初唐的數(shù)學與禮學*
——以諸家對《禮記·投壺》的注疏為例

朱 一 文

初唐的數(shù)學與禮學*
——以諸家對《禮記·投壺》的注疏為例

朱 一 文

傳世文獻中有兩條線索刻畫了中國古代禮與數(shù)學的密切關系：一條線索是《周禮》所述“六藝”之一為“九數(shù)”(即數(shù)學)，由此被后世學者逐漸擴展為數(shù)學是禮學或儒學的一部分；另一條線索是《左傳》所云“王命諸侯，名位不同，禮亦異數(shù)”，由此被理解為禮數(shù)與政治等級相關，并進而以數(shù)學安排之。從孔穎達與甄鸞、李淳風等對《禮記·投壺》的注疏看，兩方對同一經(jīng)文及鄭玄注運用了不盡相同的數(shù)理解釋。具體來說，有計算方式與結果、注疏體例與目的等方面的不同；尤其是前者通過書寫計算，而后者使用算籌?；谄渌墨I中也有類似的情形，兩方的差異具有一般性。因此，《周禮》所述更多反映了周代數(shù)學與禮學的關系，而后世的發(fā)展導致算經(jīng)數(shù)學與儒經(jīng)數(shù)學各自逐漸成為相對獨立的體系，并且后者與禮學的關系更為密切；《左傳》所云側重關于政治等級的禮數(shù)，而未述其關于禮器尺寸的一面。漢代以降，投壺由禮儀向游戲漸變，出土實物與傳世繪畫印證了其形制的變化；諸家對相關經(jīng)文的解釋就逐漸偏離了實際，而轉(zhuǎn)為相對純粹的文本學術探討。在初唐恢復古禮、注疏儒家、算家經(jīng)典的歷史背景下，數(shù)學與禮學的關系實際處于文本與現(xiàn)實的多重張力之中。

數(shù)學； 禮學； 投壺；《禮記》； 《五經(jīng)筭術》

一、引言：關于數(shù)學與禮學的兩條線索

中國古代，禮與數(shù)學有密切的關系。傳世經(jīng)典中有兩條線索可以用來識別兩者的聯(lián)系：一方面，傳本《周禮·地官司徒·保氏》記載“九數(shù)”是六藝之一，漢代鄭玄注表明此九數(shù)就是與當時數(shù)學相關的九部分*《周禮》云：“保氏掌諫王惡，而養(yǎng)國子以道，乃教之六藝。一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數(shù)。”鄭玄注：“九數(shù)，方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。”([漢]鄭玄注、[唐]賈公彥疏：《周禮注疏》，[清]阮元校刻：《十三經(jīng)注疏》上冊，北京：中華書局，1980年，第731頁)鄭玄注的“九數(shù)”，其具體內(nèi)容已不可考，但學術界一般認為它們與漢代成書的《九章筭術》密切相關(參見郭書春匯校：《匯?！淳耪鹿g術〉增補版》，沈陽：遼寧教育出版社、臺北：臺灣九章出版社，2004年，第480—481頁)。。三國時，魏國劉徽注《九章筭術》云：“按周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流，則《九章》是矣。”*郭書春匯校：《匯?！淳耪鹿g術〉增補版》，第1頁。據(jù)此，學界一般認為數(shù)學是周代禮制的一部分，進而亦是儒學的一部分*這一觀點在學術界有很深的淵源，幾乎成為今天的共識。典型的說法來自錢寶琮：“我們以為《九章算術》和許慎《說文解字》相仿，是東漢初年儒學的一部分，與儒家的傳統(tǒng)思想有密切關系?！?氏著：《〈九章算術〉及其劉徽注與哲學思想的關系》，李儼、錢寶琮：《李儼錢寶琮科學史全集》第9卷，沈陽：遼寧教育出版社，1998年，第688頁)。。另一方面，傳本《左傳·莊公十八年》云：“王命諸侯，名位不同，禮亦異數(shù)?！?[晉]杜預注、[唐]孔穎達等疏：《春秋左傳正義》，[清]阮元?？蹋骸妒?jīng)注疏》下冊，北京：中華書局，1980年，第1773頁。這就是一般認為的“禮數(shù)”。近來，閻步克先生認為：“中國禮制自初就顯示出了一個重要特征：濃厚的‘數(shù)字化’傾向，大量采用數(shù)列手段來區(qū)分尊卑貴賤，是所謂‘禮數(shù)’……禮制的‘數(shù)字化’，首先可能跟‘神秘數(shù)字’或‘數(shù)術’有關……‘數(shù)字化’還有一種行政與管理的意義，為精密安排身份、地位、禮遇及其變動，提供了重大便利?！?閻步克：《服周之冕——〈周禮〉六冕禮制的興衰變異》，北京：中華書局，2009年，第113—114頁。筆者同意閻先生的看法，認為禮數(shù)與數(shù)學的緊密聯(lián)系是肯定的，但我們必須拓展“中國古代數(shù)學”的內(nèi)涵，從而進一步分析兩者的復雜關系。閻先生進而論證經(jīng)學家注釋經(jīng)典之時，為了安排禮數(shù)需解“不定方程”，即用到數(shù)學。

二、諸家對于《禮記·投壺》的不同注解

投壺是中國古代的一種禮儀與游戲，至遲在春秋時代便已產(chǎn)生，為射禮轉(zhuǎn)變而來*《左傳·昭公十二年》：“晉侯以齊侯宴，中行穆子相，投壺?！笨追f達等疏：“凡宴不射，即為投壺?！?[晉]杜預注、[唐]孔穎達等疏：《春秋左傳正義》，前揭書，第2062頁)鄭玄注《禮記》云：“投壺，射之類也。”([漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1665頁)。從時代背景看，投壺的產(chǎn)生反映出春秋時期禮崩樂壞與文武分途的趨勢*參見揣靜：《中國古代投壺游戲研究》，陜西師范大學碩士學位論文，2010年，第5—8頁。。大體而言，早期投壺禮儀成分更多，越往后則其游戲性越高。傳本《禮記》第四十與《大戴禮記》第七十八都是專門的《投壺》篇章?！抖Y記》經(jīng)文對于投壺的形制與尺寸有一段論述，即：“壺頸修七寸，腹修五寸，口徑二寸半，容斗五升……”*[漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1666頁。《大戴禮記》則云：“壺脰修七寸，口徑二寸半，壺高尺二寸，受斗五升，壺腹修五寸?！迸c《禮記》基本一致。([清]王聘珍撰、王文錦點校：《大戴禮記解詁》，北京：中華書局，1983年，第244頁)這即說壺的形狀分成上下兩個圓柱體：上部分壺頸高7寸，直徑2.5寸(二寸半)；下部分壺腹高5寸，容積1斗5升(見圖1)?！抖Y記》經(jīng)文實際沒有直接給出壺腹的直徑。因此，漢代大儒鄭玄(127—200)注云：

修，長也。腹容斗五升，三分益一，則為二斗，得圜囷之象，積三百二十四寸也。以腹修五寸約之，所得。求其圜周，圜周二尺七寸有奇。是為腹徑九寸有余也……*[漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1666頁。

圖1 投壺示意圖

圖2 圓與外接方圖

(一) 孔穎達等注疏

在初唐注疏《五經(jīng)》的活動中，《禮記》名列其中*初唐的《五經(jīng)》指《毛詩》《尚書》《禮記》《周易》《春秋左傳》五部儒家經(jīng)典。?？追f達等在《禮記正義》中對此段鄭玄注給出了詳盡的解釋，筆者按其內(nèi)容分成六段，開頭以甲、乙、丙、丁、戊、己標識，逐一說明*下面的六段引文，據(jù)[漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1666—1667頁；并參考李學勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，北京：北京大學出版社，1999年，第1574頁。：

甲)正義曰：“腹容斗五升，三分益一，則為二斗”者，既稱“腹容斗五升”，又云“三分益一”者，以斗五升其數(shù)難計，故加三分益一為二斗，從整數(shù)計之。

甲段孔穎達等注疏鄭玄“三分益一”?？资系纫?斗5升難以計算，故而加上1/3，得到整數(shù)2斗。

乙)云“得圜囷之象，積三百二十四寸也”者，以筭法方一寸，高十六寸二分為一升，則一斗之積方一寸，高一百六十二寸也。二斗之積為三百二十四寸也。于此壺之圜囷之中，凡有三百二十四寸也。

丙)云“以腹修五寸約之，所得”者，腹之上下高五寸，共有三百二十四寸。今且以壺底一寸約之，即于三百二十四寸之中，五分之一，得六十四寸八分也。是腹修五寸約之所得之數(shù)也。

丙段中，孔穎達等通過壺腹的體積324(立方)寸、高5寸來求壺底圓的直徑。孔氏等認為以324(立方)寸除以5寸，得到64寸8分。實際上，這個值既可以看作底面積，即64.8(平方)寸；也可以看作是高1寸、底64.8(平方)寸的圓柱體體積(即1/5的壺腹體積)，即64.8(立方)寸。在孔氏等之后的注疏中，我們可以看到：在計算面積時，此數(shù)值取面積的意義；在計算體積時，此數(shù)值取體積的意義。

丁)云“求其圜周，圜周二尺七寸有奇”者，壺底一重既有六十四寸八分，以圜求方，須三分加一。六十四寸八分，分為三分，則一分有二十一寸六分。并前六十四寸八分*依據(jù)計算及上下文，阮元刻本誤“六十四寸八分”為“六十六寸八分”，李學勤主編《禮記正義》簡體標點本從阮元之誤，今正之。參見李學勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。，得八十六寸四分也*依據(jù)計算及上下文，阮元刻本誤“八十六寸四分”為“八十六寸八分”，李學勤主編《禮記正義》簡體標點本正之，今從之。參見李學勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。。即是壺底一重方積之數(shù)也。今將八十六寸開方積之，九九八十一，則為方九寸強也。一面有九寸強，四面凡有三十六寸強。今以方求圜，四分去一，有二十七寸強，是壺圜周二尺七寸有強。故云“圜周二尺七寸有奇”也。

丁段，孔穎達等求解圓周2尺7寸有奇。孔氏等先求壺底圓的外接正方形面積，按照3:4的關系(取π=3，則圓面積：方面積=3:4，見圖2)，需要把圓面積加上其1/3。這樣64寸8分+1/3×64寸8分=86寸4分，即是外接正方形面積。開方之后得到9寸強，是外接正方形邊長*實際上，這同時是壺底圓的直徑，由此可以直接得到圓周2尺7寸強?？追f達等并未沿此路線計算。。4倍之后，得到36寸強是外接正方形的周長。圓周與方周的比也是3:4(同樣取π=3，則圓周長：方周長=3:4，見圖2)，則方周減1/4為圓周。這樣36寸強-1/4×36寸強=27寸強=2尺7寸強，即圓周。

戊)鄭之此計，據(jù)二斗之數(shù)*“二斗之數(shù)”，阮元刻本誤為“一斗之數(shù)”，李學勤主編《禮記正義》簡體標點本正之，今從之。參見李學勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。。必知然者，壺徑九寸，以圜求方，以方九寸計之，凡九九八十一，壺底一重有八十一寸，五重則有五個八十一寸，總為四百五寸。今以方求圜，四分去一，去其一百一寸四分寸之一，余三百三寸四分寸之三。于二斗之積三百二十四寸之內(nèi)，但容三百三寸四分寸之三*依據(jù)計算及上下文，阮元刻本誤“三百三寸四分寸之三”為“三百二寸四分寸之三”，李學勤主編《禮記正義》簡體標點本從阮元之誤，今正之。參見李學勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。，余有二十寸四分寸之一，不盡。故云“圜周二尺七寸有奇”*按鄭玄注，當為“圜周二尺七寸有奇”，阮元刻本誤“圜周二十七寸有奇”，李學勤主編《禮記正義》簡體標點本正之，今從之。參見李學勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。，乃得盡也。

戊段中，孔穎達等通過反推的辦法驗證：鄭玄1斗5升取整得2斗，是與壺腹直徑9寸多相容的?？资系认燃僭O壺腹的直徑是9寸，這樣壺底圓的外接正方形面積是9寸×9寸=81(平方)寸。這個數(shù)值也可以理解成高1寸、底面81(平方)寸的長方體體積(即1/5的壺腹外接長方體)，即81(立方)寸。這樣壺腹的外接長方體體積等于5×81(立方)寸=405(立方)寸。取π=3，圓柱體(壺腹)與外接長方體的體積之比等于3:4，后者體積減1/4為前者體積。于是，405(立方)寸-1/4×405(立方)寸=303.75(立方)寸，為壺腹體積。這個數(shù)值小于鄭玄給出的324(立方)寸。兩者之差為324(立方)寸-303.75(立方)寸=20.25(立方)寸。因此，壺腹直徑應該比9寸多，壺腹圓周則應該比2尺7寸多。

己)若以斗五升計之，計一十五升之積，有二百四十三寸，則壺之所徑唯八寸余也，得容此數(shù)。必知然者，凡方八寸開方計之，八八六十四，得六十四寸。壺高五重，則五個六十四寸，總為三百二十寸。以方求圜，四分去一，去八十寸，余有二百四十寸。于一斗五升之積，余有三寸，不盡。是壺徑八寸有余，乃得盡也。今檢鄭之文注之意，以二斗整數(shù)計之，不取經(jīng)文斗五升之義。故云：“圜周二尺七寸有奇。”今筭者以其二尺七寸之圜，必受斗五升之物，數(shù)不相會也。云壺體腹之上下各漸減殺，茍欲望合，恐非鄭意。

在最后一段——己段中，孔穎達等驗證：如果按照《禮記》經(jīng)文取壺的容積1斗5升計算，其體積相當于243(立方)寸，則其直徑只有8寸多，不合鄭玄注的圓周2尺7寸有奇。為此，孔氏等采取與戊段中一樣的反推辦法。先8寸×8寸=64(平方)寸，求得壺底外接正方形面積，此數(shù)值也可以視作高1寸、底面積64(平方寸)的長方形體積(即1/5的壺腹外接長方體)。5×64(立方)寸=320(立方)寸，為壺腹外接長方體體積。同樣按照3：4的關系，320(立方)寸-1/4×320(立方)寸=240(立方)寸，為壺腹體積。此值比243(立方)寸小3寸。因此，壺腹直徑為8寸多?？资系茸詈笳摰溃寒敃r有人想調(diào)和2尺7寸和1斗5升，只能說壺腹的尺寸由上至下的尺寸是不同的，不符合鄭玄之意。此段孔穎達等實際表明《禮記》經(jīng)文所載的壺容積1斗5升，與鄭玄注給出的壺腹周長2尺7寸是不可調(diào)和的，但孔氏等站在鄭玄一邊。

(二) 甄鸞、李淳風等注釋

北周甄鸞編寫的《五經(jīng)筭術》是一部用傳統(tǒng)籌算解釋經(jīng)典的數(shù)學著作。初唐李淳風等注釋十部算經(jīng)的時候，該書也列入其中*初唐的十部算經(jīng)指《周髀筭經(jīng)》《九章筭術》《海島筭經(jīng)》《綴術》《孫子筭經(jīng)》《張丘建筭經(jīng)》《夏侯陽筭經(jīng)》《五經(jīng)筭術》《五曹筭經(jīng)》《輯古筭經(jīng)》十部數(shù)學著作。北宋元豐年間，《綴術》《夏侯陽筭經(jīng)》丟失，用《數(shù)術記遺》及另一部數(shù)學著作(唐人韓延著，被誤為《夏侯陽筭經(jīng)》)替代。。傳本《五經(jīng)筭術》卷下也討論了《禮記·投壺》的問題。在陳述完經(jīng)文和鄭玄注之后，甄鸞和李淳風等依次給出注解*郭書春校點：《五經(jīng)算術》，郭書春、劉鈍校點：《算經(jīng)十書》第2冊，沈陽：遼寧教育出版社，1998年，第398—399頁。：

甄鸞按：斛法一尺六寸二分，上十之，得一千六百二十寸，為一斛。積寸下退一等，得一百六十二寸，為一斗。積寸倍之，得三百二十四寸，為二斗。積寸以腹修五寸約之，得六十四寸八分。乃以十二乘之，得積七百七十七寸六分。又以開方除之，得圓周二十七寸，余四十八寸六分。倍二十七，從方法得五十四。下法一亦從方法，得五十五。以三除二十七寸，得九寸。又以三除不盡四十八寸六分，得一十六寸二分。與法俱上十之，是為壺腹徑九寸五百五十分寸之一百六十二。母與子亦可俱半之，為二百七十五分寸之八十一。

臣淳風等謹按：其問宜云：今有壺腹修五寸，容斗五升。三分益一則為二斗，得圓囷之象。問積寸之與周徑各幾何？曰：積三百二十四寸。周二尺七寸二百七十五分寸之二百四十三。徑九寸二百七十五分寸之八十一。

術宜云：置二斗，以斗法乘之，得積寸。以腹修五寸除之。所得，以十二乘之。開方除之，得周數(shù)。三約之，即得徑數(shù)。

李淳風等的注釋首先把《禮記》及鄭玄注重構為一個數(shù)學問題(有“問”有“答”)，接著按照傳統(tǒng)數(shù)學著作的寫法給出算法(即“術”)。雖然李氏等沒有給出計算細節(jié)，但其“術”與甄鸞的算法一樣，并且亦是籌算方法。

三、對《周禮》與《左傳》的回應

就此例而言，孔穎達等與甄鸞、李淳風等對于《禮記》及鄭玄注的注疏差別很大，反映出兩方所運用的數(shù)學知識不盡相同。兩方相同之處主要在于：都未挑戰(zhàn)鄭氏將《禮記》經(jīng)文壺腹容積1斗5升取整為2斗的做法*宋代大儒朱熹曾批評鄭玄、孔穎達等人取2斗做計算的做法([宋]朱熹：《儀禮經(jīng)傳通解》，朱杰人、嚴佐之、劉永翔主編：《朱子全集》第2冊，上海：上海古籍出版社、合肥：安徽教育出版社，2002，第255頁)，這表明宋代數(shù)學、禮學的關系與唐代不盡相同。朱熹的數(shù)學知識不是本文的研究重點，因此不做展開，筆者有另文專論之。。這符合唐代“寧道周孔誤，諱言服鄭非”的學術風氣。

兩方差別主要體現(xiàn)在：1.計算方式與結果?？追f達等利用圓方3:4的關系進行圓方之間周長、面積、體積的換算，進而進行簡單的估算開方，所得結果為約數(shù)*根據(jù)筆者先前的研究，初唐學者賈公彥有一種幾何開方術，可以取得更精確的數(shù)值(參見朱一文：Different cultures of computation in seventh century China from the viewpoint of square root extraction，前揭刊，第 6—18頁)。因此，盡管我們知道賈公彥參與了《禮記正義》，但此處他應并未發(fā)揮更大的作用(參見[宋]歐陽修、宋祁等：《新唐書》第5冊，北京：中華書局，1975年，第1433頁)。。甄鸞、李淳風等則直接運用《九章筭術》圓面積公式，并使用籌算開方術得到更精確的數(shù)值。2.注疏體例與目的?？追f達等注疏的主要目的是為了表明鄭玄注的正確性，并在戊、己兩段中用反推的方法證明鄭玄取2斗的正確性：如果取2斗，則壺腹周長2尺7寸多；如果取1.5斗，則壺腹圓直徑為8寸多。甄鸞利用籌算開方術得出比鄭玄更精確的數(shù)值，李淳風等更是重構經(jīng)文以作為數(shù)學問題。因此可以說，與孔穎達等相比，甄、李等人的注釋都沒有完全遵循鄭玄注，而以展現(xiàn)傳統(tǒng)籌算數(shù)學方法為目的*基于筆者先前的研究，兩者的差別還有注疏和算法的結構、對數(shù)的認識、對圖形的認識、推理的方式等方面。。如果我們考慮到孔穎達與李淳風是互相熟悉，并且作為前輩孔穎達還幫助過李淳風，那么上述差別就更值得重視*貞觀十四年(640)，諸儒論歷，孔穎達請從李淳風(參見[宋]歐陽修、宋祁等：《新唐書》第2冊，第536頁)。。兩方產(chǎn)生差別的主要原因是：孔穎達等是在做經(jīng)學研究，而李淳風等是在做算學研究，并且雙方的數(shù)學知識結構本就有所不同，因此盡管問題相同，但是用到數(shù)學自然有別*本文的匿名審稿專家認為：諸家算法不同，還受到經(jīng)學傳統(tǒng)、注疏者知識結構及著作性質(zhì)的影響。筆者在此表示感謝，并接受建議，認為孔穎達與李淳風熟識，因此他們之間的不同更多是受知識結構與著作性質(zhì)的影響。。

基于諸家對于《禮記·投壺》的不同注疏，我們可以回應《周禮》與《左傳》的記述。一方面，《周禮》記述的九數(shù)為其一部分，被鄭玄確認為早期數(shù)學的九個部分，及劉徽總結這一發(fā)展的結果就是《九章筭術》?；谌褰?jīng)與算經(jīng)反映的數(shù)學知識之差異，《周禮》之后這一禮學與數(shù)學關系的脈絡具有一定的建構成分。至少在唐初的時候，儒家經(jīng)典尤其是《禮記》《周禮》《儀禮》所反映的數(shù)學是禮學及儒學的一部分，而包括《五經(jīng)筭術》在內(nèi)的十部算經(jīng)所反映的數(shù)學與禮學及儒學只有微弱的聯(lián)系*實際上，甄鸞、李淳風等試圖通過《五經(jīng)筭術》重建《周禮》所建構的數(shù)學與禮學或儒學的緊密聯(lián)系。。換言之，儒經(jīng)數(shù)學與禮學的聯(lián)系更緊密，算經(jīng)數(shù)學則是相對獨立的知識體系。

另一方面，《左傳》所述主要是講與政治相關的禮數(shù)，并被閻步克先生等學者衍生到禮數(shù)與數(shù)學的關系。從投壺的例子我們可以看到，實際上禮數(shù)的種類多樣，除了與政治、身份等級相關的禮數(shù)之外，至少還有禮器尺寸這一禮數(shù)。由《五經(jīng)筭術》而論，該書共38個標題，其中21個標題與天文歷法計算有關*《五經(jīng)筭術》分上下兩卷，卷上16問，卷下22問，總計38問。關于天文歷法計算的21個標題分別是：1.《尚書》定閏法(卷上第1問)；2. 推日月合宿法(卷上第2問)；3. 求一年定閏法(卷上第3問)；4. 求十九年七閏法(卷上第4問)；5. 推《春秋》魯僖公五年正月辛亥朔法(卷下第6問)；6. 推積日法(卷下第7問)；7. 求次月朔法(卷下第8問)；8. 推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法(卷下第9問)；9. 求次氣法(卷下第10問)；10. 推文公元年歲在乙未，閏當在十月下而失在三月法(卷下第11問)； 11. 推文公六年歲在庚子，是歲無閏而置閏法(卷下第12問)；12. 推襄公二十七年歲在乙卯再失閏法(卷下第13問)；13. 推絳縣老人生經(jīng)四百四十五甲子法(卷下第14問)；14. 推文公十一年歲在乙巳，夏正月甲子朔絳縣老人生月法(卷下第15問)；15. 推昭公十九年閏十二月后而以閏月為正月，故以正月為二月法(卷下第16問)；16. 推昭公十九年歲在戊寅閏在十二月下法(卷下第17問)；17. 推昭公十九年歲在戊寅月朔法(卷下第18問)；18. 推昭公二十年歲在己卯，月朔法(卷下第19問)；19. 推昭公二十年歲在己卯，正月己丑朔旦冬至，而失云王二月己丑冬至法(卷下第20問)；20. 推哀公十二年歲在戊午應置閏而不置，故書十二月有螽法(卷下第21問)；21. 求十二年閏月法(卷下第22問)。、3個與記數(shù)系統(tǒng)有關*這三問分別是：1. 《尚書》《孝經(jīng)》“兆名”注數(shù)越次法(卷上第5問)；2. 《詩·伐檀》毛、鄭注不同法(卷上第6問)；3. 《詩·豐年》毛注數(shù)越次法(卷上第7問)。、4個與音律有關*這四問分別是：1. 《禮記·月令》黃鐘律管法(卷下第1問)；2. 《禮記·禮運》注“始于黃鐘、終于南呂”法(卷下第2問)；3. 《禮運》一本注“始于黃鐘、終于南事”法(卷下第3問)；4. 《漢書》終于南事算之法(卷下第4問)。、1個來自《周易》*此即卷上第8問“《周易》策數(shù)法”。，余下9個可以歸為禮數(shù)。這9個問題中8個取自《周禮》《禮記》《儀禮》三本著作，1個取自《論語》；其中有2問是關于周代封國領土*即卷上第9問“《論語》千乘之國法”，與卷上第13問“《禮記·王制》國及地法”。、3問是關于度量衡系統(tǒng)*即卷上第14問“求經(jīng)云‘古者百里當今一百二十里六十步四尺二寸二分’法”，第15問“求鄭氏注云‘古者百畝當今一百五十六畝二十五步’依鄭計之法”，以及第16問“求鄭注云‘古者百里當今一百二十五里’法”。、2問是關于喪禮制度*即卷上第11問“《儀禮·喪服》绖帶法”，與第12問“《喪服》制食米溢數(shù)法”。、1問是關于車蓋尺寸*即卷上第10問“周官車蓋法”。、1問關于投壺尺寸(卷下第5問“《禮記》投壺法”，亦即本文所分析)。顯而易見，我們必須考慮不同的禮數(shù)，以及它們與數(shù)學可能的不同關系。這有待將來進一步研究。

四、結語：文本與現(xiàn)實

我們已經(jīng)從文本的角度分析了孔穎達、甄鸞、李淳風等注疏《禮記·投壺》所展現(xiàn)的不盡相同的數(shù)學知識、不同于行政等級的器物尺寸的禮數(shù)，并進而以《五經(jīng)筭術》對禮數(shù)進行分類，由此可以初步回應《周禮》《左傳》的記述。為了對經(jīng)典文本所反映出的禮學與數(shù)學的復雜關系獲得進一步的深入理解，我們必須考察文本產(chǎn)生的歷史語境，及其與歷史現(xiàn)實的關系。為此，我們將從投壺的歷史、初唐注經(jīng)的語境兩方面來分析。

對于投壺的歷史，揣靜的碩士學位論文《中國古代投壺游戲研究》做過專題研究。筆者概括之并加以闡發(fā)?！抖Y記》記載的投壺是一種禮儀，通常認為是由射禮之一的燕射轉(zhuǎn)化而來*依據(jù)《儀禮》，射禮有鄉(xiāng)射、燕射、大射三種。鄭玄云：“投壺，射之細也。射謂燕射?！?[漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1667頁)。在空間、人數(shù)等受限或賓主不擅射箭的情況下，投壺便可替代燕射。投壺禮大致有下面八個步驟*揣靜：《中國古代投壺游戲研究》，第10—13頁。：1. 主人邀請賓客投壺，賓客遵從；2. 主人引導賓客就投壺之宴，并授矢；3. 司射設置壺、中、筭等器物；4. 司射宣布規(guī)則，并命令樂工奏《貍首》等樂曲；5. 游戲開始，賓主依次投壺，共投四矢，投中者以筭記分；6. 計算筭籌，多者勝；7. 負者喝罰酒；8. 重復步驟5到7，即進行三局兩勝，為勝者慶祝。漢代畫像石投壺生動地描述了當時賓主投壺的場景(圖3)。

圖3 漢代畫像石：投壺*中國畫像石全集編輯委員會編：《中國畫像石全集》第6冊，鄭州：河南美術出版社，2000年，第86頁。

投壺之禮兼具禮儀與游戲的性質(zhì)，隨著時代的變遷，其器物、規(guī)則都有所改變。《禮記》所規(guī)定的壺尺寸：壺頸長7寸，按周代1寸=2.31cm，約為16.17cm; 壺腹高5寸，約為11.55cm; 口徑2.5寸，約為5.78cm; 壺總高12寸，約為27.72cm。鄭玄注壺腹直徑9寸多，按甄鸞計算約9.29寸，相當于21.47cm。于是壺高與腹徑之比約為12:9.29=1.29:1。如果根據(jù)《禮記》經(jīng)文給出的容積1斗5升，按孔穎達等計算(己段)得8寸多，約為18.48cm強。如此壺總高與壺腹徑比約為12:8.48=1.41:1，略大于鄭玄注。筆者以1.29:1(《禮記》)、1.41:1(鄭玄注)兩個比例來考察經(jīng)典及其注疏所載與考古出土實際用壺之間的差異。

1975年山東省莒南縣大店莒國殉人墓出土一只春秋時期的陶壺，殘高26cm，腹徑19.8cm，底徑17cm(圖4甲)。此壺口沿已殘，實際高度應略高于26cm。腹徑長度，及壺高與腹徑之比(1.31∶1)介于《禮記》與鄭玄注之間。1977年河北省平山縣三汲寸戰(zhàn)國中山王墓出土一只戰(zhàn)國時期的銅壺，高58.8 cm，口徑24.5 cm(圖4乙)。該壺為圓柱體，與《禮記》不符。壺高與直徑比(2.4∶1)也遠大于《禮記》及鄭玄注。由此可見，《禮記》及鄭玄注可以部分反映春秋戰(zhàn)國時期投壺尺寸情況*據(jù)此，在假定《禮記·投壺》能夠完全反映現(xiàn)實的前提下，我們可以推斷其對應的時代不晚于春秋。。

1969年河南省濟源縣泗澗溝曾出土一只西漢陶壺，高26.6 cm，頸高13 cm，口徑4 cm(圖4丙)。其總高與腹徑比(目視約為1.8∶1)大于《禮記》及鄭玄注。2002年東龍山東漢墓出土了一只綠釉陶投壺，口徑4.5 cm，高24 cm(圖4丁)，形制接近《禮記》所載。實際上，如果考慮到漢代1尺長度有時比周代短，將厘米轉(zhuǎn)換回漢代尺寸(按1寸=2.135 cm)，那么這兩例投壺尺寸很接近《禮記》所載。此外，如果我們考察漢代畫像石(圖3)中間投壺總高與腹徑之比，約在1.2至1.3之間，基本符合《禮記》或鄭玄注。因此，我們認為《禮記》經(jīng)文與鄭玄注大致符合漢代投壺的實際情況。

甲：春秋*④⑤ 崔樂泉：《中國古代體育文物圖錄》，北京：中華書局，2000年，第195,195,195頁。乙：戰(zhàn)國④丙：西漢⑤?。簴|漢*⑦ 轉(zhuǎn)引自王建玲：《投壺——古代寓教于樂的博戲》，《文博》2008年第3期，第77頁。戊：初唐⑦

圖4 出土投壺

1972年陜西禮泉縣唐越王李貞(627—688)幕出土了一件三彩投壺(圖4戊)，高35 cm，頸部兩側有雙耳。按唐代1寸=3.07 cm換算，此壺高度約為11.4寸，近于《禮記》所載。但是此壺高與腹徑比明顯過大(目視約為1.8∶1)，而且雙耳的出現(xiàn)說明其規(guī)則也有所改變，即矢可以投入壺耳*晉代虞檀的《投壺變》與宋代司馬光的《投壺新格》均對投壺規(guī)則的變化有所論述。。唐代詩人韓愈(768—824)說：“公與賓客朋游飲酒，必極醉，投壺博弈，窮日夜，若樂而不厭者。”*[唐]韓愈：《韓昌黎全集》第2冊，北京：燕山出版社，1996年，第754頁。這說明投壺作為一種純粹游戲的角色已經(jīng)出現(xiàn)。因此，我們可以說孔穎達、甄鸞、李淳風等對于投壺尺寸的注疏、注釋是一種文本探討或曰經(jīng)學、算學研究，與實際的投壺尺寸、形制只有松散的關系。

閻步克先生從冕服角度論述了其歷史發(fā)展處于“宗經(jīng)與復古”和“宗君與實用”的張力之中，并認為唐初有恢復周禮的復古運動*參見閻步克《服周之冕——〈周禮〉六冕禮制的興衰變異》序言及第10章。。實際上，初唐不僅有孔穎達、長孫無忌等領銜的注解儒經(jīng)的活動，即《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋左傳》五部經(jīng)典的注疏*貞觀七年(633)，顏師古考訂《五經(jīng)》([后晉]劉昫等：《舊唐書》第8冊，北京：中華書局，1975年，第2594頁)。先由孔穎達(574—648)領銜諸儒注疏《五經(jīng)》，貞觀十六年(642)完成(孔穎達在五部經(jīng)典的序言中都提到貞觀十六年完成注疏)?？追f達去世后，諸儒對注疏仍有爭議和討論，故高宗于顯慶元年(651)啟動《五經(jīng)》的再注疏，其結果就是《五經(jīng)正義》，并于顯慶三年(653)頒于天下([后晉]劉昫等：《舊唐書》第1冊，第71頁；[宋]王溥：《唐會要》第3冊，北京：中華書局，1955年，第1405頁；[宋]王欽若：《冊府元龜》第8冊，北京：中華書局，1960年，第7303頁)。，而且賈公彥也獨立注解《周禮》《儀禮》《禮記》《孝經(jīng)》《論語》等著作，還有徐彥、楊士勛等人的注經(jīng)工作；另一方面，唐廷也讓李淳風領銜注釋十部算經(jīng)*完成于顯慶元年(656)([后晉]劉昫等：《舊唐書》，第2719頁)。，《五經(jīng)筭術》也在其列。因此，我們可以說，這場禮制的復古運動不僅有孔穎達等儒家積極參與，李淳風等算家亦是參與者。故而，就其中展現(xiàn)的初唐禮學與數(shù)學的關系而言，不僅處于文本與現(xiàn)實的張力之間，而且處于不同學者群體的張力之間，至于其背后存在的利益、權力等因素則是需要另文深入探討的議題。

[本文構思直接受到歐盟第七科研框架計劃下設歐洲學術委員會支持的大型科研項目“古代世界的數(shù)學科學”(Mathematical Sciences in Ancient World，簡稱SAW，ERC項目號269804)的影響。筆者2016年6月8日在法國巴黎第七大學SAW項目會議、11月19日在中山大學哲學系“經(jīng)典與解釋”講習會曾報告本文，兩次報告的點評人BéatriceL'Haridon、劉偉先生及與會專家的提問與交流，對完善本文的幫助非常大。匿名審稿專家也對本文提出了建設性意見。在此一并表示感謝！]

【責任編輯：楊海文；責任校對：楊海文，趙洪艷】

2016—11—01

國家社會科學基金青年項目“儒家經(jīng)典注疏中天算文獻的整理與研究”(16CZS012)

朱一文，中山大學哲學系暨邏輯與認知研究所(廣州510275)。

10.13471/j.cnki.jsysusse.2017.02.015