一道高考題的解答、推廣和溯源

☉湖北省華中師范大學第一附屬中學 駱冰翹

一道高考題的解答、推廣和溯源

☉湖北省華中師范大學第一附屬中學 駱冰翹

細品2015年湖北高考數(shù)學理科卷第14題：平而不俗，內(nèi)涵豐富．筆者在老師的指導(dǎo)下進行了一次極具收獲性的探究，整理出來，以引發(fā)思索．

試題如下：如圖1，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2．

（1）圓C的標準方程為_________．

（2）過點A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，

圖1

其中正確結(jié)論的序號是________（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

一、問題的解答

解析：（1）不妨設(shè)圓C的標準方程為：（x-1）2+（y-r）2= r2（r＞0）．

由|AB|=2知，12+12=r2=2，則C：（x-1）2+

毋庸置疑，本題第（2）問是難點，此問對科學素養(yǎng)有一定的要求，很多同學難以揣摩出命題者的意圖，只能蠻干甚至徒勞．對于多結(jié)論的正誤判斷、驗證類問題，盲目逐一檢驗是不可取的，善于比對、分析結(jié)論間關(guān)系才是研究的第一步．之前在“拋物線的焦點弦的眾多衍生性質(zhì)、結(jié)論的證明”學習中已然有了經(jīng)驗，為何在此卻全無分寸呢？只因科學的研究方法和手段還沒形成“自主意識”．

我們在做題過程中，很容易集中于一個一個地去判定結(jié)論是否正確，對于①，容易想到等價證明OB是∠MBN的角平分線，而且會判斷M、A、N三點共線是證明該結(jié)論必不可少的條件．于是對于①，同學有如下做法：

故OB是∠MBN的角平分線．

這樣歷經(jīng)千辛萬苦終于證明了①，但是無論①的證明過程，還是①這個結(jié)論本身，對后面②③的判斷都沒有本質(zhì)上的幫助．因為時間的關(guān)系，我們可能只能選擇取特殊情況，比如M、N關(guān)于y軸對稱時，對②③的正誤進行一個不保險的判斷．實際上，如果能認真比較①②③的區(qū)別，不難推測此題可能是要證明為定值．于是，就有了下面的思路，看似平淡無奇，實則效果很好．

故①②③皆正確．

（2）方法2：如圖2，過A點作OB的垂線交圓O于點C，D，連接OD．

圖2

故OD⊥BD．

在△ODB中，由射影定理知，AD2=AB·AO，①

又AD·AC=AN·AM，即AD2=AN·AM，②

故AB·AO=AN·AM，所以O(shè)，N，B，M四點共圓，

則∠AMO=∠ABN，易得△OMA～△NBA，

二、問題的推廣

推廣是數(shù)學研究的重要手段之一，數(shù)學知識的完備、數(shù)學本身的發(fā)展在很大程度上都依賴于推廣．通過該問題我們發(fā)現(xiàn)在圓的背景下對給定的兩定點A，B總有坐標軸平分該張角，那我們自然會思考A，B兩點坐標會滿足什么一般性規(guī)律呢？

結(jié)論如圖1，已知圓O：x2+y2=r2（r＞0），及點A（0，m），B（0，n）．過點A任作直線交圓O于M，N兩點，AB平分∠MBN的充要條件是mn=r2．

為節(jié)約篇幅，該結(jié)論和以下三個推廣的證明省略，感興趣的讀者可自行證明．

倘若在圓中有此結(jié)論，那在橢圓、雙曲線與拋物線中呢？因而有了以下三個推廣．

推廣3如圖5，已知拋物線C：x2=2py（p＞0），及點A（0，m），B（0，n）．過點A任作直線交拋物線C于M，N兩點，AB平分∠MBN的充要條件是m+n=0．

圖3

圖4

圖5

如2015年四川理科數(shù)學卷第20題，正是推廣1的應(yīng)用：

圖6

（1）求橢圓E的方程．

（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

又如2015年全國卷Ⅰ理科數(shù)學第20題，是推廣3的應(yīng)用：

（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由．

三、問題的溯源

阿氏圓的定義可用來求解圓的方程，還可以在證明題中運用其來通過圓上一個點與兩定點距離比例從而得知另外一個圓上的點與兩定點距離的比，還常常作為角度比值、共線向量的模長比值等問題的“題根”熠熠生輝．

如2013年江蘇省高考數(shù)學理科卷第17題：

如圖7，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

又如2014年湖北省高考數(shù)學文科卷第17題：

已知圓O：x2+y2=1和點A（-2，0），若定點B（b，0）（b≠-2）和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點M，都有|MB|=λ|MA|，則（1）b=________；（2）λ= __________．

這里我們得到的經(jīng)驗就是：研究問題要注重本身，凸顯關(guān)聯(lián)，強調(diào)實質(zhì)．解法上力爭突破常規(guī)，有所創(chuàng)新；推廣上盡力輻射出更多知識間聯(lián)系，以打通知識經(jīng)脈；源頭上緊抓問題的本質(zhì)屬性，加深對知識的理解，有助于知識網(wǎng)絡(luò)的重構(gòu)與優(yōu)化．正如傅種孫先生所說：“數(shù)學學習，一是知其然，二是知其所以然；三是知何由以知其所以然．”

圖7