語言、邏輯與邏輯代數(shù)化

摘要：邏各斯信仰被語言哲學(xué)概括為“存在是一”；建立在邏各斯基礎(chǔ)上的形式邏輯推理以文字符號為中介；17世紀，萊布尼茲自創(chuàng)數(shù)學(xué)符號取代文字，將傳統(tǒng)邏輯轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)演算形式，稱為符號邏輯；19世紀英國邏輯學(xué)家喬治布爾將符號邏輯的“與”“或”“非”三種基本運算轉(zhuǎn)化為用二進制符號0、1表示的“邏輯乘”“邏輯加”“邏輯非”三種代數(shù)演算，建立“布爾代數(shù)”；符號邏輯與布爾代數(shù)的運演系統(tǒng)都完全包含并大大超越了形式邏輯系統(tǒng)；進入20世紀，0、1符號成為計算機機器語言的代碼，其基礎(chǔ)運算模式采用的正是布爾代數(shù)；整個演化順序表述為：邏各斯信仰——形式邏輯——符號邏輯——布爾代數(shù)——計算機運算模式，進入21世紀，西方終于以計算機的形式，完成了對古希臘邏各斯信仰的實踐性論證。

關(guān)鍵詞：邏各斯信仰；形式邏輯；符號邏輯；二進制；布爾代數(shù)；計算機運算模式

中圖分類號：B81 文獻標識碼：A 文章編號：

一、邏各斯信仰的語言本質(zhì)

語言是人類自創(chuàng)的第二自然，古希臘在原始自然崇拜的基礎(chǔ)上，用語詞崇拜取代了傳統(tǒng)多神崇拜，并將這種言說的神圣性稱為“邏各斯”。

（一）從“多”到“一”

和眾多原始宗教一樣，古希臘人的世界觀秉持多神論，希臘神話即宣揚萬物的本源及運行規(guī)律皆由眾神安排。隨著文明進步，希臘的理性哲學(xué)家不滿于這種雜多混亂的思維狀態(tài)，他們深信世界的本質(zhì)是“一”而不是“多”，哲學(xué)家的使命就是發(fā)現(xiàn)紛繁現(xiàn)象之下的規(guī)律秩序。

既然“一”是一切的開始，找到構(gòu)成宇宙的最基本元素就找到了“一”。希臘智者關(guān)于世界本源的問題提出了很多假設(shè)，赫拉克利特說“宇宙的本源是火”，阿納克西曼德說“世界的本源是氣”，各種推測輪番上陣，又形成了“多”的格局。

物質(zhì)世界找不到答案，希臘人轉(zhuǎn)向精神層次的語言。巴門尼德秉持邏各斯信仰，率先提出“存在是一”的觀點。邏各斯是形式邏輯的前身，最初意思是“詞語、言語或規(guī)律”，可以引申為“用語言符號進行推理”的意思，最早的表現(xiàn)形式是希臘語法。在原始互滲律的神秘主義思維指導(dǎo)下，古希臘人認為語言符號具有神性，不可隨意改變，由此將邏各斯發(fā)展為理性、規(guī)律的體系，并賦予了“道”的終極含義，即所謂邏各斯信仰。

（二）在語法中找到“一”

巴門尼德決定從語法角度探尋世界本質(zhì)，他發(fā)現(xiàn)系詞“是”（be）乃是印歐語系的基本法則，因為任何表達都離不開“某某是某某”的語法形式，既然語言是邏各斯的投射，那么“是”就是通向真理之道。巴門尼德將其真理表述為“存在就是存在，不存在就是不存在” （be也有“存在”、“有”等多重詞義 ），為后來邏輯學(xué)確定了“真”、“假”二元判斷的基本格局。

雖然中文的日常用語不能用“某某是某某”的語式全部概括，比如“我去散步”就不能說成“我是散步”，但著名哲學(xué)家鄧曉芒認為，西方的語法可以把“我去散步”還原、變形為“某某是某某”的基本模式，“我去散步”可以還原為現(xiàn)在進行時“我是在散步”（I was taking a walk）。于是，依靠“be”的引導(dǎo)，古希臘人在語言中找到了精神歸宿。

二、形式邏輯——語言的形式化

經(jīng)過不斷探索，邏各斯信仰終于集大成于亞里士多德創(chuàng)造的形式邏輯，發(fā)展為闡述有效推理原則的完整學(xué)科。從此，運用各種符號追求信息處理的清晰和確定，成為了西方文明發(fā)展的動力。

（一）從“是什么”的語言糾紛到清晰的幾何學(xué)證明

沿著巴門尼德的思路，希臘人意識到，要說清一個事情，傳遞一個消息，乃至尋求宇宙的真理，首先要把“什么是什么”說清楚，也就是把概念定下來，降低信息編碼的隨意性。

蘇格拉底首先開始為事物定義精確概念，他總是問他的雅典同胞“什么是節(jié)制”、“什么是勇敢”、“什么是美”。但語言的模糊性歧義性最終激怒了雅典民眾，蘇格拉底的定義變成了詭辯，探索終以悲劇收場。

柏拉圖吸取教訓(xùn)，不再街頭辯論。他忽略現(xiàn)實的表象，提出“理念論”。比如，勇敢的本質(zhì)不在于進攻還是撤退，而在于我們頭腦中有個勇敢的永恒理念。為了擺脫語言的隨意性，柏拉圖又嘗試在倫理討論中引入幾何學(xué)論證，以至聽眾聽完柏拉圖有關(guān)善的主題演講后，抱怨他談的都是數(shù)學(xué)問題。

其實，理念論仍然是“多”。馬有馬的理念，美有美的理念，這些理念互不關(guān)聯(lián)，不能統(tǒng)一在一個共同的概念之上。于是，柏拉圖的學(xué)生亞里士多德總結(jié)出“形式”概念，它比“理念”更純粹，是精神宇宙的最基礎(chǔ)最根本的基座。

亞里士多德發(fā)現(xiàn)，任何物品都有一個形狀，馬匹的形狀、三角形、正方形等等，無論什么形，在我們頭腦中都可以抽象出一個統(tǒng)一的概念——“形式”。因此“形式”才是“一”，他關(guān)于形式的規(guī)律描述，就是形式邏輯。

（二）形式邏輯的基本規(guī)則

亞里士多德的形式邏輯，一方面來自對古希臘幾何學(xué)證明方法的抽象，另一方面，后來歐幾里得撰寫的《幾何原本》，又明顯地運用了形式邏輯的方法，把幾何學(xué)整理成一個嚴密完整的邏輯演繹體系。因此，數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)在思想方法上一開始就息息相通、相互促進，日后發(fā)展為數(shù)理邏輯并非偶然。

形式邏輯在三個層次上進行運作：概念、判斷以及演繹推理三段論法則。最大的特點是撇開具體、個別的思維內(nèi)容，僅從形式結(jié)構(gòu)方面研究這三者正確聯(lián)系的規(guī)律。這些規(guī)律包括同一律、矛盾律和排中律，也就是說，任何概念、定義、判斷、推理不得違背這三條規(guī)律。

1.“存在是一”——同一律、矛盾律和排中律

同一律是形式邏輯的最核心規(guī)律，就是在思維過程中，必須在同一意義上使用概念和判斷，不能混淆不同的概念和判斷。公式是：“A是A”或“A等于A”。“A等于A”并非有兩個相同的A，而是只有唯一的A，即“一”。所以叫“同一律”。

矛盾律，通常被表述為A不是非A，或A不能既是B又不是B。

排中律，通常被表述為A是B或不是B。任一事物在同一時間里只能具有某屬性或不具有某屬性，只有“真”、“假”二元，沒有灰色地帶。

2.公理系統(tǒng)——三段論推理法則

推理是通過前提作出必然結(jié)論的邏輯形式。亞里士多德的三段論是一個比較完整的演繹推理理論，比如下面顯示的三段論推理中，“人”是中項；“死”是“大項”；“蘇格拉底”是 “小項”。包含大項的叫大前提，包含小項的叫小前提。上述的推理可以抽象為公理化形式，用“P”表示“大項”，用“M”表示“中項”，用“S”表示“小項”。這樣就轉(zhuǎn)化為普遍的公理形式：

大前提： 所有的人都是要死的。 所有的M都是P。

小前提：蘇格拉底是人。 所有的S都是M。

結(jié)論：蘇格拉底是要死的 所有的S都是P。

這個公理形式，表現(xiàn)了概念之間的包含關(guān)系，由此可見，形式邏輯已經(jīng)具備了一個初級的公理化系統(tǒng)，在本質(zhì)上與數(shù)學(xué)科學(xué)建立了溝通基礎(chǔ)。

三、符號邏輯——以數(shù)學(xué)語言超越形式邏輯

就語言符號的精確性嚴謹性而言，文字符號顯然遜于數(shù)學(xué)符號，且運用領(lǐng)域有限，17世紀時，萊布尼茨提出，應(yīng)該將人類的思維像數(shù)學(xué)運算那樣符號化，規(guī)則化，最后，制造一部可以對符號直接操作的機器，將演算過程機械化、自動化，這也是有關(guān)計算機的最早構(gòu)想。

（一）邏各斯信仰數(shù)學(xué)化的構(gòu)想

與古希臘人的邏各斯信仰一樣，萊布尼茨認為，我們居于其中的紛繁復(fù)雜的宇宙遵循著統(tǒng)一的規(guī)律體系，萬物相互關(guān)聯(lián)，有著共同本源，而且我們完全可以將這一切還原為一種數(shù)學(xué)符號演算。所謂數(shù)學(xué)符號，是一種高度抽象化、形式化的人工符號系統(tǒng)，良好的符號可以大大簡化運算的復(fù)雜性。萊布尼茲用自創(chuàng)的數(shù)學(xué)符號重造一套真值邏輯系統(tǒng)，他將這種符號演算體系稱為“普遍科學(xué)語言”，后來被叫做“符號邏輯”。

（二）符號邏輯體系的確立

萊布尼茲的符號系統(tǒng)及演算規(guī)則，不但完全對應(yīng)于形式邏輯的規(guī)則系統(tǒng)，同時，他還把日常思考和對話也當(dāng)做一種推理，其結(jié)果都可以歸結(jié)為對自創(chuàng)符號的數(shù)學(xué)演算，大大擴展了邏輯學(xué)的研究范疇。

1.命題演算中的符號含義

符號邏輯最基本最重要的組成部分，就是“命題演算”和“謂詞演算”。謂詞演算是命題演算的延伸，我們只介紹命題演算的性質(zhì)。

命題演算是研究關(guān)于命題如何通過一些邏輯連接詞構(gòu)成更復(fù)雜的命題以及邏輯推理的方法。如果我們把命題看作運算的對象，如同代數(shù)中的數(shù)字、字母，把邏輯連接詞看作運算符號，就象代數(shù)中的“加、減、乘”，那么由簡單命題組成復(fù)合命題的過程，就可以當(dāng)作邏輯運算的過程，也就是命題的演算。

萊布尼茲為命題和連接詞都創(chuàng)立了相應(yīng)的符號庫，篇幅所限，本文僅取個別代表性符號，舉例說明命題邏輯的主旨思路。

萊布尼茲一般用字母表的大寫字母，表示命題的符號，并且設(shè)定只有具有確定判斷真、假值的陳述句才是命題。命題判斷只取兩個值：真（用T（true）或1表示）、假（用F（false）或0表示），萊布尼茲因此成為二進制創(chuàng)始人。比如，P和Q各代表一個命題，符號“P”代表命題“西安是一個城市”，符號“Q”代表命題“5是偶數(shù)”，所以P是真命題，Q是假命題。

除了命題，還要有表示命題間關(guān)系的連接詞符號（或稱邏輯算子），主要包括： ∧、┐、→、∨四種，其中，“與”（∧）、“或”（∨）、 “非”（┐）是基本運算，它們都是只判斷真、假關(guān)系的二元運算。

①符號“┐”稱為否定聯(lián)結(jié)詞，稱為P的否定式，就是“非”的意思，記作 “┐P”讀作“非P”。比如，符號“P”代表命題“西安是一個城市”，則符號“┐P”的意思是“西安不是一個城市”。

②符號“∧” 稱為合取聯(lián)結(jié)詞，就是“與”的意思，P與Q的合取式，記作P∧Q，即“P與Q”（或“P并且Q”）。其運算特點是，只有參與運算的二命題全為真時，運算結(jié)果才為真，否則為假。比如，設(shè) P代表命題“李平聰明”，Q代表“李平用功”，則符號“P∧Q”的意思是“李平聰明并且用功”。

③符號“∨”稱為析取聯(lián)結(jié)詞，與漢語中的聯(lián)結(jié)詞“或”意義相近，其運算特點是，只有參與運算的二命題全為假時，運算結(jié)果才為假，否則為真。比如，P代表“小王愛打球”，Q代表“小王愛跑步”，則“P∨Q”的意思是“小王愛打球或愛跑步”。

④符號“→”稱為條件聯(lián)結(jié)詞。P→Q的意思是“只要P就Q”、“因為P，所以Q”等等。比如，P代表“天下雨”， Q代表“草木枯黃”，： “┐P→Q”的意思是“天不下雨，則草木枯黃”。

2.用命題形式表達同一律、矛盾律、排中律、三段論

形式邏輯的三個規(guī)律以及三段論都可以完美轉(zhuǎn)化為符號邏輯的演算：

同一律作為符號邏輯思維的規(guī)律，在命題演算中簡單表達為A=A；

排中律作為符號邏輯思維的規(guī)律，是指一個命題是真的或不是真的，沒有其他可能。在命題演算中表達為，A∨┐A（讀作A或非A）；

矛盾律作為符號邏輯的思維規(guī)律，是指任一命題不能既真又不真。在命題演算中表達為，（A∧A）（讀作A并且非A是假的 ）。

同樣，三段論也有命題邏輯形式。如果用P表示大前提，Q表示小前提，R表示結(jié)論，則P代表“大前提： 所有的人都是要死的”，Q代表“小前提：蘇格拉底是人”，R代表“結(jié)論：蘇格拉底是要死的”，如此，三段論的命題演算模式：（P∧Q）→R。

四、邏各斯信仰的實證——布爾代數(shù)啟發(fā)計算機運算模式

（一）符號邏輯的具體模型——布爾代數(shù)

代數(shù)，即代表著量和運算的符號在幾條基本規(guī)則的支配下的數(shù)學(xué)演算，具有驚人的簡潔力量。19世紀英國邏輯學(xué)家布爾終于將形式邏輯轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算。

1847年，布爾發(fā)表《邏輯的數(shù)學(xué)分析》，建立“布爾代數(shù)”，他自創(chuàng)代數(shù)公式，用來表達形式邏輯中的各種概念。這些公式既滿足交換律、結(jié)合律、分配律等基本代數(shù)運算規(guī)律，同時也滿足形式邏輯的同一律、排中律、矛盾律、三段論推理，甚至被后人作為現(xiàn)代電路設(shè)計的基本法則。

作為萊布尼茲的追隨者，布爾代數(shù)實際是符號邏輯的具體代數(shù)模型。它的基本運算仍然是命題演算中的“與”（∧）、“或”（∨）、 “非”（┐），布爾代數(shù)中稱之為“邏輯乘”、“ 邏輯加”和“邏輯非”。布爾代數(shù)的運算對象只有兩個數(shù) ，1和 0，相當(dāng)于命題演算中的“真”和“假”。

例如：1+0=1，是布爾代數(shù)的“邏輯加”運算，實際上是符號邏輯的“或”（∨）運算的另一種表述。如前所述，“或”（∨）的運算特點是，只有參與運算的二命題全為假時，運算結(jié)果才為假，否則為真。意思是“真”與“假”的結(jié)果仍然是“真”。一般而言，1代表真，0代表假，所以1+0=1的意思也是“真”與“假”的結(jié)果仍然是“真”。同理，0×0=0、0×1=0是布爾代數(shù)的“邏輯乘”，對應(yīng)符號邏輯的“與”（∧）運算。

（二）布爾代數(shù)——計算0、1的普通代數(shù)

根據(jù)亞里士多德學(xué)說，某物總具有某種性質(zhì)，并用一個類來表示。布爾思考，如果把這些性質(zhì)和類用符號代替，就具有了代數(shù)的形式。比如，黑色是x，馬是y，那么黑馬就可以用xy來表示。接著布爾發(fā)現(xiàn)，日常邏輯中，黑色和黑色放在一起，仍然是黑色，即xx依然表示的是x。而對于符號邏輯而言，當(dāng)x表示一個類的時候，xx=x同樣為真，于是xx=x成為布爾代數(shù)的一個基本規(guī)則。

不過布爾又發(fā)現(xiàn)，這個運算規(guī)則與普通代數(shù)運算規(guī)則是不同的。因為在普通代數(shù)中，x與x相乘，必然是xx=x?。布爾繼續(xù)思考，要使xx=x公式在普通代數(shù)中有效，x只能是1或者0，他們在普通代數(shù)的運算表示為0×0=0、0×1=0、1×1=1。所以，所謂布爾代數(shù)就是有關(guān)0、1二進制的普通代數(shù)。

（三）形式邏輯的代數(shù)化證明

根據(jù)xx=x公式，布爾進一步推導(dǎo)，xx=x => x-xx = 0 => x（1-x） = 0，如果把0看作空集，1代表全體類，這個結(jié)果實際上證明了形式邏輯的矛盾律，即“沒有任何東西可以既屬于又不屬于一個給定的類x”。

接下來，布爾開始用代數(shù)方法論證三段論法則。一個有效三段論的例子可以表示為：

大前提：所有x都是y（xy） 所有馬都是動物

小前提：所有y都是z（yz） 所有動物都有生命

結(jié)論：所有x都是z（xz） 所有馬都有生命

根據(jù)形式邏輯的原則，所謂“有效”，是指忽略內(nèi)容，只關(guān)注形式推導(dǎo)有效，即不管x、y、z是驢是馬，只要兩個前提為真，結(jié)論也為真?，F(xiàn)在我們用布爾代數(shù)證明三段論有效：大前提“所有x都是y”，即x中的每一個東西都屬于y，可以表示為x=xy；同理，小前提可以寫成y=yz，我們得到x=xy=x（yz）=（xy）z=xz，略過中間過程，x=xz就是我們想要得到的結(jié)論，即“所有x都是z”。

（四）布爾代數(shù)奠定計算機運算基礎(chǔ)

由上可知，不論是符號邏輯還是布爾代數(shù)，它們的運演系統(tǒng)都完全包含并大大超越了形式邏輯系統(tǒng)。又過了一百年，后人進一步發(fā)展布爾代數(shù)，創(chuàng)造了布爾本人無法預(yù)料的偉大成就——計算機。

1938年，現(xiàn)代信息論創(chuàng)始人香農(nóng)發(fā)表了論文《繼電器與開關(guān)電路的符號分析》，分析用到了布爾代數(shù)。香農(nóng)注意到，電話交換的開、關(guān)操作與布爾代數(shù)的0、1推演有相似性，于是把布爾代數(shù)的真（1）、假（0）和電路系統(tǒng)中的開、關(guān)對應(yīng)起來，優(yōu)化了開關(guān)電路。這篇論文確立了計算機運算的基礎(chǔ)，即現(xiàn)代邏輯代數(shù)。

邏輯代數(shù)也叫做開關(guān)代數(shù)，只有0、1兩種狀態(tài)。因為所有電器電路的運行，包括計算機在內(nèi)，歸根到底都是由開和關(guān)、導(dǎo)電和斷電等兩種基本操作構(gòu)成。進一步而言，利用布爾代數(shù)的“邏輯乘”、“邏輯加”和“邏輯非”的運算法則可以將電子元件組成三種“門電路”模塊，即構(gòu)成邏輯元件。利用三種最基本的邏輯元件可以組成各種復(fù)雜的邏輯關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，使得電子器件具有演繹推理的功能。如果邏輯網(wǎng)絡(luò)由幾千萬個電子元件組成，就構(gòu)成了計算機的硬件基礎(chǔ)——集成電路。所以布爾代數(shù)的運算特點和計算機運算模式完全一致，是計算機內(nèi)部運算的邏輯基礎(chǔ)。

結(jié)語

信仰、哲學(xué)是一個文明體系的根基土壤，每個改變世界的方程都可追溯到文明初期偉大先哲的初心夢想，可見，理論與實踐的關(guān)系極為詭異。

凡是高級文明都相信宇宙存在終極的“道”，并試圖構(gòu)建“一”的體系。中國亦有“吾道一以貫之”、“道生一”、“天人合一”等大量有關(guān)“一”的學(xué)說。只不過，我們認為“一”不可說，西方卻在現(xiàn)實世界外“說”出了一個數(shù)字時空。相信具備原裝符號操作系統(tǒng)的中華文明，透過形式文化的嫁接，必將生出真正的原創(chuàng)科學(xué)。

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作者簡介：陳銳（1971-），男，中南大學(xué)馬克思主義學(xué)院講師，研究方向為信息認識論、教育心理。

（責(zé)任編輯：李直）