(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性

余超群

(湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院,湖北 武漢 430062)

(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性

余超群

(湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院,湖北 武漢 430062)

借助(α,β)混合序列加權(quán)和的極大值矩不等式,采用截尾的方法討論(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性,并獲得(α,β)混合序列加權(quán)和的Marcinkiewicz-Zygmund型強大數(shù)定律.

(α,β)混合序列;Marcinkiewicz-Zygmund型強大數(shù)定律;完全收斂性;加權(quán)和

0 引言

(α,β)混合序列的定義由Bradley[1]給出,并研究了絕對正則條件下(α,β)混合序列的中心極限定理.邵啟滿[2]進一步研究 (α,β)混合序列的極限性質(zhì).陸傳榮等[3]于1997年建立了(α,β)混合序列協(xié)方差的界,在此基礎(chǔ)上, 沈燕[4]給出了(α,β)混合序列的矩不等式,得到(α,β)混合序列的收斂定理.趙琦[5]利用Kolmogorov不等式得到(α,β)混合序列 的三級數(shù)定理,在較弱的條件下,進一步研究了(α,β)混合序列的部分和與乘積和的強大數(shù)定律和加權(quán)和的完全收斂性.在本文中,我們借助(α,β)混合序列加權(quán)和的極大值矩不等式,采用截尾的方法討論(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性,并獲得(α,β)混合序列加權(quán)和的Marcinkiewicz-Zygmund型強大數(shù)定律.

設(shè){Xn,n≥1}是隨機變量序列,X為一非負隨機變量,C>0為常數(shù), 若對任意的x>0,n≥1, 都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x),則稱{Xn,n≥1}是被X一致控制的.本文約定:C,C1,C2總表示正常數(shù), 且在不同的地方可以表示不同的值.

1 引理

引理1[6]設(shè){Xn,n≥1}是被隨機變量X一致控制的序列,則對?α,b>0有

E|Xn|αI(|Xn|≤b)≤C1[E|X|αI(|X|≤b)+bαP(|X|>b)]

(1)

E|Xn|αI(|Xn|>b)≤C2E|X|αI(|X|>b)

(2)

其中C1,C2都是正常數(shù).

其中C為僅依賴于α,β和λ(·)的常數(shù).

2 主要結(jié)果及證明

(3)

若存在一常數(shù)q>max{α,2(pα-1)/(2α-1)},使得E|X|q<∞,則對?ε>0,有

(4)

(5)

(6)

因為q>2(pα-1)/(2α-1),由Markov不等式和(6)式可得

(7)

(8)

并由(3)式和H?lder不等式,對于1≤k

(9)

(10)

因此,結(jié)合(5)式,(7)式和(10)式有(4)式成立.定理證畢.

(11)

(12)

首先,我們將證明

(13)

當1/2<α≤1時,由E|X|q<∞,EXni=0,引理1(2)式,(11)式和(9)式(取k=1)可得

當α>1和p≥1時,由E|X|q<∞,(11)式和(9)式(取k=1和q=2)可得

當α>1和p<1時,由(11)式和(9)式(取k=1和q=2)可得

由條件pα≥1和E|X|p<∞可知

nP(|X|>nα)=nP(|X|p>npα)≤nP(|X|p>n)≤E|X|pI(|X|p>n)→0,n→∞

(14)

同時,由p<1和αp≥1可得

(15)

為了證明(4)式,只需要證明I<∞和J<∞.

(16)

因為α>0和0

(17)

因此,結(jié)合(15)～(17)式有(4)式成立.定理證畢.

(18)

和

(19)

推論1的證明 在定理2中取αp=1,立即可得(18)式成立.因此

根據(jù)Borel-Cantelli引理可得

(20)

對于任意正整數(shù)n,都存在一正整數(shù)i0滿足2i0-1≤n<2i0.由(20)式可得

從而,(19)式成立.

(21)

其中0<δ≤min{1,α/2}.則對?ε>0,有(4)式成立.

從而,有(12)式成立,由(21)式和H?lder不等式,則對1≤k<α,有

(22)

當α>1和p≥1時,由引理1,(22)式(取k=1)和(14)式可得

當α>1和p<1時,由引理1,(22)式(取k=1)和(14)式可得

因此,有(13)式成立. 進一步,由(12)式和(13)式可得

為了證明(4)式,只需要證明H<∞和G<∞.類似于(16)式的證明可得H<∞.因此,只需驗證G<∞即可. 當α>2時,由Markov不等式,引理1,引理2,(22)式(取k=2)和0

(23)

當1<α≤2,由Jensen不等式可知,對于任意的1<α≤k,

(24)

推論2的證明 在定理3中取αp=1,立即可得(18)式成立.另一方面,類似于推論1的(19)式證明過程,同理可證(19)式成立.

定理4的證明 對固定的n≥1,記

從而,有(12)式成立. 因為0<α≤1,由EXni=0,引理1(2)式和(24)式(取k=1)可得

因此,有(13)式成立.進一步,由(12)式和(13)式可得

為了證明(4)式,只需要證明E<∞和F<∞.類似于(16)式的證明可得E<∞.因此,我們只需驗證F<∞即可.因為0<α≤1,在(24)式(取k=2)可得

類似于(23)式的證明,我們可得到F<∞. 定理證畢.

推論3的證明 類似于推論2的證明過程.

[1] Bradley R C. On the central limit question under absolute regularity[J].Ann Probab, 1985(4): 1314-1325.

[2] Shao Q M. Almost sure invariance principles for mixing sequences of random variables[J].Stochastic Processes and Their Applications, 1993(2): 1-9.

[3] 陸傳榮, 林正炎. 混合相依變量的極限理論[M].北京: 科學出版社, 1997.

[4] 沈燕, 張永軍，王學軍，等.(α,β)混合序列的強極限定理[J].中國科學技術(shù)大學學報, 2011(9): 778-784.

[5] 趙琦.(α,β)混合序列部分和與乘積和的強大數(shù)定律[J].湖北大學學報(自然科學版)，2015(3): 213-217.

[6] 吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京：科學出版社, 2006.

[7] 余超群.(α,β)混合序列加權(quán)和的強收斂性[J].湖北大學學報(自然科學版),(已錄用待發(fā)表)

(責任編輯 趙燕)

Complete convergence theorems of weighted sum for (α,β) mixing sequences

YU Chaoqun

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

We used the maximal inequality for weighted sums of (α,β) mixing sequence,and the truncated method to discuss the complete convergence theorems of weighted sum for (α,β) mixing sequence,and then got the Marcinkiewicz-Zygmund-type strong law of large numbers for weighted sums of (α,β) mixing sequence.

(α,β) mixing sequence;Marcinkiewicz-Zygmund-type strong law of large numbers;complete convergence theorems; weighted sum

2016-06-12

余超群(1991-)，女，碩士生

1000-2375(2017)02-0123-08

O211.4

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.02.004