離散數(shù)學(xué)課程知識結(jié)構(gòu)建設(shè)與改革

汪楚嬌　張艷群　韓麗霞

【摘要】 為了解決“離散數(shù)學(xué)”教育課程概念多、內(nèi)容散的問題，本文提出了針對不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)策略，設(shè)計了針對離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)模型.在對課程的知識點(diǎn)進(jìn)行了劃分的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)利用知識點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，建立有序的前導(dǎo)關(guān)系.在貫穿數(shù)學(xué)建模思想上，提出了合理的教學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)模型，加強(qiáng)邏輯，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

【關(guān)鍵詞】 課程建設(shè)；教學(xué)改革；知識點(diǎn)；知識結(jié)構(gòu)

【基金項目】 2015年中國礦業(yè)大學(xué)校級教改項目（項目編號：2015YB26）.

一、引 言

離散數(shù)學(xué)課程，從1982年向本科生開設(shè)起，可以說進(jìn)行了不間斷的建設(shè).在1999年，離散數(shù)學(xué)被確定為計算機(jī)學(xué)院的重點(diǎn)建設(shè)課程.由于離散數(shù)學(xué)充分描述了計算機(jī)學(xué)科離散性的特點(diǎn)，為計算機(jī)學(xué)科的研究和應(yīng)用提供了有力的數(shù)學(xué)工具，同時，能夠訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維和推理能力，所以是計算機(jī)學(xué)科基礎(chǔ)理論課程.為了體現(xiàn)離散數(shù)學(xué)與后繼專業(yè)課的密切性，離散數(shù)學(xué)的教育目標(biāo)是使學(xué)生不僅能了解某個領(lǐng)域的知識，而且要學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)的知識，提出相應(yīng)問題解決的一類數(shù)學(xué)方法.離散數(shù)學(xué)，既然是數(shù)學(xué)，其嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論是自身特色.但我們在教學(xué)中不能只陳述抽象的概念，證明抽象的定理，而應(yīng)讓學(xué)生清楚地感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“知其然，并知其所以然”的樂趣.該課程具有“概念多、內(nèi)容散、理論強(qiáng)且高度抽象”的特點(diǎn)，因而對概念的理解是這門學(xué)科的核心.因此，在教學(xué)實(shí)踐中，我們重點(diǎn)探索離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，針對如何提供有效的學(xué)習(xí)策略幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率.

二、課程知識結(jié)構(gòu)表示

在計算機(jī)本科專業(yè)中，離散數(shù)學(xué)一般主要包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)與圖論這四個部分.大量的概念和定義定理證明讓本來充滿樂趣和挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)變得枯燥無味.以往的教學(xué)經(jīng)驗表明，學(xué)生們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏懼心理來自于對概念和性質(zhì)的掌握困難性上.而對概念掌握的困難其實(shí)在于學(xué)生不能理解概念定義的緣由以及用途.學(xué)生往往不能在腦海中建立起它們與現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的聯(lián)系，抓不住知識的內(nèi)在聯(lián)系，所以，通常對書上的例題一看就懂，但獨(dú)立解題的時候卻無從下手，因而，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程的興趣不高，教學(xué)效果不理想.因此，我們強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的過程是不斷建立體系的過程，通過幫助學(xué)生了解概念背后的真實(shí)含義，了解概念和概念之間的聯(lián)系，了解概念累積之后相關(guān)性質(zhì)的探討的目的性，來讓學(xué)生感受到概念不再只是文字和符號，概念是一種語言，是描述專業(yè)知識的活生生的語言.

離散數(shù)學(xué)各章節(jié)看似無多大聯(lián)系，但事實(shí)上整個課程體系相互聯(lián)系、相互依賴.圖、樹可作為我們認(rèn)識世界的一個直觀、有力的工具，集合的運(yùn)算、關(guān)系可用圖來描述；關(guān)系是在集合的基礎(chǔ)上來定義，函數(shù)是一種特殊的關(guān)系；代數(shù)系統(tǒng)的定義又是建立在關(guān)系的基礎(chǔ)上；而所有的推理證明都是在邏輯代數(shù)的指導(dǎo)下進(jìn)行.本文針對離散數(shù)學(xué)這門課程，按照課程的知識結(jié)構(gòu)，表示出一個以知識點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)圖.首先，要對知識進(jìn)行劃分、構(gòu)造知識結(jié)構(gòu)、再將知識結(jié)構(gòu)劃分為原子知識點(diǎn)，按照知識點(diǎn)的內(nèi)容和之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系進(jìn)行劃分，把知識點(diǎn)之間的關(guān)系表示為有序關(guān)系，讓學(xué)生清楚理解到這個有序關(guān)系中的前導(dǎo)關(guān)系和后續(xù)關(guān)系.下面以數(shù)理邏輯部分為例，展示如何將離散數(shù)學(xué)中不同的章節(jié)的知識點(diǎn)之間的聯(lián)系清晰地建立起來，讓學(xué)生能夠輕松地掌握大量概念以及推理證明的數(shù)學(xué)符號之間的關(guān)系.

（一）構(gòu)造知識結(jié)構(gòu)

數(shù)理邏輯是方法論的學(xué)習(xí)，它是所有學(xué)科的基礎(chǔ)，同時，也貫穿在離散數(shù)學(xué)其他章節(jié)的內(nèi)容里.尤其需要說明的一點(diǎn)是：在條件關(guān)系中的“善意的推定”規(guī)則（即如果前件為假，則命題為真，不管后件如何），可以讓邏輯理論較完備，但學(xué)生通常不能理解和接受.但是通過數(shù)學(xué)推理中的一系列結(jié)論，可以讓學(xué)生清楚地了解到，規(guī)則制定的邏輯性和嚴(yán)密性.

首先，將知識結(jié)構(gòu)劃分為原子知識點(diǎn)，按照知識點(diǎn)的最小粒度進(jìn)行劃分.數(shù)理邏輯部分的內(nèi)容大致如圖1所示.

例如，一個最小的連接詞組就是一個集合.由一個或者若干個連接詞構(gòu)成的集合，使得對于任何命題公式都可以用這個集合中的某些連接詞來等價的表示，而刪除這個集合中的任何一個連接詞，就不能將所有的命題公式表達(dá)出來.因此，表達(dá)命題的基礎(chǔ)是連接詞，表達(dá)命題公式的基礎(chǔ)是命題.

（二）構(gòu)造知識點(diǎn)關(guān)系圖

為了讓學(xué)生更清楚地理解所有知識點(diǎn)之間的承接關(guān)系，我們在課堂上應(yīng)用離散數(shù)學(xué)中的關(guān)系表達(dá)方式，來將所有的知識點(diǎn)串接起來.以一個二元組表示（知識點(diǎn)，相鄰知識點(diǎn)），其中，關(guān)系包含兩種，即前驅(qū)與后繼，如圖2所示.2元組表達(dá)式（連接詞，集合），（連接詞，命題），（命題，命題公式）的第一個元素表示為前驅(qū)結(jié)點(diǎn)，第二個元素表示為后繼結(jié)點(diǎn).

然后，在知識點(diǎn)劃分的基礎(chǔ)之上，重點(diǎn)梳理知識點(diǎn)之間的聯(lián)系.例如，連接詞和命題之間的關(guān)系，命題和命題公式之間的關(guān)系，等價式以及范式之間的關(guān)系，等價式和范式之間的關(guān)系，以及連接詞和等價公式之間的關(guān)系等等，是課程重點(diǎn).

（三）知識結(jié)構(gòu)模型

1.本章內(nèi)容之間的知識結(jié)構(gòu)

首先，梳理集合論本章的概念之間的遞進(jìn)聯(lián)系，讓學(xué)生能夠清楚課程內(nèi)容之間的本質(zhì)聯(lián)系.例如，由命題標(biāo)識符與命題連接詞之間的聯(lián)系引入命題公式，由原子命題和命題連接詞引入命題翻譯，由命題公式引入真值表，由真值表引入永真式和永假式以及可滿足式等.對知識點(diǎn)進(jìn)行組織，形成無向圖如圖3所示.

2.不同章節(jié)之間內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)

我們不能只是局限于本章節(jié)知識點(diǎn)之間的關(guān)系，要同時讓學(xué)生能夠理解不同章節(jié)之間的內(nèi)容的相關(guān)性.要讓學(xué)生了解到不同章節(jié)知識點(diǎn)看似松散，實(shí)則承前啟后，相互呼應(yīng).知識點(diǎn)所在的層次和深度會隨著所學(xué)習(xí)的課程內(nèi)容不斷擴(kuò)展.所以，形成本章內(nèi)容概念和其他章節(jié)內(nèi)容之間的鏈接，讓知識點(diǎn)之間形成一個有機(jī)的整體，才能最終讓學(xué)生真正掌握所學(xué)知識.掌握這些概念的時候，不能孤立地一個個討論，必須有比較地看，討論它們之間的關(guān)系、區(qū)別和聯(lián)系，這樣才能比較容易把握住各個概念的實(shí)質(zhì).如果并運(yùn)算可以表示為滿足兩個命題的析取所構(gòu)成的所有元素，交運(yùn)算可以表示為兩個命題的合取所構(gòu)成的所有元素.另外，集合的敘述法可以用謂詞公式進(jìn)行描述.并且，集合中的全集可以看作謂詞邏輯中的重言式，空集是謂詞邏輯中的矛盾式.并且數(shù)理邏輯中的運(yùn)算定律在集合論中也成立.但是謂詞邏輯與集合論是兩個不同的范疇，需要注意它們之間的聯(lián)系和區(qū)別.

在理解關(guān)系的基本性質(zhì)的時候，根據(jù)定義，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)誤判，對定義不能完全理解.學(xué)生不能理解只有一個序偶的關(guān)系是具有傳遞性的，按照通常的理解學(xué)生認(rèn)為這里沒有傳遞關(guān)系的存在，如果只是簡單地讓學(xué)生記住判斷方法并不能消除學(xué)生心里的疑惑.我們要做的是讓學(xué)生真正地知其然并知其所以然.在這里，如果用數(shù)理邏輯的方式描述，學(xué)生會恍然大悟.因為定義是以條件式的形式出現(xiàn)，因而前件為假，則條件式必定成立.所以，在沒有首尾相連的序偶對出現(xiàn)時，是滿足傳遞性的.

三、學(xué)生參與到知識結(jié)構(gòu)的組織中

在課外學(xué)時分小組對其進(jìn)行討論，通過提出特定化的問題，讓學(xué)生根據(jù)自己的思考，討論知識點(diǎn)之間的聯(lián)系.例如，為了讓學(xué)生清楚地了解到集合中的概念和證明方法和數(shù)理邏輯之間的聯(lián)系，提出以下問題：（1）集合恒等式的證明方法有幾種？（2）命題邏輯和謂詞邏輯推理的方法有幾種？（3）比較二者之間的聯(lián)系.（4）比較集合中的列舉方法和數(shù)理邏輯中的真值表，并畫出表格進(jìn)行比較.（5）用數(shù)理邏輯中的連接詞將關(guān)系的五個基本類型表達(dá)出來.（6）集合中的等價關(guān)系和偏序關(guān)系同數(shù)理邏輯中的蘊(yùn)含和等價式的概念如何聯(lián)系.在后續(xù)的教學(xué)中，我們也注意選取有趣的事例來活躍課堂.除了在內(nèi)容上選取有趣的事例外，在課堂教學(xué)中，我們還非常注意使用幽默風(fēng)趣的語言.這些嘗試激發(fā)了學(xué)生的直接學(xué)習(xí)動機(jī)，增強(qiáng)了對這門課程的興趣.對于間接性學(xué)習(xí)動機(jī)的激發(fā)，我們主要通過增加教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)的聯(lián)系，讓學(xué)生了解離散數(shù)學(xué)的重要性和作用.我們還將努力從不同的角度思考來改進(jìn)教學(xué)方法，改革課程內(nèi)容，讓離散數(shù)學(xué)這門古老的課程繼續(xù)煥發(fā)迷人的風(fēng)采.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉鐸.離散數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)課程研究性教學(xué)改革初探[J].計算機(jī)教育，2012（24）：41-44.

[2]賀國強(qiáng).個性化協(xié)學(xué)生習(xí)系統(tǒng)中學(xué)生模型的構(gòu)建與應(yīng)用[D].北京：首都師范大學(xué)，2009.

[3]聶雅琳，王海軍.基于悖論的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革與實(shí)踐[J].教育論壇，2010（5）：128.