三線相融：深度研讀教材的幾種方式

范艷華

摘要：教材是教學(xué)的主要資源，是教與學(xué)的重要憑借。對(duì)教材的研讀不能僅局限于教材文本，而要站在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的高度，從教材的編寫(xiě)視角、學(xué)生的學(xué)習(xí)思維視角以及教師的導(dǎo)學(xué)視角，做到“三線相融”。以此為基礎(chǔ)，才能深入鉆研教法與策略，尋找教材、教者與學(xué)生之間的 “融合點(diǎn)”，把學(xué)生真正帶到知識(shí)和思維的更高之處。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；教材研讀；三線相融

中圖分類(lèi)號(hào)：G42 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2016）12A-0039-04

一個(gè)教師的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)水平，其首要的衡量標(biāo)準(zhǔn)是教師的“教材把握力”，這項(xiàng)能力的高低則取決于教師對(duì)教材研讀的深度和廣度。筆者在平時(shí)聽(tīng)課及與教師的課后交流中，發(fā)現(xiàn)很多教師不知教材應(yīng)該如何研讀——備課時(shí)，常常只是看一下教材上的課時(shí)內(nèi)容，然后找一些有關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)的參考資料，截取一些“成功做法”，拼拼湊湊就成了一節(jié)課的教學(xué)預(yù)案；課中，對(duì)于生成性問(wèn)題，常常感到措手不及；課后，問(wèn)及本課內(nèi)容的一些核心概念、知識(shí)結(jié)構(gòu)體系以及某個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)背后的設(shè)計(jì)意圖之類(lèi)問(wèn)題，常常也是無(wú)從答來(lái)。有鑒于此，提高教材研讀能力是當(dāng)下廣大一線教師的一個(gè)重要課題。教師在課前可以從編者、學(xué)生、教師三個(gè)視角，對(duì)教材進(jìn)行“三線相融”式的研讀。在此基礎(chǔ)上，對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行合理定位，對(duì)教學(xué)素材做出選擇，設(shè)計(jì)有效的教學(xué)方案，引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、編者視角，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)之線

小學(xué)數(shù)學(xué)每一課時(shí)的知識(shí)內(nèi)容，都不是一個(gè)獨(dú)立的存在，而是處在所屬的一個(gè)整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，各知識(shí)版塊之間有著相互關(guān)聯(lián)、逐步深入的內(nèi)在聯(lián)系。在對(duì)每一課時(shí)內(nèi)容進(jìn)行研讀時(shí)，首先要從整體上把握教材的編排結(jié)構(gòu)，厘清這一課時(shí)內(nèi)容在所屬知識(shí)體系中所處的地位，了解知識(shí)發(fā)生的過(guò)程、產(chǎn)生的背景及其背后蘊(yùn)含的思想方法，進(jìn)而把握知識(shí)內(nèi)容的生長(zhǎng)主線。這樣，才能在預(yù)設(shè)教學(xué)時(shí)知道從哪里開(kāi)始，又可以延伸至哪個(gè)層面。以蘇教版六年級(jí)上冊(cè)《整數(shù)除以分?jǐn)?shù)》這一課時(shí)內(nèi)容的研讀為例。

1.教材的編排脈絡(luò)

對(duì)于教材的編排脈絡(luò)，主要厘清相關(guān)知識(shí)在本套教材中的分布和各部分之間的關(guān)系，以及各部分知識(shí)在教學(xué)時(shí)需要達(dá)成的教學(xué)要求。

教材在安排這部分內(nèi)容時(shí)，注意遵循由易到難、循序漸進(jìn)的原則。編排分兩塊：一是計(jì)算法則的教學(xué)，順序?yàn)榉謹(jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)；二是實(shí)際問(wèn)題，順序?yàn)榉謹(jǐn)?shù)除法應(yīng)用題、兩步計(jì)算、分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算。

先教學(xué)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，再教學(xué)一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)。在教學(xué)一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)時(shí)，又是先教學(xué)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，再教學(xué)分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，安排了兩道習(xí)題，例題2是整數(shù)除以幾分之一，例題3是整數(shù)除以幾分之幾。這樣安排，能使學(xué)生在不斷探索新知的過(guò)程中逐步完善對(duì)分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法的理解，通過(guò)自主的活動(dòng)歸納并總結(jié)出分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法。

2.知識(shí)的生長(zhǎng)脈絡(luò)

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，從例題 ÷2，分子能被除數(shù)整除，到“試一試” ÷3，分子不能被除數(shù)整除，初步得出除以一個(gè)整數(shù)，就是求這個(gè)整數(shù)的幾分之一是多少，只要用分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。在此基礎(chǔ)上，再自然生長(zhǎng)到整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，由整數(shù)除以幾分之一到整數(shù)除以幾分之幾，通過(guò)畫(huà)圖直觀的過(guò)程，得出整數(shù)除以分?jǐn)?shù)也等于乘除數(shù)的倒數(shù)。由這兩方面的基礎(chǔ)，自然提升到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，最后得出一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的統(tǒng)一的計(jì)算方法：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

3.不同版本的對(duì)比與啟發(fā)

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，人教版、蘇教版、北師版三個(gè)版本的教材都是通過(guò)圖形直觀的方式，讓學(xué)生理解算理得出算法。學(xué)生也比較容易基于圖形直觀及整數(shù)除法的意義理解。在直觀的基礎(chǔ)上，逐漸將學(xué)生的思維由除法轉(zhuǎn)向乘法。特別是北師大版，在教學(xué)了 ÷2之后，有意安排了 ÷3；因?yàn)榍罢呖梢詮恼麛?shù)除法的意義的角度，用分子先除以2，后者則不同，分子4不能被3整除，由此可讓學(xué)生感知前者的局限性，自然就將學(xué)生的思維引向乘法。對(duì)于接下來(lái)的整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，三種版本的教材盡管依然采取直觀的形式，但是顯然已采用半抽象的線段或者直條模型，北師版教材則利用長(zhǎng)方形的寬一定，長(zhǎng)與面積的變化關(guān)系，讓學(xué)生理解算理，進(jìn)而得出算法。

通過(guò)比較研讀三種版本的教材，可以看出，分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)，因?yàn)橄鄬?duì)整數(shù)除法抽象許多，因此在教學(xué)時(shí)先讓學(xué)生經(jīng)歷直觀的操作活動(dòng)或者圖形的觀察，從整數(shù)除法的角度將之自然生長(zhǎng)過(guò)來(lái)。在此基礎(chǔ)上，再逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)想和推理，最后通過(guò)比較歸納，得出分?jǐn)?shù)除法的通用法則。

二、學(xué)生視角，探尋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維之線

對(duì)教材的深度研讀，除了從“編者”“排”的視角解讀，更需要從學(xué)生“學(xué)”的視角深入地把握教材，探尋學(xué)生學(xué)習(xí)這一知識(shí)內(nèi)容時(shí)的思維之線。教師從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度研讀教材，可以從以下幾個(gè)問(wèn)題思考：

1.學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)

對(duì)一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的確定尤為重要。學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？認(rèn)知水平如何？通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)學(xué)生能在哪些方面獲得發(fā)展？學(xué)生有沒(méi)有和本節(jié)知識(shí)相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)？

以蘇教版四年級(jí)上冊(cè)“角的度量”為例。本節(jié)內(nèi)容中學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是對(duì)于角的概念的認(rèn)識(shí)，知道角的大小指的是角的兩邊叉開(kāi)的大小。學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是會(huì)畫(huà)出一個(gè)角，會(huì)用重疊的方法比較兩個(gè)角的大小，會(huì)用直尺度量線段的長(zhǎng)度。學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)是“如何來(lái)度量?jī)蛇叢骈_(kāi)的大小”。因此，教材一開(kāi)始先讓學(xué)生用熟悉的數(shù)學(xué)工具三角板上的角進(jìn)行度量，能比出這個(gè)角和三角板上的角的大小關(guān)系，但是不能知道這個(gè)角到底有多大，由此引出角的度量工具量角器。

對(duì)于如何度量一個(gè)角的大小，學(xué)生基于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)像教材上那樣用三角板上的角比劃著量，還會(huì)用直尺去試著量?jī)蛇呏g的距離。因此教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中，需要讓學(xué)生由這一經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)出發(fā)，自然過(guò)渡到用量角器量角。

2.學(xué)生的認(rèn)知轉(zhuǎn)折點(diǎn)

學(xué)生在學(xué)習(xí)本知識(shí)內(nèi)容時(shí)新舊轉(zhuǎn)折處在哪里？通過(guò)什么方式讓學(xué)生自然將新知納入到已有的認(rèn)知系統(tǒng)，進(jìn)行同化？

還是以“角的度量”為例?！敖堑亩攘俊笔菍W(xué)生在第二學(xué)段學(xué)習(xí)“角的認(rèn)識(shí)”中的一個(gè)重要內(nèi)容，是區(qū)別于長(zhǎng)度、面積、重量等另一個(gè)維度的測(cè)量知識(shí)內(nèi)容。學(xué)生的認(rèn)知轉(zhuǎn)折點(diǎn)在于：原來(lái)對(duì)于線段的長(zhǎng)度的度量只要用直尺順著線段起點(diǎn)到終點(diǎn)直線方向測(cè)量即可。然而角的度量工具不再是直的，而是一個(gè)半圓形的工具，度量的方法除了關(guān)注點(diǎn)還要關(guān)注線，即所謂的“二合一看”，學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“由直向曲”的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。因此，在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)首先要讓學(xué)生仔細(xì)觀察、了解量角器的構(gòu)造特點(diǎn)，特別是量角器上與0刻度線所構(gòu)成的角的度數(shù)在刻度圈上是內(nèi)圈還是外圈，讓學(xué)生學(xué)會(huì)正確地使用量角器，這是準(zhǔn)確量角的關(guān)鍵所在。

3.學(xué)生認(rèn)知的困難點(diǎn)

本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容對(duì)學(xué)生而言學(xué)習(xí)難點(diǎn)在哪里？用什么方法可以幫助學(xué)生突破難點(diǎn)？“角的度量”這一課內(nèi)容中，學(xué)生的認(rèn)知困難點(diǎn)是在量角的時(shí)候如何區(qū)分內(nèi)外圈的刻度。因?yàn)楫?dāng)學(xué)生在經(jīng)歷量角“二合一看”的“看”的環(huán)節(jié)，學(xué)生看到角的另一邊所對(duì)的刻度有內(nèi)外兩圈，這時(shí)如果學(xué)生不理解量角器構(gòu)造的實(shí)質(zhì)，往往會(huì)在兩個(gè)刻度中隨便選一個(gè)。

為了突破這一個(gè)難點(diǎn)，各版本的教材都有所設(shè)計(jì)。如北師大版和人教版教材，在引進(jìn)量角器之前，都設(shè)計(jì)了1 角的認(rèn)識(shí)，即將圓平均分成360份，其中1份所對(duì)的角的大小叫做1 ，然后在1 角的基礎(chǔ)上讓學(xué)生找出30 、50 、60 、90 、120 、180 ……。

這樣的設(shè)計(jì)，主要是讓學(xué)生在觀察找出由1 角的累計(jì)成角的過(guò)程中動(dòng)態(tài)地感知角的大小變化過(guò)程，從而便于學(xué)生在量角器上也能準(zhǔn)確地找到不同度數(shù)的角。另外，無(wú)論是人教版、北師版還是蘇教版教材，在引進(jìn)量角器、認(rèn)識(shí)量角器的環(huán)節(jié)，都設(shè)有“在量角器上找出指定度數(shù)角”的練習(xí)，為學(xué)生實(shí)際量角時(shí)候的“二合一看”做好準(zhǔn)備。

三、教師視角，求索數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)之線

在理清了教材的知識(shí)生長(zhǎng)脈絡(luò)以及學(xué)生學(xué)習(xí)思維脈絡(luò)的基礎(chǔ)上，就需要在教材和學(xué)生之間架起一條教師“導(dǎo)”的主線，也就是如何讓學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)之上自然生長(zhǎng)新知，又如何在教師的引導(dǎo)之下順利突破認(rèn)知的困難點(diǎn)，進(jìn)而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到較好的發(fā)展。以蘇教版三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)正方形的面積計(jì)算”為例。

1.新舊知思維無(wú)痕對(duì)接

“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”是平面圖形的面積計(jì)算教學(xué)的起始課，是以后進(jìn)行平行四邊形、三角形、梯形及圓等平面圖形的面積計(jì)算方法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)?！伴L(zhǎng)方形的面積計(jì)算”是緊接著“面積的意義及面積單位”知識(shí)的學(xué)習(xí)編排的，因此學(xué)生學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的面積”的基礎(chǔ)是對(duì)面積意義的理解；而面積概念的出現(xiàn)是學(xué)生認(rèn)識(shí)事物從一維空間走向二維空間的開(kāi)始?；谶@樣的學(xué)情實(shí)際，從教者的角度，要讓學(xué)生新舊知的思維自然對(duì)接生長(zhǎng)。

教學(xué)的起點(diǎn)之處，教師可以引導(dǎo)學(xué)生的思維從一維向二維生長(zhǎng)。如可以先讓學(xué)生回憶如何測(cè)量一條線段的長(zhǎng)度，在此基礎(chǔ)上由線段動(dòng)態(tài)鋪出一個(gè)長(zhǎng)方形的平面，讓學(xué)生思考如何知道這個(gè)長(zhǎng)方形面積，進(jìn)而讓學(xué)生通過(guò)用面積單位測(cè)量出長(zhǎng)方形的面積，理解面積的大小就是看這個(gè)平面圖形中一共包含著幾個(gè)面積單位。

這樣不著痕跡的設(shè)計(jì)，能很好地將學(xué)生的思維自然地從一維的“長(zhǎng)度”領(lǐng)域引導(dǎo)到二維的“面積”領(lǐng)域，并且為后續(xù)長(zhǎng)方形面積推導(dǎo)中長(zhǎng)、寬的乘積與所擺單位面積的小正方形個(gè)數(shù)之間的聯(lián)系做了很好的思維孕伏。

2.學(xué)導(dǎo)主線貫穿思維始終

長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法探究中主線是幫助學(xué)生溝通一維長(zhǎng)度屬性與二維平面屬性間的聯(lián)系，體現(xiàn)化歸思想，擴(kuò)展學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的基本視點(diǎn)，培養(yǎng)空間觀念。如計(jì)算一個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形的面積。已知的信息是線段的長(zhǎng)度，而所求的問(wèn)題則是圖形的面積，于是，學(xué)生在思考時(shí)需要把新問(wèn)題作如下轉(zhuǎn)化：

長(zhǎng)4厘米，其實(shí)是說(shuō)明我們可以沿著長(zhǎng)邊擺這樣的4個(gè)面積單位（此時(shí)的面積單位為1平方厘米的正方形），根據(jù)寬3厘米，又可以得到“擺這樣的3行”這一信息。當(dāng)我們得到了4×3總共12個(gè)面積單位時(shí)，也就得出了這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是12平方厘米。

此時(shí)“化歸”的思維過(guò)程，更多指向于回歸面積本源，借助面積單位的特點(diǎn)，找到長(zhǎng)度屬性與面積屬性之間的聯(lián)接點(diǎn)和對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而解決新問(wèn)題。而如同這樣的化歸，在后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從一維長(zhǎng)度屬性、二維面積屬性擴(kuò)展到三維體積屬性的認(rèn)識(shí)時(shí)同樣適用。

基于以上分析，教學(xué)設(shè)計(jì)中可以貫穿這樣一條主線：用單位面積的小正方形去鋪滿這個(gè)長(zhǎng)方形，無(wú)論長(zhǎng)和寬是多少，每排個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)所包含的單位長(zhǎng)度個(gè)數(shù)，排數(shù)就是寬所包含的單位長(zhǎng)度的個(gè)數(shù)。

先讓學(xué)生用1平方厘米的小正方形擺一擺，量出長(zhǎng)方形的面積，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生通過(guò)操作活動(dòng)直觀體驗(yàn)一維與二維之間的關(guān)系。第二層次，讓學(xué)生通過(guò)想象感受兩者之間的關(guān)系，將剛才學(xué)生直觀測(cè)量的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬逐漸進(jìn)行延長(zhǎng)變化（課件上在變化后的長(zhǎng)邊和寬邊上分別配上直尺，然后再動(dòng)態(tài)鋪出相應(yīng)的單位面積的小正方形），讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化中感知、想象此時(shí)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與面積之間的關(guān)系，最終通過(guò)長(zhǎng)方形變化到撐滿屏幕，甚至想象延伸到屏幕以外了。此時(shí)，學(xué)生自然產(chǎn)生不再需要借助單位面積的小正方形去度量了，而要總結(jié)出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式這一學(xué)習(xí)心理需求，此時(shí)教學(xué)面積計(jì)算公式也水到渠成了。

3.認(rèn)知沖突引向思維深處

對(duì)于教材的研讀，除了要從知識(shí)內(nèi)容的本身展開(kāi)，還需要深入到學(xué)生思維的深處，即要利用教材中的可延伸之處，激發(fā)學(xué)生的思維沖突，將學(xué)生的思維引導(dǎo)到更深之處。

在教學(xué)“長(zhǎng)正方形的面積計(jì)算”時(shí)，當(dāng)學(xué)生推導(dǎo)得出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式之后，應(yīng)用公式求長(zhǎng)正方形的面積，對(duì)于學(xué)生而言，并沒(méi)有思維的障礙和沖突，但在后繼的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于一維變化和二維變化之間的關(guān)系，還不是很明了。比如，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都擴(kuò)大3倍，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積隨之應(yīng)該是擴(kuò)大3 倍，但學(xué)生往往會(huì)認(rèn)識(shí)是和長(zhǎng)度倍數(shù)一樣，面積也應(yīng)該擴(kuò)大3倍。

對(duì)此，在進(jìn)行教材基本練習(xí)的基礎(chǔ)上，教師可以增設(shè)一個(gè)變式題。先讓學(xué)生畫(huà)一個(gè)面積是18平方厘米的長(zhǎng)方形，然后讓學(xué)生憑著直覺(jué)推理思考：如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都乘以2，那么變化后的長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？許多學(xué)生會(huì)脫口而出：“36平方厘米”。此時(shí)，就是一個(gè)很好的思維沖突處。教師可以讓學(xué)生在方格紙上先畫(huà)一畫(huà)，再觀察、計(jì)算變化后長(zhǎng)方形的面積。這樣，學(xué)生從一開(kāi)始對(duì)于一維變化與二維變化之間的直覺(jué)淺層的判斷，經(jīng)過(guò)直觀操作與仔細(xì)思考，已經(jīng)能清楚地理解之間的變化關(guān)系了。經(jīng)過(guò)這樣對(duì)教材的深度開(kāi)發(fā)與補(bǔ)充設(shè)計(jì)，學(xué)生對(duì)于本節(jié)課的知識(shí)主線與思維主線就會(huì)理解得比較透徹了。

教材是教學(xué)的主要資源，是教與學(xué)的重要憑借。對(duì)教材的研讀不能僅僅局限于教材文本，而要站在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的高度，從教材的編者視角、學(xué)生學(xué)習(xí)思維的視角以及教師導(dǎo)學(xué)的視角，做到“三線相融”。 以此為基礎(chǔ)，才能深入鉆研教法與教學(xué)策略，尋找教材、教者與學(xué)生之間的 “融合點(diǎn)” ，把學(xué)生真正帶到知識(shí)和思維的更高之處。

責(zé)任編輯：丁偉紅

Deep Interpretation of Teaching Materials from Different Angles

FAN Yan-hua

（Xishan District Bureau of Education， Wuxi 214101， China）

Abstract： Teaching materials are the major resources of instruction and also the dependence of teaching and learning. Therefore， we should not confine the interpreting of teaching material to texts， but we should start from the essence of mathematics to analyze and interpret the teaching materials from the angles of compilation， students thinking and teachers guidance. On the basis， we can deeply research into teaching methods and strategies， and discover the integrating point of teaching materials， teachers and students， so that students could be led to the higher spot of knowledge and thinking.

Key words： primary mathematics； teaching material interpretation； three-thread integration