簡解北京初中數(shù)學(xué)競賽題

王勇紅

題目 關(guān)于m，n的方程5m2-6mn+7n2=2 011是否存在整數(shù)解？若存在，請寫出一組解；若不存在，請說明理由.

這是2011年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（初二）試卷的第四大題，筆者在閱讀文[1]時發(fā)現(xiàn)它的分析和解法都過于復(fù)雜，讓人們感覺該題很難，其實(shí)該題并不難解，可以直接用整數(shù)的奇偶性來解答.

解 因?yàn)? 011是奇數(shù)，故m，n不能同奇偶.

（1）當(dāng)m=2k，n=2s+1時（k，s為整數(shù)），

則5m2-6mn+7n2=2011k（5k-3）+7s（s+1）-6ks=501.

不論k，s的奇、偶性如何，k（5k-3）+7s（s+1）-6ks都是偶數(shù)，故無整數(shù)解.

（2）當(dāng)m=2k+1，n=2s時（k，s為整數(shù)），

則5m2-6mn+7n2=2 01110k2+10k-6s+14s2-12sk=1 003，

10k2+10k-6s+14s2-12sk是偶數(shù)，故也無整數(shù)解.

故方程不存在整數(shù)解.