電阻分壓器的階躍響應(yīng)特性研究

孫 波,尹 伯,李宏達(dá),潘琳琳,趙紅陽,車 龍

(1.沈陽理工大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168；2.沈陽理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168)

電阻分壓器的階躍響應(yīng)特性研究

孫 波1,尹 伯1,李宏達(dá)2,潘琳琳1,趙紅陽2,車 龍2

(1.沈陽理工大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168；2.沈陽理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168)

針對(duì)電阻分壓器的雜散參數(shù)與階躍響應(yīng)特性關(guān)系的問題，采用傳遞函數(shù)與電路仿真兩種方法，分別對(duì)電阻分壓器的高、低壓臂對(duì)地電容與階躍響應(yīng)時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行分析。結(jié)果顯示高壓臂的對(duì)地電容對(duì)階躍響應(yīng)時(shí)間的影響在納秒量級(jí)，而低壓臂的對(duì)地電容對(duì)其階躍響應(yīng)時(shí)間的影響在皮秒量級(jí)，高、低壓臂對(duì)地電容對(duì)階躍響應(yīng)時(shí)間具有疊加效應(yīng)，但是低壓臂對(duì)地電容要遠(yuǎn)小于高壓臂對(duì)地電容對(duì)階躍響應(yīng)時(shí)間的影響；若要得到較為準(zhǔn)確的階躍響應(yīng)時(shí)間，可以在時(shí)間常數(shù)的基礎(chǔ)上乘以相應(yīng)的倍數(shù)。

階躍響應(yīng)；電阻分壓器；對(duì)地電容

Marx發(fā)生器[1-2]所產(chǎn)生的高壓脈沖具有短的上升時(shí)間和窄的脈沖寬度,因此對(duì)數(shù)字式高壓脈沖測(cè)量系統(tǒng)的要求。要實(shí)現(xiàn)對(duì)Marx發(fā)生器所產(chǎn)生的沖擊電壓的測(cè)量，就要進(jìn)行一次或多次降壓將較高的電壓轉(zhuǎn)換成可以供數(shù)字示波器測(cè)量的低電壓，而進(jìn)行高低壓轉(zhuǎn)換的裝置就是分壓器[3-5]。電阻分壓器是一種在沖擊電壓測(cè)量領(lǐng)域應(yīng)用比較廣的分壓器，階躍響應(yīng)特性又是評(píng)價(jià)分壓器性能好壞的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)，所以對(duì)電阻分壓器階躍響應(yīng)特性的研究是必要的[6]。

1 電阻分壓器的原理

一般意義上的電阻分壓器只是由兩個(gè)電阻串聯(lián)而成，工作原理符合歐姆定律。在高壓臂電阻R1與低壓臂電阻R2串聯(lián)的電阻分壓器中，輸入電壓Ui被其“分”成了兩部分，由于R1>>R2，所以輸出電壓U0要遠(yuǎn)小于輸入電壓Ui。

實(shí)際意義上，電阻分壓器所用的電阻會(huì)因?yàn)樽陨斫Y(jié)構(gòu)與生產(chǎn)工藝等原因存在一些雜散參數(shù)，對(duì)地又會(huì)產(chǎn)生對(duì)地電容，等效電路如圖1所示。高、低壓臂可以分別看成由不同的分布參數(shù)組成，將其等分成若干小段，整個(gè)電阻分壓器是由這些小段串并聯(lián)組成[7-9]。加入這些分布參數(shù)后，電阻分壓器的輸入、輸出電壓關(guān)系就變得更加復(fù)雜，下面將對(duì)主要的分布參數(shù)進(jìn)行仿真與分析。

圖1 電阻分壓器分布參數(shù)等效電路

2 電阻分壓器的仿真與分析

本文仿真選用Matlab/Simulink仿真軟件提供的電力系統(tǒng)仿真庫(SimPowerSystems)進(jìn)行仿真，這是一個(gè)專門用于RLC電路、電力電子電路等仿真的模型庫。仿真用到的模塊主要有：電壓測(cè)量模塊(Voltage Measurement)、RLC串聯(lián)支路模塊(SeriesRLCBranch)、示波器模塊(Scope)、受控電壓源模塊(Controlled Voltage Source)、脈沖發(fā)生器模塊(Pulse Generator)、增益模塊(Gain)、電力系統(tǒng)分析工具模塊(Powergui)。為了對(duì)仿真模型進(jìn)行簡化，假設(shè)電阻是均勻分布的圓柱體，對(duì)地電容沿高、低壓臂均勻分布[10-12]

(1)

由式(1)可知，電阻的對(duì)地電容Ce與電阻長度l、電阻直徑d、電阻下端離地高度h和電阻所處環(huán)境的介電常數(shù)ε有關(guān)，所以可以用處于電阻中部的C1、C2分別代替高、低壓臂的對(duì)地總分布電容[13-16]。階躍信號(hào)輸入電阻分壓器，用示波器在低壓電阻兩端進(jìn)行測(cè)量。為了對(duì)輸出信號(hào)的上升時(shí)間進(jìn)行研究，將輸入電阻分壓器的階躍信號(hào)和乘以靜態(tài)分壓比K后的輸出

信號(hào)用同一示波器進(jìn)行顯示，仿真電路如圖2所示。

圖2 電阻分壓器對(duì)地電容仿真電路

當(dāng)不考慮低壓臂電阻對(duì)地電容C2，只考慮高壓臂電阻對(duì)地電容C1的影響時(shí)，應(yīng)用網(wǎng)孔法求得輸出端不接負(fù)載時(shí)的傳遞函數(shù)

(2)

式(2)中，這是一個(gè)比例環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)相串聯(lián)組成的傳遞函數(shù)，時(shí)間常數(shù)如式(3)所示

(3)式(3)中，當(dāng)R1和R2的值確定后，高壓臂對(duì)地電容C1與時(shí)間常數(shù)T1成正比關(guān)系；從傳遞函數(shù)分析得出，式(3)的時(shí)間常數(shù)符合慣性環(huán)節(jié)中時(shí)間常數(shù)所符合的一系列規(guī)律，即當(dāng)上升時(shí)間的精度確定后，時(shí)間常數(shù)乘以相應(yīng)的倍數(shù)就可以得到在此精度下的上升時(shí)間。 表1 高壓臂對(duì)地電容的時(shí)間常數(shù)與階躍響應(yīng)時(shí)間的關(guān)系

如表1所示，響應(yīng)時(shí)間隨高壓臂對(duì)地電容C1的增加而增加，與式(3)中的正比關(guān)系一致。當(dāng)R1取值為8 000 Ω、R2取值為10 Ω時(shí)，如表1所示，高壓臂對(duì)地電容C1的取值從1.1～5.1 pF以1 pF為步進(jìn)。通過仿真數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)階躍響應(yīng)的輸出值達(dá)到測(cè)量值的0.95倍時(shí)，上升時(shí)間約是時(shí)間常數(shù)T1的3.00倍，與理論值3倍基本相同；當(dāng)階躍響應(yīng)的輸出值達(dá)到測(cè)量值的0.98倍時(shí)，上升時(shí)間約是時(shí)間常數(shù)T1的3.91倍，與理論值4倍基本相同。電路仿真得出的數(shù)據(jù)證明從傳遞函數(shù)分析得出結(jié)論是正確的，式(3)的時(shí)間常數(shù)也就是慣性環(huán)節(jié)中的時(shí)間常數(shù)；時(shí)間常數(shù)與階躍響應(yīng)時(shí)間成一定比例關(guān)系，要得到精確的響應(yīng)時(shí)間不可以用時(shí)間常數(shù)代替，在時(shí)間常數(shù)的基礎(chǔ)上乘以相應(yīng)的倍數(shù)可以得到一個(gè)比較準(zhǔn)確的階躍響應(yīng)時(shí)間。

當(dāng)不考慮高壓臂電阻對(duì)地電容C1，只考慮低壓臂電阻對(duì)地電容C2的影響時(shí)，應(yīng)用電路原理求得輸出端不接負(fù)載時(shí)的傳遞函數(shù)

(4)

從傳遞函數(shù)可以看出，這是一個(gè)微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)相串聯(lián)組成的傳遞函數(shù)，分子、分母階次相同，時(shí)間常數(shù)為

(5)

對(duì)式(4)進(jìn)行整理可以得到下面的公式，這是一個(gè)比例環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)相串聯(lián)后與另一個(gè)比例環(huán)節(jié)相并聯(lián)組成的傳遞函數(shù)

(6)

從式(6)可以看出，慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)為

(7)

通過仿真可以得到階躍響應(yīng)的輸出值不是從零開始響應(yīng)的，這一結(jié)論也可以從式(6)中得出，輸出值與傳遞函數(shù)分子一次項(xiàng)系數(shù)、分母一次項(xiàng)系數(shù)和輸入電壓值的大小有關(guān)。通過對(duì)式(5)與式(7)的比較中可以得出式(4)的時(shí)間常數(shù)與傳遞函數(shù)中慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)不同，所以要得到精確的階躍響應(yīng)時(shí)間不可以用慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)代替。

從表2中可以看出，響應(yīng)時(shí)間隨低壓臂對(duì)地電容C2的增加而增加，與式(5)中的正比關(guān)系一致。當(dāng)R1取值為8 000 Ω、R2取值為10 Ω時(shí)，如表2所示，低壓臂對(duì)地電容C2的取值從0.9 ～2.5 pF以0.4 pF為步進(jìn)，通過仿真數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)階躍響應(yīng)的輸出值達(dá)到測(cè)量值的0.95倍時(shí)，上升時(shí)間約是時(shí)間常數(shù)T2的4.6倍；當(dāng)階躍響應(yīng)的輸出值達(dá)到測(cè)量值的0.98倍時(shí)，上升時(shí)間約是時(shí)間常數(shù)T2的6.4倍。電路仿真得出的數(shù)據(jù)證明從傳遞函數(shù)分析得出的結(jié)論正確，式(5)的時(shí)間常數(shù)不是慣性環(huán)節(jié)中的時(shí)間常數(shù)；但是時(shí)間常數(shù)與階躍響應(yīng)時(shí)間也成一定比例關(guān)系，要得到精確的響應(yīng)時(shí)間可以在時(shí)間常數(shù)的基礎(chǔ)上乘以一定的倍數(shù)，得到一個(gè)比較準(zhǔn)確的階躍響應(yīng)時(shí)間。

當(dāng)同時(shí)考慮高壓臂電阻對(duì)地電容C1和低壓臂電阻對(duì)地電容C2的影響時(shí)，應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法求得輸出端不接負(fù)載時(shí)的傳遞函數(shù)

(8)

通過計(jì)算可以得到如下式所示的時(shí)間常數(shù)

(9)

由式(3)，式(5)和式(9)可知T=T1+T2，也就是說高、低壓臂對(duì)地電容對(duì)階躍響應(yīng)時(shí)間沒有相互影響，并且具有疊加效應(yīng)。在電阻分壓器中，高壓臂電阻的

尺寸要大于低壓臂電阻，由式(1)可知，高壓臂對(duì)地電容要大于低壓臂對(duì)地電容。從表1和表2中可以看出，高壓臂對(duì)地電容影響階躍響應(yīng)時(shí)間是在納秒量級(jí)，而低壓臂對(duì)地電容影響階躍響應(yīng)時(shí)間在皮秒量級(jí)，兩者進(jìn)行疊加后的階躍響應(yīng)時(shí)間幾乎與高壓臂對(duì)地電容的響階躍響應(yīng)時(shí)間相同。

表2 低壓臂對(duì)地電容的時(shí)間常數(shù)與階躍響應(yīng)時(shí)間關(guān)系

通過仿真分析發(fā)現(xiàn)，低壓臂對(duì)地電容影響較小，在低壓臂對(duì)地電容變化不大的情況下，對(duì)輸出幾乎沒有影響。如圖3所示，左邊點(diǎn)劃線是低壓臂對(duì)地電容對(duì)輸出的影響，中間虛線是高壓臂對(duì)地電容對(duì)輸出的影響，右邊實(shí)線是總對(duì)地電容對(duì)輸出電壓的影響，可以看出低壓臂對(duì)地電容對(duì)輸出的影響要遠(yuǎn)小于高壓臂對(duì)地電容對(duì)輸出的影響。

圖3 高、低壓臂對(duì)地電容對(duì)輸出電壓的影響

3 結(jié)束語

電阻分壓器的高壓臂對(duì)地電容大于低壓臂對(duì)地電容，高、低壓臂對(duì)地電容對(duì)階躍響應(yīng)時(shí)間具有疊加效應(yīng)。高壓臂對(duì)地電容影響階躍響應(yīng)時(shí)間在納秒量級(jí)，而低壓臂對(duì)地電容影響階躍響應(yīng)時(shí)間在皮秒量級(jí)，兩者進(jìn)行疊加后的階躍響應(yīng)時(shí)間與高壓臂對(duì)地電容的響階躍響應(yīng)時(shí)間基本相同。在仿真與傳遞函數(shù)分析中發(fā)現(xiàn)，高壓臂對(duì)地電容的時(shí)間常數(shù)就是慣性環(huán)節(jié)中的時(shí)間常數(shù)；低壓臂對(duì)地電容的時(shí)間常數(shù)不是慣性環(huán)節(jié)中的時(shí)間常數(shù)；時(shí)間常數(shù)與階躍響應(yīng)時(shí)間成一定比例關(guān)系，要得到精確的響應(yīng)時(shí)間可以在時(shí)間常數(shù)的基礎(chǔ)上乘以相應(yīng)的倍數(shù)，得到一個(gè)比較準(zhǔn)確的階躍響應(yīng)時(shí)間。

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The Step Response Characteristic Research of Resistor Divider

SUN Bo1，YIN Bo1，LI Hongda2，PAN Linlin1，ZHAO Hongyang2，CHE Long2

(1. School of Automation and Electrical Engineering，Shenyang Ligong University，Shenyang 110168，China;2. School of Equipment Engineering，Shenyang Ligong University，Shenyang 110168，China)

Considering the question of stray parameters of the resistor voltage divider and step response characteristic, analysis the relationship between the step response time and the capacity of resistor voltage divider’s high voltage arm and Low voltage arm with transfer function and circuit simulation two methods. The results shows that the earth capacity of high pressure arm has an influence on the time of step response in nanoseconds level, while the effect came from the capacitance of low voltage arm on step response time in picoseconds’ scale. As we all known, these impact factors can overlay. By comparison, the effect from the earth capacitance of low voltage arm compare with the influence from high pressure arm’s capacity was negligible on the step response time. If you want to draw a more accurate step response time, the time constant can multiply corresponding multiples.

step response；resistor voltage divider；earth capacitance

2016- 05- 02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51207096)

孫波(1963-), 男，副教授。研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)故障診斷與監(jiān)控技術(shù)。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.03.044

TM351.3

A

1007-7820(2017)03-160-04