淺析概念擴張在整數(shù)指數(shù)冪中的應用

李會思

【摘要】數(shù)學概念教學既是課堂教學的重要組成部分又是數(shù)學課堂教學的核心。概念擴張又在數(shù)學概念教學中極為常見，本文以概念擴張在整數(shù)指數(shù)冪中的應用為例進行探析。旨在使學生經(jīng)歷整數(shù)指數(shù)冪擴展的過程中，體會到一套新概念擴張的研究方法。

【關鍵詞】整數(shù)指數(shù)冪 數(shù)學思考 學生參與度

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）01-0240-02

整數(shù)指數(shù)冪是在正整數(shù)指數(shù)冪擴充到自然數(shù)指數(shù)冪后的又一次擴充，將指數(shù)的范圍擴大到整數(shù)。旨在使學生在經(jīng)歷整數(shù)指數(shù)冪擴展的過程中，體會到一套新概念擴張的研究方法。本節(jié)課是我們引導學生怎樣認識、探索數(shù)學世界的一個很好的切入點。在教學設計方面的要求在指數(shù)概念和運算性質(zhì)的擴充過程中，注重知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，注重學生的思維參與度。下面基于A、B老師在授課中兩個重要環(huán)節(jié)進行闡述分析： 一、如何由a0=1類比得出a-p=1/ap（其中a≠0，p是正整數(shù)）

A老師提出同底數(shù)冪相除的性質(zhì)在m、n是正整數(shù)，且m

B老師提問同底數(shù)冪除法的運算性質(zhì)在m不大于n的情況下，還能否使用呢？計算a3÷a5。在a3÷a3 =a0=1（a≠0）提供了方法上參考的前提下，蘊含類比的思想方法，由同底數(shù)冪除法法則可得a3÷a5=a3-5=a-2，由分式的基本性質(zhì)，約分可得a3÷a5=1/a2（a≠0），即a-2=1/a2（a≠0）。接著B老師為暗示學生思考數(shù)學問題采取從特殊到一般的思想并提出：為了讓同底數(shù)冪除法的運算性質(zhì)能夠適用于m

二、正整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)的擴展

A老師首先回顧正整數(shù)指數(shù)冪中同底數(shù)冪乘法、冪的乘方及積的乘方的運算性質(zhì)。然后提出問題：現(xiàn)在我們已經(jīng)把指數(shù)擴展到全體整數(shù)，那么正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對整數(shù)指數(shù)冪是否仍然成立呢？指數(shù)冪概念的擴展并不能直接帶來冪運算法則的擴展，相反新的概念對原有的法則是否適用，是否帶來矛盾，是需要認真對待的，在這里A老師仍采取從特殊到一般的思想，進行舉例驗算，A老師分析到學生的困難在于：一是不理解為什么對指數(shù)m、n取值要求及取值的多樣性。二是不知道檢驗的方法。為化解難點，先由A老師板演一個具體的驗算過程和方法，然后給了學生自由發(fā)揮的空間，以小組合作的方式，設置了一個自己舉例驗算的小環(huán)節(jié)。A老師規(guī)定了哪個小組檢驗哪條運算性質(zhì)。這樣既節(jié)省了時間又能讓學生在舉例驗算的過程中感受法則推廣的推導過程，再次感受負整數(shù)指數(shù)冪規(guī)定的合理性。最后是學生示例環(huán)節(jié)，可以使學生通過比較，體會數(shù)據(jù)選取的多樣性及分類討論的數(shù)學思想，最后A老師提示學生：檢驗不是嚴格的證明，慎重對待數(shù)學要有嚴謹?shù)膽B(tài)度。

B老師用活動的方式檢驗性質(zhì)，他先讓同學們看一下其它幾條性質(zhì)的限定條件中“正”字可以去掉嗎？然后選擇同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)進行驗證。其活動要求：1.類比同底數(shù)冪除法的研究過程，寫出幾個同底數(shù)冪乘法的算式，要注意指數(shù)的多樣性。2.先獨立思考，再小組合作，結合算式驗證。B老師類比同底數(shù)冪除法運算性質(zhì)的推廣，對同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)進行探究。學生根據(jù)活動要求，通過獨立思考、合作交流、匯報展示的方式，經(jīng)歷尋找研究素材、推理歸納的過程，進而驗證了性質(zhì)的正確性。對于其他幾條性質(zhì)，由于探究的方法十分相近，B老師說明其正確性，并沒有讓學生逐一推導，采用課后思考完成。這樣設計既節(jié)省時間又提高了課堂的效率，同時也留白給學生，擴大了學生思考的空間。

在數(shù)學概念教學中新概念擴張極為常見，整數(shù)指數(shù)冪的教學讓我們積累了一套新概念擴張的研究方法。學生由問題的引領一步一步的思考，掌握了由特殊到一般的數(shù)學思想，提升了學生的思維參與度。為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，必須讓學生有實質(zhì)性的數(shù)學思考。

參考文獻：

[1]張建躍.數(shù)學課堂教學設計研究[J]數(shù)學通報，2006

[2]郝利華.猜想在初中數(shù)學教學中的應用[J]學術研究，2013