立體幾何復習要點例析*

●孫軍波 閆大貴 (溫嶺中學 浙江溫嶺 317500)

立體幾何復習要點例析*

●孫軍波 閆大貴 (溫嶺中學 浙江溫嶺 317500)

文章根據(jù)《2017年浙江高考考試說明(數(shù)學)》的知識要求和能力要求，結合近幾年的浙江省數(shù)學高考命題，重點研究了“立體幾何與空間向量”，歸納分析了一些經典問題：線面角、動態(tài)軌跡和翻折等問題，并整合一些經典試題供讀者參考.

線面角；動態(tài)軌跡；翻折

1 知識內容

根據(jù)《2017年浙江高考考試說明(數(shù)學)》，立體幾何的主要內容分以下幾類：一是掌握三視圖所表示的空間幾何體，會計算柱、錐、臺、球的表面積和體積，從宏觀上了解幾何體；二是理解空間點、線、面位置關系的定義，掌握可以作為推理依據(jù)的公理和定理，對幾何體的位置關系進行論證；三是理解直線與平面所成角的概念，了解空間角的向量求法，對幾何體的數(shù)量關系進行求解.

2 命題分析

縱觀近幾年的浙江省數(shù)學高考試卷，立體幾何一直圍繞考查學生的空間想象能力，要求學生能根據(jù)空間幾何體的圖形或幾何形體的描述想象出相應空間形體(以三視圖問題考查為主)，同時考查學生對幾何形體進行分析、提取、概括來揭示其本質特征的能力，考查靈活運用幾何形體的特性進行論證與求解的能力(以平行與垂直關系的判定和求空間角的問題為主)，往往還會涉及翻折等一些綜合問題，考查學生的空間想象能力、邏輯思維推理的嚴密性和運算能力.

圖1

3 典題剖析

考點1 線面角

例1 如圖1，已知三棱錐D-ABC，記二面角C-AB-D的平面角是θ，直線DA與平面ABC所成角是θ1，直線DA與BC所成的角是θ2，則

A.θ≥θ1B.θ≤θ1C.θ≥θ2D.θ≤θ2

(2016年浙江省高中數(shù)學統(tǒng)測試題第9題)

分析 答案選A.本題可以用特殊值等多種方法解決.透過本題注意到線面角用直線和射影所成角來定義的合理性.根據(jù)最小角定理，斜線和它在平面內的射影所成角是這條斜線和這個平面內的任一條直線所成角中最小的角，它揭示了定義的合理性，考查了學生對概念的理解程度.二面角定義的合理性(唯一性)也是考查學生數(shù)學素養(yǎng)的有效途徑.這樣的考查在近幾年的學考、高考試題中已多次出現(xiàn).

圖2

例2 如圖2，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值______(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).

(2014年浙江省數(shù)學高考理科試題第17題)

評注 雖然最小角定理不要求掌握，但是對于核心概念定義的合理性仍是值得探討的一個問題，很好地考查了學生的數(shù)學素養(yǎng).

圖3

考點2 動態(tài)軌跡

例3 如圖3，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是

( )

A.直線 B.拋物線

C.橢圓 D.雙曲線的一支

(2015年浙江省數(shù)學高考文科試題第7題)

分析 立體幾何動態(tài)軌跡問題的考查也是學生數(shù)學素養(yǎng)的考查(2008年浙江省數(shù)學高考理科試題第10題就是這樣的題型)，這也是對圓錐曲線定義的深層次挖掘.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線，用純幾何方法將圓錐曲線的性質網羅殆盡.雖然課本是朝著解析法的方向發(fā)展，即通過坐標系得到圓錐曲線的方程，再用方程研究幾何性質，以期達到抽象化的目標，不過阿波羅尼奧斯的想法仍然值得學習.學生可以觀察如圖4所示的4個圖形，它們分別所對的曲線是圓、橢圓、雙曲線和拋物線.

圖4

圖5

例4 如圖5，AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足.若點C在平面α內運動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點C的軌跡為

( )

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線 D.拋物線

分析 首先應關注∠CAB是個定角，由此確定點C在以AB為旋轉軸的圓錐表面上;再考慮平面α和直線AB所成角等于∠CAB，以此確定平面平行于某條母線;最后確定其軌跡是拋物線.

評注 動態(tài)軌跡問題既考查了幾何條件下的動點軌跡，又考查了基本幾何體，是很好的命題點.

考點3 翻折問題

例5 如圖6，在邊長為1的正△ABC的邊AB，AC上分別取點D，E，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，則AD長度的最小值為______.

(2008年浙江省高中數(shù)學競賽試題第12題)

圖6 圖7

分析 折疊問題是立體幾何中常見的問題，關鍵應抓住折疊前后的變量與不變量(角度、長度等)，然后根據(jù)相似三角形等構建等式求解，例如：

從而

解法2 如圖7，點A,A′落在以D為圓心的圓上，當AD最短時圓與BC相切，從而

得

圖8

分析 用向量來判斷位置關系，運算量略為繁瑣.在翻折問題中可以嘗試抓住折疊中的運動量即二面角，不難發(fā)現(xiàn)隨著二面角的變化，幾何體隨之發(fā)生改變.若翻折的角度確定，則幾何體就確定.抓住翻折過程中的二面角就抓住了折疊的變化幅度.為敘述方便，如圖9，不妨稱直線BD為折痕線，稱垂直于BD的直線AO為垂痕線.不難發(fā)現(xiàn)如下一些結論:

圖9 圖10

1)在翻折過程中，點A的軌跡是一個以O為圓心的圓;

2)在翻折過程中，點A在平面ABCD的射影都在直線AO上;

3)在翻折過程中，∠AOA′即為二面角A-BD-A′的平面角.

評注 解決翻折問題的核心在于抓住哪些是變量、哪些是不變量.在研究翻折問題中的軌跡、最值等一些問題，往往可以通過抓住“垂痕線”這個線索來解決.

考點4 三視圖問題

例7 某幾何體的三視圖如圖11所示,則此幾何體的體積為

( )

圖11

(2016年北京市數(shù)學高考理科試題第6題)

圖12

分析 理解三視圖與直觀圖的聯(lián)系，并由三視圖還原出簡單幾何體，是立體幾何的基本要求，是高考的?？純?容，難點在于如何還原為空間幾何體.在遇到復雜的幾何體時，不妨考慮把它置于一個長方體中(如圖12所示)，則更容易想象.該考點若出現(xiàn)在填空題的一題兩空題型時，還應同時關注求表面積的相關問題.

考點5 證明和計算問題

1)求證：PD⊥平面PAB.

2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

(2016年北京市數(shù)學高考理科試題第17題)

圖13 圖14

分析 1)由面面垂直性質定理知AB⊥平面PAD，根據(jù)線面垂直性質定理可知AB⊥PD，再由線面垂直判定定理可知PD⊥平面PAB.

評注 空間垂直與平行的證明是考查學生邏輯推理的絕佳題型.引進空間向量后，如果空間幾何體確定，特別是線面垂直關系明確后，無論證明或求解空間角，都可以轉化為向量的運算.因此,在一般情況下，證明環(huán)節(jié)往往側重邏輯推理，求解空間角時可以嘗試多種方法求解.《2017年浙江高考考試說明(數(shù)學)》對空間向量的要求降低了一些，在選擇題和填空題中出現(xiàn)的可能性減小，向量回歸于工具角色的可能性較大.

圖15

4 精題集萃

1.如圖15，AB是平面的一條斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動使得∠ABP=60°，則動點P的軌跡不可能是

( )

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線的一支 D.拋物線

2.如圖16，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，線段AD，BD的中點分別為E，F(xiàn).現(xiàn)將△ABD沿對角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是

( )

圖16

圖17

3.如圖17，已知△ABC，CD為∠ACB的角平分線，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為θ，則

( )

A.∠A′DB≤θ,∠A′CB≤θ

B.∠A′DB≤θ,∠A′CB≥θ

C.∠A′DB≥θ,∠A′CB≤θ

D.∠A′DB≥θ,∠A′CB≥θ

4.如圖18，已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E在線段AD上，且AE=1，F(xiàn)為線段BC上一動點，現(xiàn)沿EF將四邊形AEFB折成四邊形A′EFB′，使得平面A′EFB′⊥平面CDEF.若點B′在面CDEF上的射影為H，則點H軌跡的長度為______.

圖18

5.某幾何體的三視圖如圖19所示，其中側視圖和俯視圖都是邊長為2的正方形，則該幾何體的體積為______，表面積為______.

圖19

6.已知點P,Q分別為正四面體A-BCD棱AB,BC上的動點(不包括端點)，則直線PQ與底面BCD所成線面角正弦值的最大值為______.

7.如圖20，正四面體A-BCD的棱CD在平面α上，E為棱BC的中點.當正四面體A-BCD繞CD旋轉時，直線AE與平面α所成最大角的正弦值為______.

圖20 圖21

8.如圖21，已知在正三棱柱ABCD-A1B1C1中(底面是正三角形,側棱垂直于底面)，AA1=AB，D為線段AC上的動點(包括端點).

1)若AB1∥平面BDC1，試確定點D的位置；

2)求直線AB1與平面BDC1所成角的正弦值的取值范圍.

圖22

1)求證:PO⊥平面ABCD；

2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.

圖23

10.如圖23，已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE=1，BF=3.沿EF將四邊形AEFB折成四邊形A′EFB′，使點B′在平面CDEF上的射影H在直線DE上.

1)求證:A′D∥平面B′FC;

2)求直線B′H與平面A′ED所成角的大小.

參 考 答 案

1.A 2.C 3.C

8.解 1)聯(lián)結B1C，交BC1于點E，聯(lián)結DE，則平面BDC1∩平面AB1C=DE.因為AB1∥平面BDC1，所以AB1∥DE.又E是B1C的中點，故D是AC的中點.

圖24

2)取AC的中點O,建立如圖24所示的空間直角坐標系.不妨設AA1=AB=2，D(x,0,0),其中-1≤x≤1,則

從而平面BDC1的法向量為

9.1)證明 由題意，在菱形ABCD中，BD⊥AC，因為平面PAC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，從而BD⊥PO.

PO2+AO2=4=PA2，

于是

AO⊥PO.

又因為BD∩AO=O，所以PO⊥平面ABCD.

圖25

于是

10.1)證明 因為翻折后A′E∥B′F，且A′E?平面B′FC，而B′F?平面B′FC，所以A′E∥平面B′FC.同理可得DE∥平面B′FC,從而平面A′DE∥平面B′FC，于是A′D∥平面B′FC.

圖26 圖27

如圖27，作HN⊥CF于點N，因為B′H⊥CF，所以CF⊥平面B′HN，從而平面CFB′⊥平面B′HN，于是點H在平面CFB′上的射影在B′N上，故∠NB′H即為所求角.在Rt△B′NH中，B′H=HN=2，從而∠NB′H=45°，即直線B′H與平面A′ED所成角為45°.

??2017-01-02；

2017-01-28

2016年浙江省臺州市教科研課題

孫軍波(1982-)，男，浙江溫嶺人，中學高級教師，教育碩士研究生.研究方向：數(shù)學教育.

O123.2

A

1003-6407(2017)03-35-05