END序列下非參數(shù)回歸模型估計(jì)的相合性與完全收斂性

邢韻

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

END序列下非參數(shù)回歸模型估計(jì)的相合性與完全收斂性

邢韻

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

研究誤差為END序列的非參數(shù)回歸模型未知函數(shù)估計(jì)量的極限性質(zhì).并利用END序列的Cr不等式,Rosenthal不等式以及權(quán)函數(shù)相關(guān)性質(zhì), 證明其弱相合性與完全收斂性.

非參數(shù)回歸模型;END序列;相合性;完全收斂性

0 引言

設(shè)p是一個正整數(shù),A是Rp上的緊集,考慮下面的非參數(shù)回歸模型:

Yni=g(xni)+εni,i=1,2,…,n

(1)

其中g(shù)(·)是定義在緊集A上的未知函數(shù),xi∈A(i=1,2,…,n)為已知的固定設(shè)計(jì)點(diǎn)列, {εni,1≤i≤n,n≥1}為END變量序列.假定對每個n,{εn1,εn2,…,εnn} 與{ε1,ε2,…,εn}為 同分布的.定義g(x)的加權(quán)回歸函數(shù)估計(jì)為:

(2)

其中Wni(x)=Wni(x,x1,x2,…,xn)為僅依賴于固定設(shè)計(jì)點(diǎn)列的可測的加權(quán)函數(shù).

上述的估計(jì)最初是由Georgiev提出來的,之后就有許多學(xué)者對其進(jìn)行相關(guān)的研究.Georgiev等[1]研究了在獨(dú)立情形下gn(x)的相合性與漸近正態(tài)性,Fan[2]和Hu等[3]研究了Lp混合情形下gn(x)的相合性、正態(tài)性和平均相合性,Liang等[4]討論了誤差為NA情形下gn(x)的相合性,劉婷婷等[5]研究了誤差為AANA時(shí)的gn(x)的p階平均相合性和一致p階平均相合性. 本文中研究隨機(jī)誤差為END情形下gn(x)的相合性與完全收斂性.

設(shè){Xn,n≥1}是隨機(jī)變量序列,X為一非負(fù)隨機(jī)變量,C>0為常數(shù), 若對任意的x>0,n≥1, 都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x),則稱{Xn,n≥1}是被X隨機(jī)控制的.本文中約定:an=O(bn)表示anCbn,其中C表示與n無關(guān)的正常數(shù),并且在不同的地方可以表示不同的值,IA表示示性函數(shù),C(g)表示gn(x)在A上的連續(xù)點(diǎn). 另外,||x||記為點(diǎn)x在Rp中的歐氏模,g(·)在緊集A上連續(xù).

在非參數(shù)回歸模型(1)中,對任意固定的x∈A,有關(guān)權(quán)函數(shù)Wni(x)=Wni(x,xn1,xn2,…,xnn)的假設(shè)如下:

1 相關(guān)定義與引理

定義1[6]設(shè)(Ω,F,P)為概率空間,{Xn,n≥1}為隨機(jī)變量序列, 稱隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn是END(extended negatively dependent)的,如果存在正常數(shù)M,使得對任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn同時(shí)成立

和

稱隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是END的,如果任意有限個隨機(jī)變量是END的.稱隨機(jī)變量陣列 {Xni,i≥1,n≥1}是END的,如果對任意的n≥1,隨機(jī)變量序列{Xni,i≥1}是END的.

引理1[6]?偅j設(shè)X1,X2,…,Xn是END隨機(jī)變量,f1,f2,…,fn全部是非降或非增函數(shù),則f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)也是END隨機(jī)變量.

引理2[7](Rosenthal不等式) 設(shè){Xn,n≥1}是一均值為零的END隨機(jī)變量序列, 且對p≥2和所有n≥1有E|Xn|p<∞,則

其中Cp為只依賴于p的正數(shù).

引理3[8]對任意的q>0,a>0,有

引理4[8]對任意的r>0,有

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)模型(1)中的g(x)的估計(jì)是由(2)式所定義的,隨機(jī)誤差{εni,1≤i≤n}是END序列, 且被X隨機(jī)控制,對r>1,條件A1,A2,A3滿足并且

定理1的證明 對于x∈C(g)和a>0,由(1)式和(2)式有

由假設(shè)條件A1,A2,A3和g(·)在緊集上連續(xù),我們有

|Egn(x)-g(x)|→0,x∈C(g),n→∞

(3)

接下來我們證明

記

Xni=εniI(|εni|≤n)+nI(εni>n)-nI(εni<-n),

所以

而

(4)

又由引理3可以知道

(5)

于是要證明J→0,只要證明

由引理1可知{Wni(x)(Xni-EXni),1≤i≤n}仍是END序列.由引理2和Cr不等式可知

易見

(6)

由引理3可得

(7)

(8)

最后證明J″1→0.當(dāng)1

(9)

當(dāng)r≥2時(shí),

(10)

定理2 假設(shè){εni,1≤i≤n}為END變量序列,且被X隨機(jī)控制, 并且假設(shè)條件滿足A1,A2,A3.如果對01/p使得

定理2的證明 對于x∈C(g)和a>0, 由(1)式和(2)式有

(11)

由于x∈C(g),因此對?ε>0,?δ>0,使得當(dāng)||xni-x||<δ時(shí),有||gni-g(x)||<ε. 因此,假定(11)式中的0

根據(jù)(3)式,我們只需要證明

因此我們只需證明對?x∈C(g),有Ii<∞,其中i=1,2,3,4.

由0

由引理2,當(dāng)q≥2時(shí)我們有

我們先證明I1→0,由Cr不等式和條件A2可得

(12)

再證明I12,因?yàn)?

(13)

由(12)、(13)式及文獻(xiàn)[9]中的定理2知I1<∞.

(14)

我們?nèi)〕浞执蟮腘,使得-((2αp-1)-2pρ)N<-1,那么I2<∞.

最后來證明I4<∞.當(dāng)E|X|2p<∞和α>1/p>0時(shí),我們有

(15)

[1] Georgiev A A, Greblicki W. Nonparametric function recovering from noisy observations[J].Journal of Statistical Planning and Inference, 1986, 13(1): 1-4.

[2] Fan Y. Consistent nonparametric multiple regression for dependent heterogeneous processes: the fixed design case[J].Journal of Multivariate Analysis, 1990, 33(1): 72-88.

[3] Hu S H, Zhu C H, Chen Y B,et al. Fixed-design regression for linear time series[J].Acta Mathematica Scientia,2002,22(1): 9-18. [4] Liang H Y, Jing B Y. Asymptotic properties for estimates of nonparametric regression models based on negatively associated sequences[J].Journal of Multivariate Analysis, 2005, 95(2): 227-245.

[5] 劉婷婷,陳志勇,魏蕓菲，等. 誤差為AANA序列時(shí)非參數(shù)回歸模型估計(jì)的相合性[J].合肥學(xué)院學(xué)報(bào), 2013, 23(1): 17-19.

[6] Liu L. Necessary and sufficient conditions for moderate deviations dependent random variables with heavy tails[J].Science in China Series A:Mathematics, 2010, 53(6): 1421-1434.

[7] Shen A. Probability inequalities for END sequence and their applications[J].Journal of the Inequalities and Application, 2011, 98: 1-12.

[8] Gail S X, Chen P Y. Some limit theorems for weighted sums of arrays of NOD random variables[J].Acta Mathematica Scientia, 2012, 32B(6): 2388-2400.

[9] 邢韻. END序列下半?yún)?shù)回歸模型估計(jì)的相合性[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2017,39(2)：118-122,130.

(責(zé)任編輯 趙燕)

The consistency and complete convergence of estimators in non-parametric regression model with END sequences

XING Yun

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

In this paper, based on END errors, the limit properties for unknown functiong(·) in the nonparametric regression model is investigated.By usingCrinequality,Rosenthal inequality,and some properties of weighted functions, we obtained the weak convergence and complete convergence.

non-parametric regression model; END sequences; consistency; complete convergence

2016-07-03

邢韻(1993-)，女，碩士生

1000-2375(2017)02-0118-07

O212.2

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.02.003