在“圖形與幾何”復(fù)習(xí)課中彰顯符號(hào)意識(shí)

吳成業(yè)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。”“圖形與幾何”是數(shù)學(xué)課程一個(gè)非常重要的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，如何在“圖形與幾何”復(fù)習(xí)課中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，既是對(duì)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的細(xì)化與實(shí)化，也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的強(qiáng)化與深化。下面以人教版“ 圓柱與圓錐的復(fù)習(xí)”為例，談?wù)勅绾卧凇皥D形與幾何”復(fù)習(xí)課中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

一、 在感知中了解符號(hào)的簡潔性——數(shù)學(xué)符號(hào)感知

數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)是一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，它既包括數(shù)學(xué)符號(hào)的知識(shí)與能力，還包括學(xué)生的綜合思維能力?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)第二學(xué)段“圖形與幾何”的課程內(nèi)容做出了明確的界定：“結(jié)合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計(jì)算方法，并能解決簡單的實(shí)際問題。”

朱立明、馬云鵬在《數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”研究：內(nèi)涵與維度》一文中認(rèn)為：所謂“數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”，即學(xué)習(xí)者在思維（具體表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維）的引導(dǎo)下，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)符號(hào)之間抽象對(duì)應(yīng)關(guān)系的一種積極主動(dòng)的心理認(rèn)知活動(dòng)（內(nèi)隱性），在通過數(shù)學(xué)符號(hào)的感知與理解、運(yùn)算與推理、交流與表達(dá)等數(shù)學(xué)思考方式解決數(shù)學(xué)問題的過程中所表現(xiàn)出來的與數(shù)學(xué)符號(hào)相關(guān)的一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（外顯性）。

在“圖形與幾何”復(fù)習(xí)課中，我們不能僅僅滿足于數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的重復(fù)練習(xí)，還應(yīng)在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上深化學(xué)生的符號(hào)感知意識(shí)。數(shù)學(xué)符號(hào)的感知不僅包括對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)本身所特有的意義與內(nèi)涵的理解，而且包括對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的美學(xué)欣賞與了解其暗示功能。顯然，圓柱的體積和表面積以及圓錐的體積公式的掌握是“圓柱與圓錐的復(fù)習(xí)”的一個(gè)重點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的一個(gè)很好的復(fù)習(xí)素材。在人教版“圓柱與圓錐的復(fù)習(xí)”中，我們注意到，六年級(jí)下冊關(guān)于圓柱的體積是這樣下定義的：圓柱的體積=底面積×高，而用數(shù)學(xué)符號(hào)表示就是“V=Sh”，圓柱的表面積=圓柱的側(cè)面積+兩個(gè)底面的面積，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示就是“S表=S側(cè)+2S底”。通過文字與符號(hào)的對(duì)比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)圓柱與圓錐的面積、體積公式具有簡潔性。這種核心素養(yǎng)一旦形成，對(duì)學(xué)生將來的發(fā)展會(huì)起積極作用。

二、 在推理中刻畫符號(hào)的抽象性——數(shù)學(xué)符號(hào)推理

數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)是學(xué)生必須發(fā)展的一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要學(xué)生的直覺力與洞察力，并不是通過教師教的方式獲得的。朱立明、馬云鵬在《數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”研究：內(nèi)涵與維度》一文中認(rèn)為，對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)推理，學(xué)生主要表現(xiàn)為以下三個(gè)層次水平：其一，不能利用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行推理，邏輯思維沒有條理性；其二，能夠借助數(shù)學(xué)符號(hào)通過合情推理對(duì)結(jié)論進(jìn)行猜想，或者通過演繹推理對(duì)問題進(jìn)行論證，具備單一的推理思維；其三，可以通過合情推理得到結(jié)論并能夠從一般的概念、公理出發(fā)，對(duì)所得結(jié)論利用演繹推理進(jìn)行論證，具備“猜想—驗(yàn)證”推理思維。

在“圖形與幾何”復(fù)習(xí)時(shí)，讓學(xué)生在推理過程中重新刻畫符號(hào)的抽象性，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)推理能力的重點(diǎn)。在教學(xué)“圓柱與圓錐的復(fù)習(xí)”時(shí)，我們通過展示圓柱體積公式的產(chǎn)生過程，清晰地刻畫出學(xué)生的符號(hào)發(fā)展維度。圓柱的體積公式是運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，通過分割，拼成的立體圖形越來越接近長方體，于是，圓柱的體積就轉(zhuǎn)化成長方體的底面積乘以高。而長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。于是，在這樣的推理過程中，學(xué)生觀察并刻畫出轉(zhuǎn)化前后各部分的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自然而然地推導(dǎo)出圓柱的體積公式。

三、 在運(yùn)算中體驗(yàn)符號(hào)的精確性——數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算

數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)中最重要的基本形式，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成有著重要的推動(dòng)作用。用字母表示“圖形與幾何”領(lǐng)域的公式并進(jìn)行運(yùn)算，是數(shù)學(xué)思維的集中體現(xiàn)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)思考提出了指導(dǎo)性意見：“建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。”就“圖形與幾何”領(lǐng)域而言，我們應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生在具體的運(yùn)算中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到符號(hào)的精確性。

在“圓柱與圓錐的復(fù)習(xí)”中，筆者設(shè)計(jì)了以下教學(xué)流程：

1.情景創(chuàng)設(shè)：你們玩過橡皮泥嗎？在玩的過程中有沒有想到一些數(shù)學(xué)問題？

2.如上圖，出示一塊底面直徑是2厘米、高是3厘米的圓柱形橡皮泥。

3.請(qǐng)大家根據(jù)給出的條件，充分發(fā)揮想象力，提出有創(chuàng)意的問題。

預(yù)設(shè)：（1）表面積計(jì)算。

（2）底面積計(jì)算。

（3）側(cè)面積計(jì)算。

（4）一個(gè)底面和側(cè)面的面積計(jì)算。

（5）縱切面增加的表面積計(jì)算。

（6）橫切面增加的表面積計(jì)算。

（7）體積計(jì)算。

（8）削成等底等高的圓錐的體積計(jì)算。

（9）削成等底等高的圓錐后，削去部分的體積計(jì)算。

（10）將它捏成等底的圓錐，高是多少的計(jì)算。

（11）將它捏成等高的圓錐，底面是多少的計(jì)算。

……

4.選擇問題解決。

顯然，這樣的復(fù)習(xí)題極具創(chuàng)新性、整合性，學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)符號(hào)的精確性，學(xué)生的符號(hào)意識(shí)得到較好的培養(yǎng)。

四、 在表征中彰顯符號(hào)的生成性——數(shù)學(xué)符號(hào)表征

發(fā)展符號(hào)意識(shí)最重要的是從數(shù)學(xué)符號(hào)的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)表征。數(shù)學(xué)符號(hào)表征是一種理性的表現(xiàn)，可以使數(shù)學(xué)問題的解決呈現(xiàn)出一定的規(guī)律，提升有序思維。傅小蘭、何海東指出：“正確的表征是解決問題的必要前提，在錯(cuò)誤的或不完整的問題空間中進(jìn)行搜索，不可能求得問題的正確解?！蔽覀冊凇皥D形與幾何”教學(xué)實(shí)踐中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)一些具體的“圖形與幾何”問題在解決過程中存在一定的差異，對(duì)于同一表征的不同時(shí)期也存在差異。小學(xué)生頭腦中的表征系統(tǒng)存在著概念表征系統(tǒng)、命題表征系統(tǒng)、表象表征系統(tǒng)、圖式表征系統(tǒng)等，這些不同的表征方式對(duì)于“圖形與幾何”領(lǐng)域數(shù)學(xué)問題的解決起著決定性作用。

數(shù)學(xué)符號(hào)表征的目標(biāo)是使學(xué)生建立公式的技能，通過這些公式和表達(dá)式去表示數(shù)學(xué)的意義。在“圖形與幾何”復(fù)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)表征存在一些問題，就“圓柱與圓錐的復(fù)習(xí)”而言，學(xué)生存在以下三種表現(xiàn)：一是不能選擇恰當(dāng)?shù)姆?hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表征，對(duì)于圓柱與圓錐的體積、面積公式容易混淆；二是能選擇單一的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表征，但是在計(jì)算圓柱的底面積時(shí)很容易將半徑機(jī)械地理解成面積；三是能夠選擇一種可行的數(shù)學(xué)符號(hào)表征并能夠根據(jù)需要及時(shí)替換，在圓柱與圓錐的體積、面積之間靈活地相互轉(zhuǎn)化，理解數(shù)學(xué)符號(hào)表征的多樣化。

在教學(xué)“圓柱與圓錐的復(fù)習(xí)”時(shí)，對(duì)等體積等底的圓柱和圓錐而言，經(jīng)過數(shù)學(xué)表征與思考，我們不難得出結(jié)論：h錐=3h柱。在“圖形與幾何”領(lǐng)域用符號(hào)表征數(shù)學(xué)要注意兩點(diǎn)：一是學(xué)生用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象是一個(gè)由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象的過程，這個(gè)過程需要教師創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑的教學(xué)情境和循序漸進(jìn)的教學(xué)鋪墊為保障。二是數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)是多樣化的，我們允許學(xué)生用關(guān)系式、表格、圖像等不同方式表征，但多樣化與最優(yōu)化并不矛盾，我們要注重符號(hào)的生成性。

通過對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的感知、數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)算、數(shù)學(xué)符號(hào)的推理和數(shù)學(xué)符號(hào)的表征等方面的培養(yǎng)，學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)才會(huì)有扎實(shí)、有效的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生才會(huì)形成良好的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，最終促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（作者單位：浙江省永嘉縣甌北第一小學(xué)）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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