淺談行列式的計(jì)算方法

卞蘭蕓

【摘要】 本文歸納總結(jié)了行列式的三種重要算法：化三角形法、加邊法和范德蒙行列式法，并通過(guò)例子說(shuō)明了這些方法在解決各類問(wèn)題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 行列式；加邊法；范德蒙行列式

行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中的一個(gè)重要問(wèn)題，在數(shù)學(xué)的各類分支中有極為廣泛的應(yīng)用.但行列式的計(jì)算方法很多且靈活多變，需要有較強(qiáng)的解題技巧.本文介紹了三類重要算法，并通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明.

一、化三角形法

化三角形法就是利用行列式的性質(zhì)將原行列式化成上（下）三角形行列式[1]計(jì)算的一種方法.根據(jù)上（下）三角形行列式元素的特點(diǎn)和結(jié)果的特殊性，用此種方法的主要過(guò)程就是化零元素，對(duì)一些特殊的行列式特別適用.

例1 計(jì)算爪型行列式[2]Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n .

分析 化此行列式為上三角形的過(guò)程就是要把主對(duì)角線以下的第一列的n-1個(gè)1化為0，但要同時(shí)保證主對(duì)角線以下的其他零元素不變.這里只有依次做列運(yùn)算c1- 1 j cj （j=2，3，…，n）才可實(shí)現(xiàn).

Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n = 1-∑ n j=2 1 j 1 1 … 10 2 0 … 00 0 3 … 0 0 0 0 … n

=n！ 1-∑ n j=2 1 j .

二、加邊法

加邊法又叫作升階法，即給原n階行列式加一行一列得到n+1階行列式并使其值不變.

例2 計(jì)算行列式

Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an .

分析 此行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線上的元素是1+a1，主對(duì)角線外其他元素全為1，則可加元素全為1的一行，利用性質(zhì)將其化為例1中的類型.

Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an

= 1 1 1 … 1-1 a1 0 … 0-1 0 a2 … 0 -1 0 0 … an

=a1a2…an 1+∑ n i=1 1 ai .

三、范德蒙行列式法

著名的范德蒙公式是：

Dn= 1 1 1 … 1x1 x2 x3 … xnx21 x22 x23 … x2n xn-11 xn-12 xn-13 … xn-1n =∏ 1≤j

范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：第一行元素全為1，第二行元素為n個(gè)數(shù)，第三行元素為n個(gè)數(shù)的2次方，依此類推，第n行元素為n個(gè)數(shù)的n-1次方.若行列式的各行（列）中出現(xiàn)有規(guī)律的元素的k次方，我們往往都會(huì)用到范德蒙行列式法.

例3 計(jì)算行列式

Dn+1= an （a-1）n （a-2）n … （a-n）nan-1 （a-1）n-1 （a-2）n-1 … （a-n）n-1 a a-1 a-2 … a-n1 1 1 … 1 .

分析 可將行列式的行依次交換成標(biāo)準(zhǔn)的范德蒙行列式，這個(gè)行交換過(guò)程共需做n+（n-1）+…+1= n（n+1） 2 次.

Dn+1=

（-1） n（n+1） 2 1 1 1 … 1a a-1 a-2 … a-na2 （a-1）2 （a-2）2 … （a-n）2 an （a-1）n （a-2）n … （a-n）n

=∏ n+1≥i，>j≥1 （i-j）.

矩陣中的很多問(wèn)題可以借助行列式的計(jì)算解決，比如判定方陣的可逆性、求矩陣對(duì)應(yīng)的向量組的線性相關(guān)性等，因此，行列式的計(jì)算極為重要.在計(jì)算行列式時(shí)，我們要把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳紹林，唐道遠(yuǎn).線性代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

[2]李師正.高等代數(shù)復(fù)習(xí)解題方法與技巧[M].北京：高等教育出版社，2005.