走向深度融合：一道橢圓試題的探析與拓展

江蘇省海門中學 (226100) 渠懷蓮

(1)求橢圓C的方程；

(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得DQ為定值．

分析：(1)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.(2)設(shè)出點M，N的坐標，在斜率存在時設(shè)方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，設(shè)而不求，根據(jù)已知條件，已得到m，k的關(guān)系，進而得直線MN恒過定點，在直線斜率不存在時要單獨驗證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點Q的位置.

圖1

圖2

試題探析：如何探索問題的突破口，其核心是挖掘出直線MN經(jīng)過定點.本題考查橢圓的標準方程和性質(zhì)，圓錐曲線中與斜率之和、積有關(guān)的定點定值問題，關(guān)鍵是第二問中證明直線MN經(jīng)過定點，并求得定點的坐標，屬綜合題，難度較大.根據(jù)已知條件，找到m，k的關(guān)系，事實上，這一步相當關(guān)鍵，也不容易化簡到，主要是化簡的方向要明確，采用了選主元的方法或雙十字相乘法分解因式，選取k為主元，先對常數(shù)項中m十字相乘法，再對k十字相乘法因式分解4k2+8mk+(3m2-2m-1)=0，即得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.

1.如何想到直線MN恒過定點

解決問題的切入點是抓住直線MN經(jīng)過定點這一特征，我們是如何關(guān)注到這一特征呢？事實上，問題的設(shè)問在暗示我們朝著這一方向處理，因為我們需要尋求一定點Q，使得DQ為定值，若存在，根據(jù)圓的定義，我們可知動點D的軌跡是圓，想到阿波羅尼斯圓、圓的直徑式方程等都需要兩個定點，而一方面點D是投影點有垂直關(guān)系，另一方面出現(xiàn)一個定點A，由此我們在尋求另一定點就水到渠成.

2.如何找到直線MN恒過定點的坐標

通過直線MN特殊位置的任意兩條直線的交點確定直線MN恒過定點的坐標，比如直線MN的斜率不存在、通過原點及與切線垂直等極端情況求之.

3.如何證明直線MN恒過定點

方法一：問題解析中的找到m，k的關(guān)系，利用直線的點斜式求之，是一種由一般到特殊的處理思路，將二元參數(shù)問題向一元參數(shù)化簡消參的思想方法；問題的另一種處理方式，巧設(shè)直線方程結(jié)構(gòu)形式，利用常數(shù)“1”代換，齊次化構(gòu)造一元二次方程整體處理數(shù)據(jù)，是解決兩動直線斜率之和與之積問題的有效途徑.

方法二：由特殊到一般的數(shù)學思想方法，先根據(jù)特殊位置尋求到定點坐標，再利用三點共線的知識證明，比如轉(zhuǎn)化到兩直線的斜率相等，兩向量共線問題等處理，這是問題途徑3的求解方法.

4.基于直線MN恒過定點，如何尋求射影點D的軌跡方程

求解曲線軌跡方程的方法有定義法，條件直譯法，相關(guān)點代入法，消參法(交規(guī)法)等，就本題來說，我們可以采用定義法——圓的定義，也可采用消參法——配方法消參及三角換元消參.

下面我們給出一種三角換元的消參方法，相當于引入角元，令k=tanα，

5.問題的一般性結(jié)論及其證明

類似可以證明下列相關(guān)拓展問題：

本題蘊含數(shù)學核心素養(yǎng)之直觀想象，試題僅僅給出問題缺少配圖，其目的就是考查學生的作圖技能，盡量把圖作規(guī)范精確，易于解題的角度去繪制圖象；對數(shù)學核心素養(yǎng)之數(shù)學運算的考查，需要引入兩個點的坐標四個參數(shù)，加之設(shè)直線方程的斜率與縱截距形式兩個參數(shù)，共計6個參數(shù)，參數(shù)多，運算量大，需要整體思想的結(jié)構(gòu)式處理.在求解探索過程中，可以有效地的激發(fā)學生的創(chuàng)新潛能，增強學科內(nèi)的知識層面及思維層面的拓展與融合.教學中尊重學生主體地位，優(yōu)化學生思維品質(zhì)及提升教師數(shù)學素養(yǎng)，知識與方法的深度融合.