線性變換關(guān)于向量的指數(shù)

林大華,戴立輝

（閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建福州350108）

線性變換關(guān)于向量的指數(shù)

林大華,戴立輝

（閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建福州350108）

引入線性變換關(guān)于向量的指數(shù)概念，并對(duì)其進(jìn)行探討，得到了若干結(jié)論。通過(guò)線性變換關(guān)于向量的指數(shù)，刻畫(huà)了冪幺線性變換的等價(jià)條件。

線性變換；向量；指數(shù)

線性空間的線性變換的某個(gè)冪為恒等變換時(shí)，稱為冪幺線性變換。線性空間中的每一個(gè)向量，在冪幺線性變換的某個(gè)冪的作用下不變。根據(jù)線性變換與矩陣的關(guān)系，冪幺線性變換與冪幺矩陣一樣有許多很好的性質(zhì)，關(guān)于它們的研究結(jié)果也較為豐富[1-2]。

討論較冪幺線性變換條件弱一些的線性變換，即線性變換的某個(gè)冪僅對(duì)線性空間中的某個(gè)向量作用時(shí)不變，由此引入線性變換關(guān)于向量的指數(shù)概念，并對(duì)其進(jìn)行探討。通過(guò)對(duì)線性變換關(guān)于向量指數(shù)的研究，刻畫(huà)了冪幺線性變換的等價(jià)條件。

若無(wú)特別說(shuō)明，所涉及到的數(shù)均為正整數(shù)。用Z表示整數(shù)集合，用a|b表示正整數(shù)a整除正整數(shù)b，[a1,a2,…,an]表示正整數(shù)a1,a2,…,an的最小公倍數(shù)。其他記號(hào)見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

定義1設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，若對(duì)α∈V，存在最小正整數(shù)k，使得σk(α)=α，則稱σ關(guān)于α的指數(shù)為k，否則稱σ關(guān)于α的指數(shù)為∞。

用zσ(α)表示σ關(guān)于α的指數(shù)，用Zσ(α)＜∞ 表示σ關(guān)于α的指數(shù)為有限正整數(shù)。

顯然，V的恒等變換1V關(guān)于V的任一個(gè)向量的指數(shù)都為1。而V的任意線性變換關(guān)于V的零向量指數(shù)都為1。

定理1設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，α∈V。σk(α)=α，則zσ(α)=k? 由σm(α)=α，可推出k|m。

證明 (?)設(shè)m=pk+r(0≤r＜k),

若r≠0，則α=σm(α)=σpk+r(α)=σr(σpk(α))=

這與zσ(α)=k＞r矛盾，所以r=0，于是k|m。

(?)因?yàn)棣襨(α)=α，所以Zσ(α)=t≤k,且由必要性有t|k。另一方面由σt(α)=α及條件有k|t，故zσ(α)=t=k。

推論1設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，α,β∈V，則

（1）當(dāng)zσ(α)=k時(shí)，有σm(α)=α?k|m;

（2）對(duì)k(≠0)∈F，有zσ(kα)=zσ(α)；

（3）當(dāng)zσ(α)＜∞ ,zσ(β)＜∞ 時(shí)，有 |zσ(α+β)zσ(α)zσ(β);

（4）當(dāng)zσ(α)=a,zσ(β)=b且 (a,b)=1 時(shí) ，有zσ(a+b)=ab。

證明（1）(?)由定理1的必要性可得。

(?)由條件可設(shè)m=pk，于是有

（2）當(dāng)zσ(α)=∞時(shí)，若zσ(kα)=m＜∞,

則有kσm(α)=σm(kα)=kσ,

于是由k≠0，有σm(α)=α，這與zσ(α)=∞,

矛盾，故zσ(kα)=∞=zσ(α)。

當(dāng)zσ(α)=m＜∞時(shí)，有σm(α)=α，

于是σm(kα)=kσm(α)=kα，所以zσ(kα)=n＜∞且由定理1可得n|m。 另一方面，由kσn(α)=σn(kα)=kα及k≠0有σn(α)=α，于是由定理1可得m|n，故n=m，即zσ(kα)=zσ(α);

（3）設(shè)zσ(α)=a,zσ(β)=b，則σa(α)=α,σb(β)=β，于 是σab(α+β)=σab(α)+σab(β)=α+β,所以zσ(α+β)|ab，即zσ(α+β)|zσ(α)zσ(β);

（4）設(shè)zσ(α+β)=m，則由（3）可知m|ab。另一方面，由α+β=σam(α+β)=σam(α)+σam(β)=α+σam(β)可得σam(β)=β，于是b|am，從而由 (a,b)=1得b|m。

同樣可得a|m。再由(a,b)=1得ab|m。

故m=ab，即zσ(α+β)=ab。

推論2設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，則集合Vσ={α∈V|zσ(α)＜∞}是σ的不變子空間。

證明 首先，由zσ(0)=1可知0∈Vσ，所以Vσ是V的非空子集。

其次，?α,β∈Vσ, ?k∈P，有zσ(α)＜∞,zσ(β)＜∞，于是由推論1的（2）（3）有

從而kα∈Vσ，α+β∈Vσ。

第三，?α∈Vσ，設(shè)Zσ(α)=k＜∞，則

當(dāng)k=1 時(shí)，由σ(α)=α有σ(σ(α))=σ(α)，于是Zσ(σ(α))=1，所以σ(α)∈Vσ。

當(dāng)k＞1時(shí)，由σk(α)=α有σk-1(σ(α))=σk(α)=α,

于是Zσ(σ(α))≤k-1，所以σ(α)∈Vσ。

故Vσ是σ的不變子空間。

推論3設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的可逆線性變換，α∈V，則

（1）當(dāng)zσ(α)=k時(shí)，有σm(α)=σn(α)?k|(m-n);

（2）zσ-1

(α)=zσ(α)。

證明（1）由推論1可得

（2）若zσ(α)=∞ ，則 對(duì) 任 意 正 整 數(shù)m有σm(α)≠α，于 是 有(σ-1)m(α)≠α,所 以zσ-1(α)=∞=zσ(α)。

若zσ(α)=k，則σk(α)=α，于是 (σ-1)k(α)=α，所以zσ-1(α)=m＜∞ 且m|k。

另一方面，由 (σ-1)m(α)=α可得σm(α)=α，從而k|m。故m=k，即zσ-1(α)=zσ(α)。

推論4設(shè)數(shù)域F上線性空間V的線性變換σ關(guān)于α∈V的指數(shù)為k，則

（1）對(duì)任意正整數(shù)m，都存在小于k的非負(fù)整數(shù)r，使得σm(α)=σr(α);

（2）當(dāng) 0≤p≠q＜k時(shí)，有σp(α)≠σq(α)；

（3）Sα={σm(α)|m∈Z,m＞0}={α,σ(α),σ2(α),…,σk-1(α)}。

證明（1）由定理1的必要性證明可得；

（2）不妨設(shè)p＜q，若σp(α)=σq(α)，

則有α=σk(α)=σ(k-p)+p(α)=σk-pσp(α)=σk-pσq(α)=σk-(q-p)(α)，

因?yàn)?0≤p＜q＜k，所以0＜k-(q-p)＜k，這與Zσ(α)=k矛盾，故σp(α)≠σq(α)；

（3）由（1）和（2）可得。

定理2設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，α,β∈V且Zσ(α)=k,Zσ(β)=l，若存在正整數(shù)p,q，使得σp(α)=σq(β)，則k=l。

證明 由推論4，可不妨設(shè)0≤p＜k,0≤q＜l，

因?yàn)棣襭(α)=σq(β)，所以α=σ(k-p)+p(α)=σ(k-p)+q(β)，β=σ(l-q)+q(β)=σ(l-q)+p(α)，

于是對(duì)任意正整數(shù)m，有σm(α)=σm+(k-p)+q(β)∈Sβ，σm(β)=σm+(l-q)+p(α)∈Sα，

從而Sα=Sβ，故由推論4中的（3）可得k=l。

推論5設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，α,β∈V且Zσ(α)＜∞,Zσ(β)＜∞，

若Zσ(α)≠Zσ(β)，則對(duì)任意正整數(shù)p,q，都有σp(α)≠σq(β)。

定理3設(shè)σ是數(shù)域F上n維線性空間V的線性變換，α1,α2,…,αn是V的一個(gè)基，則zσ(αi)＜∞(i=1,2,…,n)，

?σ是冪幺線性變換，且σ的冪幺指數(shù)（使σm=1V成立的最小正整數(shù)m）是[zσ(α1),zσ(α2),…,zσ(αn)]。

證明 (?)因?yàn)棣沂莾珑劬€性變換，所以存在正整數(shù)m，使得σm=1V，從而有σm(αi)=αi(i=1,2,…,n)

故zσ(αi)＜∞(i=1,2,…,n)。

(?)令

zσ(αi)=ki(i=1,2,…,n)，k=[k1,k2,…,kn]

則由ki|k(i=1,2,…,n)，有σk(αi)=αi(i=1,2,…,n)。

于是?α∈V，由

所以σk=1V，故σ是冪幺線性變換。

設(shè)σ的冪幺指數(shù)為m，則由σk=1V有m|k。

事實(shí)上，設(shè)k=pm+r(0≤r＜m)，若r≠0，則?α∈V，有α=σk(α)=σpm+r(α)=

即σr=1V，這與σ的冪幺指數(shù)為m＞r矛盾，所以r=0，故m|k。

另一方面，由σm=1V，有σm(αi)=αi(i=1,2,…,n)，

于是ki|m(i=1,2,…,n)，從而k|m，故m=k，即m=[k1,k2, … ,kn]=[zσ(α1),zσ(α2),…,zσ(αn)]。

[1]唐建國(guó),嚴(yán)青云.冪幺矩陣的充要條件[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2010，40（20）：172-176.

[2]林大華,戴立輝.冪幺矩陣的冪幺指數(shù)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2012，42（18）：252-255.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

Index of Linear Transformation on Vector

LIN Da-hua,DAI Li-hui
(Department of Mathematics,Minjiang University,Fuzhou Fujian,350108)

In this paper,we introduced and study the index of linear transformation on vector.We obtained some results of it and characterize some equivalent conditions of unipotent linear transformation.

linear transformation;vector;index.

O151.2

A

1674-0874(2016)03-0010-02

2016-03-10

福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目[JB13164];閩江學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目[MJUB2013033]

林大華（1959-），男，福建福州人，副教授，研究方向：代數(shù)學(xué)。