用數(shù)學(xué)建模思想組織教學(xué)
——《“兩積之和結(jié)構(gòu)”的應(yīng)用問題》教學(xué)設(shè)計

陳　慧

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版四年級應(yīng)用問題之“兩積之和結(jié)構(gòu)”。

【教學(xué)過程】

一、課前談話

師：上學(xué)期我們學(xué)了三步計算的應(yīng)用問題，今天我們來研究其中的一類——“兩積之和結(jié)構(gòu)”的應(yīng)用問題。

（板書課題：“兩積之和結(jié)構(gòu)”的應(yīng)用問題）

師：看到“兩積之和結(jié)構(gòu)”你有什么想問的？

生：什么叫“兩積之和結(jié)構(gòu)”？

生：“兩積之和結(jié)構(gòu)”的問題有哪些？怎么解決？

二、新授

1.逐步呈現(xiàn)“兩積之和結(jié)構(gòu)”。

第一環(huán)節(jié)：

師：老師家的兩塊玻璃不小心打破了，現(xiàn)在老師想配這兩塊玻璃。要想知道應(yīng)該付給玻璃店老板多少錢，你認(rèn)為需要知道什么？

生：要想知道總價錢，我們需要知道玻璃的單價，以及待配玻璃的總面積。

（出示課件，單位cm，下同）

師:現(xiàn)在能求出玻璃的總面積嗎？怎么求？

生：要求兩個長方形的面積和，可以先分別計算出長方形A和B的面積，也就是12×20和15×10，然后把它們的積加起來，算式是：12×20+15×10=390。

（教師引導(dǎo)學(xué)生觀察算式結(jié)構(gòu)，得出“積+積=和”的結(jié)構(gòu)，也就是“兩積之和結(jié)構(gòu)”）

第二環(huán)節(jié)：

（出示課件）

師：和前一幅圖相比，這幅圖有什么變化？你還能求出A、B的面積和嗎？

生：這道題沒有直接給出A的寬。

師：這個問題是“兩積之和結(jié)構(gòu)”嗎？

生：是兩積之和，只是其中的一個信息要間接求得。

［學(xué)生獨立嘗試，教師展示并講評：15×10+（30-10）×12］

第三環(huán)節(jié)：

（出示課件）

師：這回又有什么變化？有發(fā)現(xiàn)嗎？

生：第一幅圖告訴我們A、B的長、寬，求它們的面積和；現(xiàn)在A、B的面積和，B的長、寬以及A的長知道，要求A的寬。

師：還是這幾個數(shù)量，只不過把原來未知的變成已知的；把原來已知的一個信息，變成未知的問題。

（學(xué)生獨立嘗試的基礎(chǔ)上，教師指名展示、講評）

生：（390-10×15）÷20=12。

生：10×15+20×？=390。

師：我們先看“10×15+20×？=390”，能看懂嗎？

生：10×15就是 B的面積，20×？就是A的面積，合起來是 390cm2。

師：那么“（390-10×15）÷20=12”是什么意思呢？

生：390減去B的面積就是A的面積，然后用面積除以長求出A的寬。

生：這兩種算法是一樣的。“10×15+20×？”表示了題目本來的意思，“（390-10×15）÷20”就是求解“？”的過程。

師：你們認(rèn)為這道題是不是“兩積之和結(jié)構(gòu)”的問題？

生：是“兩積之和結(jié)構(gòu)”的逆向問題。

板書:▲×20+10×15=390

▲=（390-10×15）÷20

2.雞兔同籠問題。

（出示圖：觀察已知和未知）

生：15×▲+12×●=390。

生：15×▲表示B的面積，12×●表示A的面積，390是面積和。

生：圖中還告訴我們▲+●=30，所以我建議把等式改成：15×▲+12×（30-▲）=390。

（教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖，解釋等式各部分表示的意思）

師：我們怎么來求▲表示多少呢？

（視班級基礎(chǔ)，結(jié)合圖形引導(dǎo)求解）

3.比較與聯(lián)系。

師：（整體呈現(xiàn)四個問題）它們有什么聯(lián)系與區(qū)別？

生：都是“兩積之和結(jié)構(gòu)”，可以把直接信息變?yōu)殚g接信息，也可以從正向求和變?yōu)槟嫦蚯笕∑渲幸粋€數(shù)量。

小結(jié)：數(shù)學(xué)中有很多問題實質(zhì)上是同一類數(shù)量結(jié)構(gòu)，只是做了一些變化，我們只要抓住本質(zhì)，就能化繁為簡、化難為易。

三、鞏固應(yīng)用

1.讀一讀，想一想，下面的問題和前面“兩積之和結(jié)構(gòu)”的圖像有什么聯(lián)系？

商品　單價　數(shù)量A 20　12 B 15　10總價??？

生：A的單價和數(shù)量相當(dāng)于A長方形的長和寬，A的總價相當(dāng)于A長方形的面積；B同此理。本題和第一幅圖表示的結(jié)構(gòu)一樣。

師：第一幅圖除了可以表示總價和，還可以表示什么？誰能再用圖里的信息編一道應(yīng)用問題？

工作問題：師傅每小時做20個零件，做了12小時，徒弟每小時做15個零件，做了10小時，師徒一共做了多少個零件？

行程問題：一艘小貨船，先以每小時20千米的速度行12小時，又以每小時15千米的速度行10小時，終于從A地到達(dá)B地。A、B兩地相距多少千米？

……

2.買8件羊毛衫和7件襯衣共付1646元，1件羊毛衫120元，1件襯衣多少錢？

師：你會做嗎？和“兩積之和結(jié)構(gòu)”的問題有什么關(guān)系？

生：這道題是“兩積之和”逆向問題。

師：你能用題目里的這些信息，通過間接條件或者方向變化，改編出哪些應(yīng)用問題？又分別如何求解？請在作業(yè)本上寫一寫，算一算。

四、全課小結(jié)（略）

【編輯點評】

多步應(yīng)用問題一直是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個難點。基本數(shù)量關(guān)系一經(jīng)復(fù)合，錯綜復(fù)雜，變化多端。張?zhí)煨⒗蠋熃?jīng)過長期研究，梳理出小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題復(fù)合關(guān)系的三大基本結(jié)構(gòu)——“兩積之和”“兩商之差”“正反比例”。并基于這三大基本結(jié)構(gòu)，通過情節(jié)性、擴縮性和可逆性變換，演繹出了絕大部分小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)合應(yīng)用問題。這就以簡馭繁，幫助廣大教師抓住了應(yīng)用題教學(xué)的“牛鼻子”。

陳慧老師這一節(jié)課，教學(xué)的正是其中的一種基本結(jié)構(gòu)——“兩積之和結(jié)構(gòu)”。陳老師依托教材，牢牢把握住了其中的數(shù)學(xué)邏輯，同時又根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點，做了一些創(chuàng)造性的設(shè)計，使得教學(xué)情境更富童趣，教學(xué)層次更加豐富，值得學(xué)習(xí)。

引入部分，陳老師設(shè)計了一個“配玻璃”的現(xiàn)實情境，這個情境既真實又概括，可謂輕重合宜，一舉兩得。真實，可以激發(fā)學(xué)生參與的積極性；概括，可以較快切入面積圖的分析與學(xué)習(xí)。

展開部分，陳老師借助面積圖與等式表征，成功強調(diào)了“兩積之和結(jié)構(gòu)”及其變式。其中有三個細(xì)節(jié)顯示出教的主導(dǎo)性和有效性。其一，面積圖層級遞進(jìn)，設(shè)計得比較合理，變式落在多數(shù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，多數(shù)學(xué)生有嘗試的積極性和可能性。其二，算術(shù)解法和代數(shù)解法溝通，用代數(shù)解法去點明結(jié)構(gòu)，用算術(shù)解法鍛煉逆向推理。其三，以多圖整體呈現(xiàn)，比較聯(lián)系作為課堂小結(jié)，引領(lǐng)學(xué)生跳出具體問題的解決，梳理問題的結(jié)構(gòu)和發(fā)展脈絡(luò)，做更高層次的反思和概括，培養(yǎng)批判性思維。

練習(xí)只有兩題，內(nèi)涵卻很豐厚。第一題，發(fā)散思維，情境變換；第二題，邏輯推理，可逆變換。在變換中進(jìn)一步強化“兩積之和結(jié)構(gòu)”，積累數(shù)學(xué)變式的經(jīng)驗，體會模型思想。

數(shù)學(xué)課有數(shù)學(xué)味：概括，使數(shù)學(xué)簡明；變式，讓數(shù)學(xué)豐滿。在概括與變式之間自覺穿行，讓我們的學(xué)生更加聰明！