環(huán)形B樣條基組的設計構建及在量子環(huán)中的應用

尹東，史庭云

(1.波譜與原子分子物理國家重點實驗室，中國科學院武漢物理與數(shù)學研究所，湖北 武漢 430071；2.中國科學院大學，北京 100049)

環(huán)形B樣條基組的設計構建及在量子環(huán)中的應用

尹東1,2，史庭云1

(1.波譜與原子分子物理國家重點實驗室，中國科學院武漢物理與數(shù)學研究所，湖北 武漢 430071；
2.中國科學院大學，北京 100049)

構造滿足周期性邊界條件的環(huán)形B樣條基組, 并將之應用于單電子量子環(huán)基態(tài)及激發(fā)態(tài)能級的計算.該方法計算基組較小，可以處理變量不可分離的非線性微分方程，簡化計算模型.使用GaAs量子環(huán)的參數(shù)進行計算，結果與已有文獻結果符合.結果顯示電子的能級呈現(xiàn)AB振蕩現(xiàn)象.若量子環(huán)上存在雜質，則基態(tài)和低激發(fā)態(tài)能級將不隨磁場作AB振蕩.此數(shù)值方法可推廣至更復雜的具有周期勢分布的結構.

環(huán)形B樣條；周期性邊界條件；量子環(huán)

0 引言

近年來隨著半導體制造工藝的發(fā)展，人們可以制作3個維度尺寸均在納米數(shù)量級的半導體結構，比如量子點和量子環(huán)，也被稱為人造原子[1-2].因為其特殊的物理性質、光學性質、量子點和量子環(huán)，引起了廣泛關注[1-3].由于量子環(huán)中的電子被局域在非簡單聯(lián)通的二維平面里，量子環(huán)中存在特殊的物理效應，比如AB效應[2]和持續(xù)電流現(xiàn)象[4-5].為了較好地理解量子環(huán)中的實驗現(xiàn)象，近年來提出了各種模型對環(huán)中的能級及物理特性做模擬計算[6-8].在這類計算中，合適的基組選擇至關重要.B樣條基組方法是近年來新發(fā)展起來的基組方法，在原子分子物理中有廣泛的應用.B樣條在模擬局域分布的波函數(shù)上具有優(yōu)勢，采用B樣條作為基組進行變分計算是獲得原子分子基態(tài)及低激發(fā)態(tài)能級的一種常用方法[9-10].

喬豪學等人采用B-splines基組計算了氦原子在勻強磁場中的能級[11]，與采用Hylleraas基進行高精度計算的結果相對誤差小于0.13%.卞學濱等人對一維氫原子空間波函數(shù)做B-spline基組展開求解含時薛定諤方程[12]，計算了激光場中氫原子的波函數(shù)，結果顯示基組較小時波函數(shù)就可以收斂.康帥等人用 B-splines 基計算了量子點中類氫雜質的能級[13].李勇等人用B-spline基組研究了堿金屬原子高激發(fā)Stark態(tài)的反交叉現(xiàn)象[14].胡師林等人采用B-spline基組進行了C2H2分子在激光場中的含時Hartree-Fock計算[15].

以往應用于原子分子物理計算的B-splines基組雖然取得了很大的成功，但在處理周期性勢場或邊界條件問題上卻存在不足，難以在邊界上保證樣條導數(shù)連續(xù).

1 環(huán)形B樣條定義

0=t1≤t2≤t3≤…≤ti-1≤ti≤ti+1≤…≤tn<2π，

現(xiàn)在，我們可以在定義了一階樣條后，類似傳統(tǒng)B樣條遞推定義的方法，給出k階樣條及其一階導數(shù)的定義：

(1)

(2)

定義樣條基組時要注意樣條階次k小于樣條結點數(shù)目.經(jīng)檢驗，對于任意的結點分布，上述環(huán)形B樣條定義滿足樣條歸一化條件[9].

圖1為無重結點均勻分布結點環(huán)形7階B樣條基組，在區(qū)間端點θ=0及θ=2π處無重結點，樣條光滑連續(xù)，并且一階導數(shù)連續(xù)，樣條基組滿足歸一化條件.基組的性質由結點分布和樣條階次共同決定.樣條結點序列為：

圖2為在區(qū)間端點θ=0及θ=2π處為重結點的環(huán)形B樣條基組.樣條函數(shù)值連續(xù)，但一階導數(shù)不連續(xù)，一般把雜質所處的位置設為樣條的重結點，體現(xiàn)波函數(shù)在該處的奇異性.

圖1 無重結點均勻分布結點的7階環(huán)形B樣條基組

圖2 θ=0及θ=2π 處為重結點的環(huán)形B樣條基組

2 量子環(huán)中電子能級計算

由于量子環(huán)的半徑為幾十個納米，在環(huán)中運動的電子會出現(xiàn)量子現(xiàn)象，可以通過調節(jié)環(huán)上的電壓人為控制環(huán)中電子的數(shù)目[1-2].目前有關量子環(huán)的電子能級的計算有大量的工作[6-8]，方法多種多樣.比如: 精確對角化、局域自旋密度近似和擴散蒙特卡羅方法.這些方法都取得了較好的計算結果，計算了單電子或多電子量子環(huán)在外電場或外磁場中的能級，觀察到AB振蕩及持續(xù)電流現(xiàn)象.我們在此采用環(huán)形B樣條，可以更方便地構造基組進行量子環(huán)電子能級計算，并保證極高的計算精度和較快的計算速度.我們給出以下幾個例子說明環(huán)形B樣條在處理環(huán)形量子阱問題上的成功運用.

2.1 單電子無外場 考慮一個電子被約束在一個半徑為1的單位圓環(huán)上運動，不考慮環(huán)的寬度，此問題簡單，有解析解.我們首先考慮角動量z軸分量的本征值方程計算，運動方程為：

此方程有解析解為:Lz=mη(m=0,±1,±2,Λ)， 其波函數(shù)為eimφ.采用環(huán)形B樣條構造波函數(shù)進行數(shù)值計算，計算過程采用a.u.單位.

可計算獲得磁量子數(shù)m的本征值的數(shù)值結果見表1，其本征值關于0對稱分布，表1中a[b]表示a×10b. 從表1的計算結果可以看出，即使較小的基組，環(huán)形B樣條的結果也有很高的精度，并與理論結

表1 Lz本征值計算結果的收斂性檢驗

果符合.適當增大基組或改變樣條的階次，能使數(shù)值結果的有效位數(shù)迅速提高，并且m=0的本征值數(shù)值結果有很好的計算穩(wěn)定性，計算精度保持在10-14.計算的本征值隨著樣條基組的增大及階次的升高逐漸收斂，m的絕對值越小的本征值，收斂速度越快，并且誤差很小.

2.2 單電子外加磁場 2000年，德國Lorke小組采用分子束外延技術得到環(huán)形量子阱，通過調節(jié)電壓可以人為控制量子環(huán)中電子的數(shù)目，以觀察AB效應.我們可以采用環(huán)形B樣條作為基組，構造波函數(shù)，對單電子量子環(huán)的能級進行數(shù)值計算.計算中，若無特殊說明，選取m*=0.067 me (me為電子的質量)，R=50 nm，g*μB= 0.025 47，ε=12.4ε0和hω0=3 meV (適用于GaAS量子環(huán)).能量、長度和磁場的單位分別取meV、nm和Tesla(T)，電量q以|e|為單位，磁場沿z軸正方向.不考慮塞曼項，磁場中一維理想單電子量子環(huán)的哈密頓量為：

能量本征值有解析結果：

若采用變分法求解，基函數(shù)與真實波函數(shù)相似時，收斂速度較快.因此本文中采用7階環(huán)形B樣條做基組，求解該問題，計算結果列于表2和表3.表2為B=0 T時能量本征值的收斂性檢驗，其中a[b]表示a×10b.表3為能量本征值的相對誤差，其中a[b]表示a×10b，帶*號數(shù)值由于分母為0，所以給出的是絕對誤差.

表2 B=0 T時能量本征值的收斂性檢驗

表3 能量本征值的相對誤差

2.3 環(huán)上有雜質粒子 我們也可以采用環(huán)形B樣條構造波函數(shù)來處理無解析解的問題.比如，量子環(huán)上存在雜質[16]，如圖4所示，Di表示第i個雜質離子，e1表示電子，φDi表示第i個雜質離子的極角，θ1表示電子的極角，雜質離子與電子間距離為d.

由于雜質離子的存在，體系失去了環(huán)的對稱性，因此不能進行變量分離.此時采用重結點環(huán)形B樣條，將雜質離子的位置設為重結點，可以很方便的解決計算問題.雜質離子與電子之間有庫侖勢作用.兩者夾角較小時考慮用余弦定理計算間距時加一小量避免計算結果發(fā)散[9].為提高計算的收斂速度，此時結點為重結點雙指數(shù)型分布.體系的哈密頓量為：

圖3 單電子量子環(huán)能級隨環(huán)內磁通量的變化

圖4 有雜質存在的單電子量子環(huán)

V=VeD+VDD,

計算結果見表4、圖5和圖6.表4為有雜質存在的單電子量子環(huán)能級計算的收斂性檢驗，其中NDO表示雜質數(shù)目, 每個雜質離子帶電+e,NKF表示樣條基組大小，B=0 T.

表4 有雜質存在的單電子量子環(huán)能級計算的收斂性檢驗

圖5 極坐標下基態(tài)電子在環(huán)上的幾率分布

從表4可以看出，環(huán)形B-樣條對環(huán)上存在雜質離子的計算結果收斂性好，數(shù)值穩(wěn)定.

由于環(huán)上存在帶電雜質，與環(huán)上運動的電子有庫侖作用，單電子量子環(huán)基態(tài)及低激發(fā)態(tài)能級隨磁場變化的情況與沒有雜質時有顯著不同，能級變化見圖6.從圖6可以看到基態(tài)及較低的激發(fā)態(tài)由于雜質的束縛或排斥作用，使其能級不隨磁場變化發(fā)生振蕩，較高的能級會發(fā)生AB效應.在計算過程中將雜質離子處設為重結點，可加快計算結果的收斂速度.因為可以任意設定樣條的重結點個數(shù)，因此理論上可以計算環(huán)上存在多個雜質的情況.

圖6 量子環(huán)能級隨磁場的變化

3 結論

本文中設計一種環(huán)形B樣條，用其作為基組對量子環(huán)內電子波函數(shù)進行展開，可以計算其能量本征值及本征矢，數(shù)值模擬結果與已有的文獻結果吻合.并且模擬過程用的基組數(shù)目較小，計算速度較快，是處理量子環(huán)及周期性勢場本征值問題的一種較為簡便有效的數(shù)值方法.可以考慮結合傳統(tǒng)的B樣條，將其推廣到2維、3維的量子點、量子環(huán)本征值問題的求解.

致謝 感謝在工作中與吳孟山和唐永波的有益討論與支持.

[1] Lorke A, Luyken R J, Govorov A O, et al. Spectroscopy of nanoscopic semiconductor rings[J].Phys Rev Lett, 2000, 84(10):2223-2226.

[2] Fuhrer A, Lüscher S, Ihn T, et al. Energy spectra of quantum rings[J].Nature, 2001, 413:822-825.

[3] Barticevic Z, Fuster G, Pacheco M. Effect of an electric field on the Bohm-Aharonov oscillations in the electronic spectrum of a quantum ring[J].Phys Rev B, 2002, 65(19):193307.

[4] Lévy L P, Dolan G, Dunsmuir J, et al. Magnetization of mesoscopic copper rings: evidence for persistent currents[J].Phys Rev Lett, 1990, 64(17):2074-2077.

[5] Mailly D, Chapelier C, Benoit A. Experimental observation of persistent currents in a GaAs-AlGaAs single loop[J].Phys Rev Lett, 1993, 70(13):2020-2023.

[6] Chakraborty T, Pietil?inen P. Electron-electron interaction and the persistent current in a quantum ring[J].Phys Rev B, 1994, 50(12):8460-8468.

[7] Zhu J L, Dai Z S, Hu X. Two electrons in one-dimensional nanorings: exact solutions and interaction energies[J].Phys Rev B, 2003, 68(4):045324.

[8] Liu Y M, Bao C G, Shi T Y. Few-electron quantum rings in a magnetic field: ground-state properties[J].Phys Rev B, 2006, 73(11):113313.

[9] Johnson W R, Blundell S A, Sapirstein J. Finite basis sets for the Dirac equation constructed from B splines[J].Phys Rev A, 1988, 37(2):307-315.

[10] Safronova M S,Safronova U I.Critically evaluated theoretical energies,lifetimes,hyperfine constants,and multipole-polarizabilities in87Rb[J].Phys Rev A, 2011, 83(5):052508.

[11] Qiao H X，Li B W. Calculations of the helium atone in magnetic fields with B-spline-type functions[J].Phys Rev A, 1999, 60(4):3134-3137.

[12] Bian Xuebin, Qiao Haoxue, Shi Tingyun. B-spline with symplectic algorithm method for solution of time-dependent Schr?dinger equations[J].Chin Phys Lett, 2006, 23(9):2403-2406.

[13] Kang Shuai, Li Jing, Shi Tingyun. Investigation of hydrogenic-donor states confined by spherical quantum dots with B-splines[J].J Phys B: At Mol Opt Phys, 2006, 39(17):3491-3505.

[14] Song Hongwei, Li Yong. Calculation of radial matrix elements and anticrossings for highly excited Stark states using the B-spline approach[J].Phys Rev A, 2008, 78(6):062504.

[15] Hu Shilin, Zhao Zengxiu, Shi Tingyun. B-spline one-center method for molecular Hartree-Fock calculations[J].Int J Quantum Chem, 2014, 114(7):441-448.

[16] 吳洪. 量子環(huán)上粒子體系的計算[J].計算物理， 2013，30(4):613-619.

(責任編輯 郭定和)

Design and construction of circular B-spline basis set and application in quantum ring

YIN Dong1,2, SHI Tingyun1

(1.State Key Laboratory of Magnetic Resonance and Atomic and Molecular Physics,
Wuhan Institute of Physics and Mathematics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China；
2.Graduate University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Circular B-spline basis are constructed to satisfy the periodic boundary conditions, and applied to the calculation of single electron quantum rings in the ground and excited states. Using fewer basis set, the nonlinear differential equations whose variables can not be separated are solved in a simplified method.The parameters of the GaAs quantum ring are used in calculation,and the results are in accordance with the other theroetical and experimental results.The energy levels of electrons show AB oscillation.The ground and low-lying excited states with impurities on the ring shows no AB oscillation.This numerical method can be extended to more complex structures with potential distribution cycle.

circular B-spline；periodic boundary condition；quantum ring

2016-05-10

國家自然科學基金(11274348，91536102)資助

尹東(1976-)，女，博士生，E-mail: 281607468@qq.com；史庭云，通信作者，研究員，E-mail: tyshi@wipm.ac.cn

1000-2375(2017)02-0131-6

O562.1

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.02.005