完整系統(tǒng)與非完整系統(tǒng)的自由度討論

項(xiàng)秉坷

摘要：分別討論了完整約束、線性非完整約束、非線性非完整約束加在虛位移上的條件，得出了獨(dú)立的廣義坐標(biāo)數(shù)與廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，確定了系統(tǒng)的自由度。

關(guān)鍵詞：自由度；完整約束；非完整約束

引言

在分析力學(xué)之前，確定物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為系統(tǒng)的自由度。而在分析力學(xué)中，變分占據(jù)著重要的地位，自由度的定義也變成了廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分?jǐn)?shù)，下面我們將看到在完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)中廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分?jǐn)?shù)與獨(dú)立的廣義坐標(biāo)的個數(shù)之間的關(guān)系。

2.完整系統(tǒng)

分析力學(xué)中的自由度定義如下：系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分?jǐn)?shù)目，稱為系統(tǒng)的自由度。

首先研究完整約束加在虛位移上的條件。設(shè)力學(xué)系統(tǒng)有個質(zhì)點(diǎn)組成，并受有個完整約束，即：

（1）

在瞬時，系統(tǒng)中的點(diǎn)由發(fā)生虛位移，而達(dá)到點(diǎn)，根據(jù)虛位移的定義，質(zhì)點(diǎn)的新位置必須仍在約束面上，即有

（2）

將其展開為級數(shù)，有：

（3）

利用（1）式，忽略高階小量，得

（4）

這就是個完整約束（1）加在虛位移上的個限制條件，此時獨(dú)立變分?jǐn)?shù)只剩下了個。由于，故方程（4）有無窮多個解。

對于完整約束，選個彼此獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，直角坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)表示出：

（5）

其變分可用獨(dú)立變分表示出：

（6）

因此，對于完整系統(tǒng)，獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目等于獨(dú)立變分的數(shù)目。即系統(tǒng)獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)即為系統(tǒng)的自由度。

3.非完整系統(tǒng)

對于非完整約束系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)受個線性非完整約束，其微分形式為：

（7）

其中系數(shù)是坐標(biāo)和時間的函數(shù)。在的特殊情況下，約束稱為線性齊次非完整約束。因?yàn)樘撐灰剖窍到y(tǒng)位置在這一時刻相應(yīng)的變化，時間不變，故可在上式中用符號代替，并且，可得：

（8）

這是約束加在虛位移上的條件，將（6）式代入（8）式，得到

（9）

其中

（10）

因此，對具有個完整約束和個非完整約束的力學(xué)系統(tǒng)，獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目仍然是，但有個關(guān)系式（9），獨(dú)立變分?jǐn)?shù)目成為。

對于非線性非完整約束情形，假設(shè)系統(tǒng)所受約束有如下形式：

（11）

關(guān)于此時加在虛位移上的限制，Appell-Четаев給出了一種公理性的定義：

（12）

可以看出，線性非完整約束是它的特殊情形。

此時，獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目仍然是，但有個關(guān)系式（12），獨(dú)立變分?jǐn)?shù)目成為。

4.結(jié)論

對完整系統(tǒng)來說，獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目等于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分?jǐn)?shù)目。對非完整系統(tǒng)，因?yàn)樽鴺?biāo)變分之間有個關(guān)系式（9）或（12），所以已不全是獨(dú)立的，只有個是獨(dú)立的。因此，對于非完整系統(tǒng)來說，獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目是，而獨(dú)立變分的數(shù)目為獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目減去非完整約束方程的數(shù)目，即。

參考文獻(xiàn)

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程（第三版）[M].北京.高等教育出版社，2009

[2]梅風(fēng)翔.分析力學(xué)（上卷）[M].北京.北京理工大學(xué)出版社，2013

[3]梅風(fēng)翔，劉端，羅勇.高等分析力學(xué)[M].北京.北京理工大學(xué)出版社，1991