“連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)”微課教學(xué)設(shè)計(jì)

林敏+張晴霞+劉建興

【摘要】以概率統(tǒng)計(jì)課程中的“連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)為例，結(jié)合微課教學(xué)的特點(diǎn)，從教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)分析及對(duì)策、教學(xué)過程及方法、教學(xué)思想方面進(jìn)行了專門的教學(xué)設(shè)計(jì)，并通過教學(xué)實(shí)踐取得了較好的效果.

【關(guān)鍵詞】微課；密度函數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G642【文獻(xiàn)識(shí)別碼】A

【基金項(xiàng)目】（1）2015.06.01-2016.05.31，西南石油大學(xué)教師教學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目，“利用現(xiàn)代教育技術(shù)實(shí)現(xiàn)《概率統(tǒng)計(jì)》立體化教學(xué)模式的研究和實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)2015JXYJ-23）；（2）2013.02-2016.07，四川省教育廳教學(xué)改革研究項(xiàng)目“多元化人才培養(yǎng)模式下的大學(xué)數(shù)學(xué)系列課程改革與實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)X15021301019）；（3）2015.11.01-2017.08.10，高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目，“將優(yōu)秀微課作品應(yīng)用于概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)的教學(xué)模式的探索與實(shí)踐”（無項(xiàng)目編號(hào)）.

隨著高校教育教學(xué)改革的不斷深化和網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)的快速發(fā)展，微課作為一種新興教學(xué)方式，正受到教育界越來越多的關(guān)注.近兩年教育部舉辦的“全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽”反響非常熱烈，涌現(xiàn)出一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)微課作品.筆者選取概率統(tǒng)計(jì)課程中的“連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)作為微課參賽作品，獲得“第二屆（2016）全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽”西南賽區(qū)一等獎(jiǎng).現(xiàn)將本次微課教學(xué)設(shè)計(jì)思路及教學(xué)特色與同行分享.

一、教學(xué)目標(biāo)

本次微課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.了解連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的差異；

2.理解連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的定義和性質(zhì)；

3.體會(huì)密度函數(shù)對(duì)于研究連續(xù)型隨機(jī)變量的價(jià)值及其在方法論上的意義.

二、重難點(diǎn)分析及對(duì)策

（一）重難點(diǎn)：密度函數(shù)的概念和性質(zhì)

密度函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量的標(biāo)桿.因?yàn)橹灰烂芏群瘮?shù)，就可以通過積分計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的各種概率，從而明確該隨機(jī)變量的概率分布及特征，所以深入理解密度函數(shù)的概念和性質(zhì)十分重要.按嚴(yán)格意義的表述，連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)是捆綁在一起定義的，直接給出該定義對(duì)學(xué)生來講顯得很突然而且抽象，不容易接受.因此，教學(xué)中應(yīng)注意概念引入的方式和技巧，以便對(duì)概念的內(nèi)涵有深刻的理解.

（二）重難點(diǎn)突破對(duì)策

對(duì)策1：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散式思維，由離散過渡到連續(xù).離散型隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間上的概率計(jì)算是隨機(jī)變量在該區(qū)間中所有取值對(duì)應(yīng)的概率求和，以此為背景，通過將取值點(diǎn)不斷加密，自然地將取值的視野引入連續(xù)區(qū)間的情境，想到連續(xù)的求和就是積分.于是區(qū)間上概率的計(jì)算問題也就從離散情形下的概率求和轉(zhuǎn)化到連續(xù)情形下的積分.這個(gè)基本思路必須是學(xué)生頭腦中形成的處理隨機(jī)變量概率問題的第一反應(yīng)，達(dá)到這個(gè)層面，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量相關(guān)概率的幾何意義、密度函數(shù)的性質(zhì)等等的理解就會(huì)順理成章.

對(duì)策2：類比思想.通過類比物理中求非均勻細(xì)桿質(zhì)量的例子，激活學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)思維，類比探究連續(xù)型隨機(jī)變量區(qū)間上概率計(jì)算的定積分表達(dá)式，引出概率密度函數(shù)存在性的猜想.

三、教學(xué)過程及方法

本次微課結(jié)合PPT演示，教學(xué)時(shí)間15分鐘.采用探索式、提問式、啟發(fā)式、類比式教學(xué)，由表及里、層層遞進(jìn)、步步設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，利用舊知識(shí)解決新問題，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和能力，達(dá)到理解并掌握知識(shí)的目的.

（一）區(qū)間上概率問題的提出及密度函數(shù)概念的引入（4分鐘）

1.通過探討式教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概念有初步的直觀感受，并得出連續(xù)型隨機(jī)變量需關(guān)注區(qū)間上的概率計(jì)算問題.

首先，通過對(duì)日常生活中實(shí)際問題的直觀感受，引入與離散型隨機(jī)變量不同的另一類隨機(jī)變量，如手機(jī)的使用壽命、某人在車站等車的時(shí)間等，稱之為連續(xù)型隨機(jī)變量.然后，啟發(fā)學(xué)生思考：這些所謂的連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的區(qū)別在哪里呢？學(xué)生們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：它們與離散型隨機(jī)變量的最大不同在于取值可能為某實(shí)數(shù)區(qū)間的任意值，而不是至多可列個(gè)值，這一不同造成了連續(xù)型隨機(jī)變量X取某一個(gè)點(diǎn)的概率毫無意義，需著重關(guān)注的問題是X落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，如P（a

2.通過探求連續(xù)型隨機(jī)變量概率的計(jì)算問題，參照定積分的微元分析方法，由離散向連續(xù)過渡；同時(shí)與非均勻細(xì)桿質(zhì)量的線密度作類比，啟發(fā)學(xué)生猜想密度函數(shù)概念的存在性.

①定積分解決概率問題思想的形成

【利用舊知識(shí)解決新問題】首先回顧離散型隨機(jī)變量求P（a

【提出問題，啟發(fā)學(xué)生思考】為了從離散向連續(xù)轉(zhuǎn)變，我們想象這里的離散型隨機(jī)變量X的取值越來越密集，最后連成一片構(gòu)成一個(gè)區(qū)間，此時(shí)如何計(jì)算P（a

【預(yù)設(shè)回答】大部分學(xué)生會(huì)回答“積分”.

【進(jìn)一步啟發(fā)】連續(xù)的求和就是積分，該積分值顯然與區(qū)間（a，b]有關(guān)，于是猜想能否存在某個(gè)函數(shù)f（x），將P（a

②概率密度函數(shù)存在性的猜想.

【類比猜想】概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的一種度量，它本質(zhì)上與長(zhǎng)度、質(zhì)量等度量方式?jīng)]有區(qū)別.并且注意到隨機(jī)變量X落入整個(gè)實(shí)數(shù)軸是一必然事件，其概率為1，所以引導(dǎo)學(xué)生類比猜想：將整個(gè)實(shí)數(shù)軸設(shè)想成一根無限長(zhǎng)的質(zhì)量為1的非均勻細(xì)桿，于是計(jì)算P（a

【揭曉答案】事實(shí)上，經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的研究，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，這樣的概率密度函數(shù)的確存在.下面給出連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)的嚴(yán)格定義.

（二）連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)的定義與性質(zhì)（4分鐘）

定義1設(shè)X是隨機(jī)變量，若存在函數(shù)f（x）滿足

（1）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有f（x）≥0；

（2）∫+∞-∞f（x）dx=1；

（3）對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b（a

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x）為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)或概率密度.

【教學(xué)特色】本次教學(xué)設(shè)計(jì)中未采用傳統(tǒng)的密度函數(shù)定義.

定義2設(shè)F（x）是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，如果存在某個(gè)非負(fù)函數(shù)f（x），使對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有F（x）=∫x-∞f（x）dx，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f（x）為X的密度函數(shù).定義2直接給出了分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系，定義中的積分表達(dá)式是反常積分中的變上限積分形式，初學(xué)者難于理解，甚至容易將分布函數(shù)與密度函數(shù)混淆.為此，教學(xué)過程中采用另一種密度函數(shù)定義方式（定義1），其優(yōu)點(diǎn)在于：①承上啟下，易于理解；②化繁為簡(jiǎn)，由易到難.

密度函數(shù)的性質(zhì)：

（1）f（x）≥0（非負(fù)性）；

（2）∫+∞-∞f（x）dx=1（歸一性）.

注：這兩條性質(zhì)是判斷一個(gè)函數(shù)能否成為概率密度函數(shù)的充要條件.

（三）連續(xù)型隨機(jī)變量區(qū)間上概率問題的解決（6分鐘）

由P（a

（1）P（a

根據(jù)定積分幾何意義可知，隨機(jī)變量X落在區(qū)間（a，b]上的概率，恰好等于在區(qū)間（a，b]上由曲線y=f（x）形成的曲邊梯形的面積.因此，可通過圖形直觀地感受隨機(jī)變量的概率分布情況.

（2）密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系.

由關(guān)系式∫baf（x）dx=F（b）-F（a），引導(dǎo)學(xué)生探索分布函數(shù)F（x）和密度函數(shù)f（x）之間的關(guān)系.

【提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考】根據(jù)上述等式，大家聯(lián)想到微積分學(xué)中一個(gè)什么重要公式呢？這表明f（x）和F（x）之間可能會(huì)是一種什么關(guān)系呢？

【預(yù)設(shè)回答】大部分學(xué)生會(huì)回答“牛頓-萊布尼茲”公式；“F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)”.

【進(jìn)一步啟發(fā)并論證】分布函數(shù)F（x）能借助密度函數(shù)f（x）的積分形式來直接表達(dá)嗎？

F（x）=P（-∞

【深挖內(nèi)涵，層層深入】

上式表明F（x）是關(guān)于f（x）的積分上限的函數(shù)，根據(jù)微積分知識(shí)，可以得到以下結(jié)論：

①連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F（x）一定是連續(xù)函數(shù)；

②在F（x）的可導(dǎo)點(diǎn)x處，則有F′（x）=f（x），即分布函數(shù)就是密度函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)；

③由結(jié)論②，進(jìn)一步得到

f（x）=F′（x）=limΔx→0F（x+Δx）-F（x）Δx

=limΔx→0+P（x

該式表明，概率密度就是平均概率的極限，刻畫了分布函數(shù)變化的快慢程度；

④由結(jié)論③，進(jìn)一步得到

P（x

該式表明，隨機(jī)變量X落在區(qū)間（x，x+Δx]上的概率與點(diǎn)x處概率密度成正比，即f（x）越大，在該點(diǎn)附近取值的概率就越大，體現(xiàn)了概率在x點(diǎn)附近的密集程度.

（四）小結(jié)與課后思考（1分鐘）

本次課通過類比猜想的方式引入連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的概念，解決了連續(xù)型隨機(jī)變量在區(qū)間上概率的計(jì)算問題，并探討密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系，將知識(shí)升華.

四、教學(xué)思想小結(jié)

1.通過對(duì)日常生活中實(shí)際問題的分析，引出對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的直觀感受，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到它與離散型隨機(jī)變量的差異，蘊(yùn)含了從具體到抽象的思維方式；進(jìn)一步由離散向連續(xù)過渡，溫故而知新，運(yùn)用微元分析法，提煉出區(qū)間上概率的計(jì)算思路，體現(xiàn)了有限和無限、近似和準(zhǔn)確、量變和質(zhì)變等范疇的對(duì)立統(tǒng)一的辯證法教學(xué)思想.

2.采用“類比”教學(xué)法，將連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算與非均勻細(xì)桿的質(zhì)量計(jì)算作類比，引入概率密度函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生大膽設(shè)想和猜測(cè)，激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí)并培養(yǎng)其發(fā)散性思維及能力.

3.通過對(duì)密度函數(shù)與分布函數(shù)關(guān)系的討論，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到微積分在研究概率領(lǐng)域中的作用，再次體會(huì)到微積分的無窮魅力.

4.通過問題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考，激發(fā)他們發(fā)現(xiàn)問題和用科學(xué)方法解決問題的興趣和意識(shí)，培養(yǎng)其運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題和進(jìn)行科學(xué)研究的探索能力，體現(xiàn)“授人以漁”.