎo)，學(xué)生討論交流）

生：雞兔分別是 0、8；1、7；2、6；3、5；4、4；5、3；6、2；7、1；8、0。

師：剛才大家列舉了雞和兔的各種情況。那么籠子里到底是幾只雞幾只兔能確定嗎？

生：不能，還缺少條件。

師：（補充條件：從下面數(shù)，共有26只腳）現(xiàn)在題目中有哪些數(shù)學(xué)信息？

生：有8個頭，26只腳。雞有2只腳，兔有4只腳。

師：我們一起把條件用式子表示出來。

師：現(xiàn)在你能確定有幾只雞和幾只兔嗎？

（學(xué)生嘗試解決問題，教師巡回，收集典型解法）

2.學(xué)生反饋。

（1）畫圖法。

師:請這位同學(xué)把你的想法說一說。

生：我先畫了8只兔，發(fā)現(xiàn)有32只腳，多了6只腳，所以去掉3只兔，變成3只雞。

師：檢查一下，腳的只數(shù)是否正確？

生：5×4=20（只），3×2=6（只），20+6=26（只）。正確！

師：下面請另一位同學(xué)重新畫一下，看仔細(xì)了！

生：先畫：

再畫：

最后修改成：

【思考：三年級學(xué)生尚不能完全脫離實物，抽象地進(jìn)行邏輯演繹，經(jīng)過一定概括的“圖像”形象直觀，便于操作，可以有效地幫助學(xué)生理解和分析數(shù)學(xué)事實或現(xiàn)實情境中的數(shù)量關(guān)系?；谧陨碚J(rèn)知水平對問題本質(zhì)進(jìn)行再表征以利于進(jìn)一步開展推理、解決問題的過程，是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)經(jīng)常有機會經(jīng)歷這樣的過程，形成分析問題、解決問題的經(jīng)驗。展示學(xué)生的畫圖作品，都蘊含了“假設(shè)-調(diào)整”的因素?！?/p>

（2）嘗試猜測。

師：這位同學(xué)你又是怎么想的呢？

生：有8個頭，我先嘗試4只雞4只兔的情況，算出腳有24只，不夠。再試3只雞、5只兔，腳有26只，成功了。

師：他是抓住“共有8個頭”這條信息，試著猜測有幾只雞幾只兔，算出腳的只數(shù)來檢驗，如果不對，再調(diào)整。

（3）列表法。

①呈現(xiàn)學(xué)生作品。

生：他是把每一種情況的腳的只數(shù)都求出來，然后選中“26只腳”的情況。

②觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：他列得很完整。仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)其中有什么規(guī)律嗎？

生：腳的只數(shù)都是2只2只增加的。

生：每次減少一只雞，增加一只兔，就會增加2只腳。

生：因為雞有2只腳，兔有4只腳，一只雞變成一只兔，所以要加2。

師：從左往右看，把1只雞換成1只兔，都會增加2只腳；從右往左看，把1只兔換成1只雞，就要減少2只腳。

③根據(jù)規(guī)律，跳躍列表，感知假設(shè)。

師：看這種假設(shè)，誰有好辦法找到答案？

生：從16到26，要想增加10只腳，就要把5只雞換成5只兔，所認(rèn)雞是3只，兔是5只。

生：我可以給他補充算式：最開始8×2＝16（只），還缺：26-16＝10（只），1只雞換成1只兔只能增加2只腳，所以10÷2＝5（只），就要把5只雞換成5只兔，雞變成：8-5＝3（只），兔變成：0+5=5（只）。

師：下面再看這張表格，你會填嗎？

生：雞0只、兔 8只，總共有腳8×4=32（只），多了6只腳，這樣就要把兔換成雞，換一次就減少 2只腳，6÷2=3（只），所以雞有0+3=3（只）、兔有8-3=5（只）。

師：同學(xué)們，學(xué)習(xí)中常常要回頭看。我們回頭看一看，剛才的列表與最開始的列表，有什么區(qū)別？

生：開始的麻煩，每個都要列，當(dāng)知道規(guī)律之后，我們可以跳著列，這樣比較快。

生：區(qū)別是我們找到了規(guī)律，利用規(guī)律就可以預(yù)算出答案。

【思考：有意識地選取典型性的學(xué)生作品，引導(dǎo)學(xué)生開展聚焦與分析。觀察表格中的數(shù)據(jù)，先發(fā)現(xiàn)“+2”或“-2”的現(xiàn)象，再究其原因，突出1只雞（兔）換成1只兔（雞）所帶來的腳數(shù)變化。進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生利用這種變化規(guī)律，把開始的“一一列舉”法優(yōu)化成“跳躍調(diào)整”法，并在解釋“跳躍調(diào)整”策略的過程中，啟迪出“算術(shù)假設(shè)”的思路?！?/p>

（4）感悟方法之間的聯(lián)系。

師：今天我們學(xué)了“畫圖”和“列表”兩種解決問題的方法。仔細(xì)看一看，它們之間有什么類似的地方嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)畫圖的同學(xué)是先都畫成雞或者先都畫成兔。列表的第二個同學(xué)也是從全都是雞的情況開始的，表格里寫的數(shù)就對應(yīng)這圖上的頭和腳。

生：我發(fā)現(xiàn)表格調(diào)整的時候，都是以“2只腳”為一份來進(jìn)行調(diào)整，1只雞換成1只兔，腳數(shù)就加2，反之就減2。圖里也是這樣的，每次都是添上2只腳，或者劃去2只腳。

生：我覺得畫圖和列表都可以歸到同一個算式里去。都先假設(shè)8×2=16（只），然后都去驗算：26-16=10（只），要想辦法增加10只腳。根據(jù)規(guī)律1只雞變成1只兔只能增加2只腳，預(yù)算出：10÷2=5（只），要變5只，于是得到答案。

【思考：解決一個問題，可能有很多種方法，每一種方法各有特點，從而各有適用性。但因為都針對同一個問題，因此也必有共同之處。引導(dǎo)學(xué)生對方法進(jìn)行比較，在比較的過程中感悟特點，溝通聯(lián)系，使學(xué)生對問題的理解、對數(shù)學(xué)學(xué)科特點的理解變得更加深刻?！?/p>

三、鞏固練習(xí)，感受模型

1.練習(xí)，感受數(shù)學(xué)文化。

師：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這道古代名題你讀懂了嗎？你能解決嗎？請同學(xué)們用自己喜歡的方法試試看。

2.再次練習(xí)，感知模型。

題目一：有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？

題目二：5角的硬幣和1元的硬幣共有20枚，價值16元。其中5角硬幣有幾枚？1元的呢？

師：這些問題與“雞兔同籠”問題有關(guān)聯(lián)嗎？

生：題目一龜就是兔，鶴就是雞。題目二1元硬幣就是兔，5角硬幣就是雞。

師：看來“雞兔同籠”問題不只是說雞和兔的事，也可以變化出很多不同的情境，像剛才兩道題都能夠找到“雞和兔”的影子。“雞兔同籠”實際上只是一類問題的模型！

3.布置作業(yè)。

編一個有趣的“雞兔同籠”問題。（注意不用“雞”和“兔”！）

【編輯點評】

王相春老師這節(jié)課值得借鑒的有以下三點。

首先，面對全班學(xué)生上課，宜適當(dāng)減緩學(xué)習(xí)的坡度。具體包括：1.放低起點。問題討論中需要用到的一些符號、語言都先做鋪墊。這樣能保證大部分學(xué)生都能夠順利進(jìn)入問題情境，參與問題解決的過程。2.在學(xué)生獨立解題時，積極巡查，準(zhǔn)確判斷學(xué)生的認(rèn)知情況，結(jié)合本課的重點有選擇、有順序地講評學(xué)生作品，層層落實和推廣關(guān)鍵知識和重要方法。3.差異化作業(yè)。解題和編題練習(xí)都允許學(xué)生作個性化的選擇和表現(xiàn)，思維能力弱一點的，模仿程度高一些；思維水平高的，可以作較大的變式。大家都感受到自己的收獲，都有成功的體驗。

其次，做好“多元展示”與“必要溝通”，有意識地提高學(xué)生的認(rèn)知概括水平。從不同的角度切入問題，用不同的表征再現(xiàn)問題，循不同的路徑推理問題，等等，都可能帶來解題方案的不同。展示不同的方案，能拓寬學(xué)生的思路，且在聽取方案的過程中，學(xué)生也在進(jìn)一步熟悉問題，增進(jìn)對問題的理解。但是課堂不應(yīng)就此打住，“用自己喜歡的方法想”只是個性化學(xué)習(xí)的一部分，教師在系統(tǒng)學(xué)習(xí)的過程中還要引導(dǎo)學(xué)生去思考和發(fā)現(xiàn)不同方法之間千絲萬縷的聯(lián)系，對方法做進(jìn)一步的概括和分類。這是學(xué)生不能自覺達(dá)到的認(rèn)知高度，也正是需要教師去主動引導(dǎo)的地方。

這節(jié)課，王老師不僅引導(dǎo)學(xué)生解決具體的“雞兔同籠”問題，更提出高一層次的反思性問題：“畫圖和列表之間有什么相似的地方？”“這些問題與‘雞兔同籠’有關(guān)聯(lián)嗎？”通過這些問題的討論，學(xué)生就能跳出亦步亦趨、就題解題的窠臼，透過問題情境關(guān)注問題結(jié)構(gòu)，掌握“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)模型以及“假設(shè)”的思想方法，獲得更強的學(xué)習(xí)主動性和能動性。