變“封閉”為“開放”，讓探究更精彩

浙江省紹興市柯橋區(qū)財(cái)經(jīng)學(xué)校 (312000) 韓紅芳

變“封閉”為“開放”，讓探究更精彩

浙江省紹興市柯橋區(qū)財(cái)經(jīng)學(xué)校 (312000) 韓紅芳

1．問題的提出

近日，筆者擔(dān)任了學(xué)校高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中試卷的命題工作.其中，填空題的最后一題系一個(gè)高考題的第(Ⅰ)問改變而成.原題是呈現(xiàn)了結(jié)論的一個(gè)“封閉”題，現(xiàn)設(shè)計(jì)成一個(gè)“開放”型填空題.從閱卷反饋看，學(xué)生的得分很不理想.以筆者所任教的兩個(gè)班(共103人)為例，只有4個(gè)學(xué)生給出了正確答案是①④，其余學(xué)生的答案幾乎都是①②.面對(duì)這個(gè)略顯意外的結(jié)果，筆者決定利用試卷講評(píng)的機(jī)會(huì)，花一堂課時(shí)間，和學(xué)生做一番探究.

(Ⅰ)當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，證明x

2．探究實(shí)錄

課堂上，教師先不告訴學(xué)生正確的答案，而是請(qǐng)選①②的一位學(xué)生來講講自己的解法.

圖1

生1：采用數(shù)形結(jié)合的方法.具體是：方程f(x)=x有兩根，可轉(zhuǎn)化為拋物線y=f(x)與直線y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖1所示.從圖形中很容易看出：當(dāng)0x且f(x)>f(x1)=x1，故選①②.

話音一落，不少學(xué)生都附和著說：是這樣啊，“秒殺”！見狀，教師仍不動(dòng)聲色，只是就學(xué)生能運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，表示認(rèn)同與贊賞.接著，

請(qǐng)選①④的一位學(xué)生來談?wù)勛约旱慕夥?

生2：一開始，我也是這樣想的，但發(fā)現(xiàn)有個(gè)問題：

轉(zhuǎn)而想到解填空題的一個(gè)好方法，即用特殊值法來求.

師：很好，面對(duì)這兩個(gè)不同的解法結(jié)果，大家怎么看？

經(jīng)討論，學(xué)生達(dá)成下列一致意見：首先，結(jié)論①肯定是對(duì)的，因?yàn)闊o論直線與拋物線如何相交，在x∈(0,x1)上，拋物線必在直線的上方.其次，借特殊函數(shù)檢驗(yàn)可知結(jié)論②一定錯(cuò)誤，即圖1是錯(cuò)誤的.第三，用特殊函數(shù)檢驗(yàn)也不能保證結(jié)論④一定正確，還需給出一般的推理論證.現(xiàn)先給出結(jié)論④的證明.

接下來，學(xué)生感興趣的是：如何正確畫出拋物線與直線的位置圖形？

圖2

由結(jié)論f(x)

據(jù)此，學(xué)生又提出值得證明的兩個(gè)代數(shù)結(jié)論：

最后，師生共同歸納：上述填空題的本意是突出考查代數(shù)推理與運(yùn)算能力，編制時(shí)基本“堵死”了“借圖說話”這條路，即正確圖形的得到完全依賴于“以數(shù)助形”.因此，在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，我們要重視幾何直觀，但也不能過分依賴直觀，要把形的直觀和數(shù)的精密結(jié)合起來，才能更深刻、更有效地解決問題.

3．反思

基于上述探究，給我們的啟發(fā)是：

3.1 變“封閉”為“開放”，讓探究更精彩

探究學(xué)習(xí)能否富有成效地開展，一個(gè)很重要的原因是選取適宜的探究問題.而將“封閉題”改為“開放題”，就是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.理由是：面對(duì)“封閉題”，學(xué)生的狀態(tài)是“要么會(huì)要么不會(huì)”；而面對(duì)“開放題”，學(xué)生的想法就多了，哪怕這些想法不夠成熟、甚至是錯(cuò)誤的都不重要，重要的是學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)變得更主動(dòng)、更有趣味，從中提出值得研究和感興趣的問題也變成可能.總之，將“封閉題”改變?yōu)椤伴_放題”，是引導(dǎo)學(xué)生展開探究性學(xué)習(xí)的一個(gè)有效舉措，值得我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中不斷嘗試、探索與完善.

3.2 讓課堂“慢下來”，讓講評(píng)更高效

在高三的復(fù)習(xí)課，特別是試卷講評(píng)課上，很多教師都會(huì)采用分析解題思路、講解解答過程的“教師一言堂”授課模式.這樣的課堂容量大、節(jié)奏快，看似效率挺高，但實(shí)際上學(xué)生更多的只是走馬觀花、疲于應(yīng)付、淺嘗輒止，效果可想而知.日本教育學(xué)者佐藤學(xué)說過，教育往往要在緩慢的過程中才能沉淀下一些有用的東西.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該讓課堂“慢下來”，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，留給學(xué)生足夠的時(shí)間去探究、交流、反思、體悟.唯有如此，學(xué)生方能將教師的“外力”真正轉(zhuǎn)化為自己的“內(nèi)功”，不再發(fā)出“老師講的都能聽懂，自己做題還是不會(huì)”的感嘆.

3.3 代數(shù)推理能力應(yīng)常抓不懈

從填空題測試結(jié)果看，學(xué)生的確存在一個(gè)“軟肋”：運(yùn)算與推理能力較薄弱.原因是：在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)教學(xué)并沒有按照數(shù)學(xué)的公理化結(jié)構(gòu)組織教學(xué)內(nèi)容，部分定理作為公理使用(教學(xué)公理)，一些結(jié)論(包括定理、公式等)由圖形直覺或通過歸納方式就直接確認(rèn)了.這種處理方式在降低學(xué)習(xí)難度方面確實(shí)非常必要，卻也使學(xué)生忽略、無視甚至誤解了數(shù)學(xué)推理特征和數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求.同時(shí)，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也大大降低了數(shù)式運(yùn)算的要求，使得學(xué)生的代數(shù)式運(yùn)算能力較低，面對(duì)稍稍繁難的運(yùn)算，有較大的抵觸與畏難情緒.所有這一切表明，高中數(shù)學(xué)一定要特別重視與加強(qiáng)運(yùn)算與推理能力的培養(yǎng)，就學(xué)生而言，一定要讓他們明白：學(xué)會(huì)運(yùn)算和推理是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩大基本任務(wù)，也是今后高考取得好成績的保證.