這道試題到底錯在哪兒？

王淼生

在解題過程中，從局部看，每一步都是嚴謹、規(guī)范的，但從整體審視，其結(jié)論存在瑕疵，甚至錯誤，而且極其隱蔽.筆者在教學過程中就遇到這樣一個棘手問題，現(xiàn)整理成文，與同行一起探討.不當之處，敬請批評指正.

1案例呈現(xiàn)

評注案例1源自某地高三質(zhì)檢題.案例1以平面向量為載體，考查圓、橢圓及最值、范圍等相關(guān)知識，同時凸顯數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，是一道集知識、能力、方法與思想于一體的綜合性較強的試題.鑒于此，我校高三備課組決定將案例1作為周末作業(yè)題.

2解答過程

3遭遇質(zhì)疑

周一講評時，學生陳汜玄提出質(zhì)疑，認為上述解答過程與結(jié)論都存在錯誤，這讓筆者大吃一驚！仔細審視上述整個解答過程與結(jié)論，似乎每一步都是嚴謹、規(guī)范的.剛好下課，筆者帶著滿腹疑惑回到辦公室，并將這一“突發(fā)事件”立即報告同行，請求大家一起研究.

4錯在哪兒

4.1熟知結(jié)論

讓我們先看以下熟悉的試題（以下簡稱案例2）：

注意到案例2與案例3中的A，B，表面上看，點A，B是橢圓長軸兩個端點，其本質(zhì)則是點A，B關(guān)于原點（橢圓中心）對稱，因此我們進一步推廣得到（以下簡稱案例4）：

評注上述案例2、案例3及案例4的證明較為簡單，請讀者自行推理.案例2、案例3及案例4充分說明這樣一個事實：一旦橢圓確定，則橢圓上任一點與橢圓上關(guān)于其中心對稱的兩點連線的斜率（假設(shè)斜率存在）之積為定值.

4.2重溫教材

對于教學中遇到的問題，尤其是棘手的疑難問題，最先自救的是重溫教科書.俗話說得好，“解鈴還須系鈴人.”教科書是離我們最近、與我們最熟悉、跟我們最密切的規(guī)范性文本.

相信大家一定記得人教版教科書（文[1]）第二章“圓錐曲線與方程”第二節(jié)“橢圓”中例3（第41頁），原題如下（以下簡稱案例5）：

評注文[1]主編特意將案例5與案例6中的坐標設(shè)置相同，意在凸顯案例5與案例6是從特殊到一般、從橢圓到雙曲線、焦點從x軸到y(tǒng)軸，這既是作為本章總復習的綜合考查，又是滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等系列數(shù)學思想的絕佳時機.同時主編暗藏玄機：案例5求軌跡方程，而案例6則是求軌跡，也就是說，案例6不僅要求出方程（代數(shù)），更要指出其軌跡（圖形）.

4.3疑點浮現(xiàn)

對照上述案例1與案例2、案例3及案例4，可以猜測命題專家當初就是依據(jù)上述案例2、案例3及案例4而命制上述案例1.應該說案例1回歸教材，以教材為本，確實是一道難得的好題.審視案例5與案例6，不難發(fā)現(xiàn)上述解答就是仿照案例5、案例6的兩點坐標而構(gòu)建坐標系.按理說，上述解答過程中的建立平面直角坐標系也是中規(guī)中矩，況且平時都是這樣建立坐標系.上述案例1的解答步驟似乎規(guī)范、嚴謹，那問題到底出在哪兒呢？是上述解答錯誤？還是案例1本身有問題呢？

4.3.1定值的本質(zhì)到底是什么？

上述案例2、案例3及案例4說明：只要橢圓確定，則橢圓上任一點與橢圓上關(guān)于中心對稱的兩點連線的斜率（假設(shè)斜率存在）之積為定值.那反過來，若斜率之積為定值，橢圓能唯一確定嗎？這才是問題關(guān)鍵所在，這正是學生質(zhì)疑的地方.

4.3.2學生質(zhì)疑的依據(jù)是什么？

為何案例5所得到的橢圓是唯一確定，而案例1中的橢圓不是唯一呢？請讀者仔細對照上述案例1與案例5中細微差異.對于案例5，主編已經(jīng)確定點A，B的坐標，而案例1中命題專家并沒有確定點A，B的坐標，只是給出線段AB的長度而已.由于我們習慣性地“以線段AB所在直線為x軸，以線段AB中垂線為y軸”，并由此而得到點A，B的坐標，即“A（-2，0），B（2，0）.”這樣我們?nèi)藶榈貙⒕€段AB默認為橢圓的長軸（如圖5所示）.

殊不知，上述案例4有力地表明：線段AB不一定必須作為橢圓的長軸，其實只要將線段AB作為橢圓的任意一條中心弦（如圖6所示）都可以滿足斜率之積為定值.將線段AB默認為橢圓長軸（如圖5所示）是最小的橢圓，將線段AB默認為橢圓短軸（如圖7所示）是最大的橢圓.當然，不論橢圓多大、多小，只要其斜率之積為確定定值，那么離心率e始終保持不變，這就是“相似橢圓”的由來，這正是學生產(chǎn)生質(zhì)疑的原因所在，這也正是專家當初命制案例1時所沒有考慮到的盲區(qū)！圖5圖6圖7說到底，案例2與案例3的逆命題并不成立，換言之，kPA·kPB為定值，此時AB并非就是橢圓的長軸，可能為過橢圓中心任一條弦，更何況，由上述案例6可知其軌跡還不一定就是橢圓，可能為圓或雙曲線.

4.3.3“相似橢圓”如何變化？

由上述分析不難得到，盡管斜率之積為定值，但并不能保證橢圓能夠唯一確定，而是得到系列“相似橢圓”.那滿足條件的“相似橢圓”不斷變化時，其|PQ|又是如何變化呢？

其二、上述圖8、圖9到圖10有力地說明前面解答中“以線段AB所在直線為x軸，以線段AB中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），”是不恰當?shù)?，因為這樣構(gòu)建直角坐標系，就等于默認了線段AB只能作為橢圓的長軸，從而只能得到其中最特殊的一種情況，即最小的橢圓，也就是圖8.

實踐是檢驗真理的唯一標準！至此，我們完全可以得出這樣的結(jié)論：備課組給出的解答過程及答案都是錯誤的，當然也說明命題專家給出的答案也是錯誤的.遺憾的是，因筆者功底淺薄，至今還有一些疑惑，在此借貴刊平臺，向各位同行請教.比如，案例1本身是否正確？如果案例1正確，那么|PQ|的取值范圍到底是什么？如果案例1本身存在瑕疵，瑕疵在哪兒？又該如何修復？以后命制此類相關(guān)試題時如何避免犯同樣的錯誤？

5研究教材

教材是專家依據(jù)《高中數(shù)學課程標準》和學生認知結(jié)構(gòu)編寫的教學用書，是課程目標和教學內(nèi)容的具體體現(xiàn).教材是經(jīng)過無數(shù)次去粗存精與高度濃縮編寫而成的，教材是教師教學的藍本和依據(jù).正因為教材的特殊地位與作用，教材本身就是專家命制試題的依據(jù)與源泉.

命題不僅是一件消耗體力、需要耐力的繁重勞動，更是一種面對危機、充滿挑戰(zhàn)的智慧結(jié)晶.命題之所以出現(xiàn)錯誤，其原因是多方面的，其中最典型、也是最隱蔽的錯誤就是自以為對教材熟悉.無論是命題專家給出的參考答案還是上述解答過程，其錯誤根源都是沒有吃透教材.比如上述“以線段AB所在直線為x軸，以線段AB中垂線為y軸”，這就等于默認“以AB作為長軸的橢圓”，這就是沒有吃透教材習題（上述案例5與案例6）而導致！

筆者認為，作為教材配套的教師教學用書（即教參）理應與教材一樣嚴謹、規(guī)范.遺憾的是教師教學用書還是有一些瑕疵.比如上述案例6，隨m不同取值，其軌跡不僅可以是圓、橢圓和雙曲線，而且橢圓的焦點也會變化，既可以在x軸，也可以在y軸.因此筆者認為文[2]再版時，應該更加規(guī)范、嚴謹?shù)乇硎鰹椋?/p>

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程標準實驗教科書（A版）數(shù)學選修21[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中課程標準實驗教科書教師教學用書（A版）數(shù)學選修21[M].北京：人民教育出版社，2012.