平面幾何最值問題的解法解析

莫曉文

【摘要】 平面幾何最值問題是高中數(shù)學教學過程中較為重要的學習內(nèi)容，在高考中所占分數(shù)的比例還是較大的.但是由于在解題的過程中計算量較大，對運算求解能力要求比較高，所以學生對此內(nèi)容的學習較為困難，因此，本文針對一些平面幾何最值問題的經(jīng)典例題，總結(jié)歸納其中的解答技巧，為分析研究關于平面幾何最值的問題，提供相應的教學策略.

【關鍵詞】 高中；平面幾何；最值；教學策略

高中解析平面幾何最值問題是數(shù)學教學中的一大難題，高考中分值所占的比重較大.可以簡單劃分成兩種，一種是針對在平面中的幾何圖形所包含的兩線之間的夾角、點線之間的距離，甚至幾何圖形的面積大小的最值；另外一種指的是直線與曲線之間的最值問題.

一、平面幾何最值解題策略分析

平面幾何最值問題屬于綜合性問題，這種綜合性主要體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互融合，常見的解法有兩種：曲線法、函數(shù)法.下面結(jié)合本人的教學經(jīng)驗和一些例題總結(jié)出幾種利用平面幾何知識巧解最值問題的方法.

（一）曲線定義

首先，圓錐曲線的概念，指的是曲線上動點的本質(zhì)屬性的反映.如果要研究分析圓錐曲線中最值的問題，需要巧妙熟練地運用定義，就可以把問題簡單化，同時，還可收到好的效果，簡單明了得到問題的答案.

例如，已知點F為拋物線y2=2x的焦點，點A（3，2），試在拋物線上求一點P，使|PA|+|PF|的值最小，并求最小值.

解 如圖所示：拋物線y2=2x的焦點為F 1 2 ，0 ，準線為l：x=- 1 2 ，由拋物線的定義知，PF與P到l的距離相等，于是，若對于拋物線上的點P作PQ⊥l于Q，則有|PF|=|PQ|，從而|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，而為了使右端最小，其充要條件是A，P和Q三點共線.從而，若設P（x，y）為所求的點，則y=2.從而x= 1 2 y2=2，∴P點坐標為（2，2）.所以，|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|=|AQ|= 7 2 ，∴點P（2，2）為所求的點，此時|PA|+|PF|達到最小值 7 2 .

（二）函數(shù)思想

在高中解析幾何最值問題的教學過程中，將合適的變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)思想進行最值問題的解決是一個有效的策略，例如，在2010年的福建高考題中，可以通過二次函數(shù)配方法快速解決解析幾何中的最值問題.

例如，若點O和點F為橢圓 x2 4 + y2 3 =1的中心和左焦點，點P是橢圓上的任意點，求OF ·FP 的最大值.對于該題，可以巧妙地利用函數(shù)思想進行解答.首先，通過題意可以知F（-1，0），假設點P（x0，y0），則可以得到算式 x20 4 + y20 3 =1，將之變化為y20=3· 1- x20 4 .同時，因為FP =（x0+1，y0），OP =（x0，y0）.所以OP ·FP =x0（x0+1）+y20=x0（x0+1）+3 1- y20 4 = y20 4 +x0+3，可知-2≤x0≤2，因此，當x0=2時，OP ·FP 的最大值為 22 4 +2+3=6.

同時，在高中解析幾何求最值的教學過程中，要注意四邊形面積公式S= 1 4 |AB||CD||sinθ|的通用.這也是一種巧妙利用函數(shù)形式解決解析幾何最值問題的重要途徑.

（三）基本不等式

在高中解析幾何的最值問題求解中，當所體現(xiàn)的函數(shù)關系滿足基本不等式使用的條件時，可以將其轉(zhuǎn)化為利用不等式方法來進行準確解答.在這一解題過程中，要掌握好配湊的技巧，結(jié)合“一正二定三相等”原則求最值，例如，

已知橢圓E： x2 a2 + y2 3 =1（a>3）的離心率e= 1 2 ，直線x=t（t>0）與曲線E交于M，N兩個不同點，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C.問題：（1）求橢圓E的方程；（2）若圓C與Y軸相交于不同兩點A，B，求三角形ABC的面積最大值.該題可以采用不等式的方法進行解答，獲得最終答案.

對于問題1，可知 a2-3 a = 1 2 ，由此解答出a=2.也就能得出橢圓E的方程為 x2 4 + y3 3 =1.而對于第二個問題，可以設圓心為C（t，0）（0

而根據(jù)上面已經(jīng)得到的半徑值，可以得出|AB|=2 r2-d2 =2 12-3t2 4 -t2= 12-7t2 ，從而計算出三角形ABC的面積為S= 1 2 ·t 12-7t2 = 1 2 7 ×（ 7 t）· 12-7t2 ≤ 1 2 7 × （ 7 t）2+12-7t2 2 = 3 7 7 ，而且根據(jù)題意及不等式定義，當且僅當 7 t= 12-7t2 ，即t= 42 7 時，等號成立，因此，三角形ABC的面積最大值為 3 7 7 .

二、總 結(jié)

本文主要通過曲線定義、函數(shù)思想以及基本不等式三個方面研究分析了高中平面幾何的最值的問題，通過相關案例可以簡單清楚地了解其中所蘊含的奧秘，同時，也為平面幾何最值的教學策略提供了很多豐富的內(nèi)容及技巧.