一類分形方塊(Σ3,7)的拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)

李青，代玉霞，柯楓

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

一類分形方塊(Σ3,7)的拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)

李青，代玉霞，柯楓

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

分形方塊；拓?fù)浠?；拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)

0 引言及結(jié)果

設(shè)n≥2，記D={d1,d2,…,dm}?{0,1,…n-1}2為一個(gè)數(shù)字集，其中#D=m表示D的基數(shù).

設(shè)

(1)

(2)

其中C≥1為常數(shù). 文獻(xiàn)[2-4]研究了分形方塊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和李卜希茲等價(jià)類.

本文中主要研究分形方塊的拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)，先回顧拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)的定義[5].

定義1.1 定義dimtHφ=-1.對(duì)非空度量空間X，定義X的拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)為

其中?A表示集合A的邊界，dimH表示豪斯道夫維數(shù)[1].

本文中dimt表示拓?fù)渚S數(shù)[6-7]. 下面性質(zhì)給出了拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)與拓?fù)渚S數(shù)及豪斯道夫維數(shù)之間的大小關(guān)系.

性質(zhì)1[5]對(duì)任意的度量空間X，有dimtX≤dimtHX≤dimHX.

下面性質(zhì)說(shuō)明了拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)的單調(diào)性.

性質(zhì)2[5]對(duì)任意的度量空間X?Y,有dimtHX≤dimtHY.

下面性質(zhì)是研究拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì).

性質(zhì)3[5]對(duì)任意的度量空間空間X,Y,若f:X→Y是一個(gè)滿足(2)式的一個(gè)雙射，則dimtHX=dimtHY.

本文中主要研究Σ3,7中的分形方塊的拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù).Σ3,7有如下8個(gè)分形方塊.

圖1 Σ3,7中分形方塊

其經(jīng)過(guò)多次迭代后如下圖所示:

圖2 Σ3,7中多次迭代后的分形方塊

下面定理給出了本文中的主要結(jié)論.

注釋：對(duì)F7、F8的拓?fù)浜浪沟婪蛑恢渚_下界為1，未能得到其精確上界.

1 預(yù)備引理

為證明定理，本節(jié)介紹證明中用到的引理，主要是給出分形方塊上拓?fù)浠?后面簡(jiǎn)稱基)的構(gòu)造方法，先給出基的等價(jià)描述.

定理1.1[8]設(shè)Ц是拓?fù)淇臻g(X,J)上的一個(gè)開集族，則Ц是拓?fù)淇臻g的一個(gè)基當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)x∈X和x的每一個(gè)領(lǐng)域Ux，存在Vx∈Ц使得x∈Vx?Ux.

下面引理給出了分形方塊矩形基的一種構(gòu)造方法.

引理1.2[9]設(shè)F是一個(gè)分形方塊，E是[0,1]的稠密子集，記

則Ц是F的一個(gè)基.

定理1.4[5]設(shè)X是一個(gè)非空的可分度量空間.則

dimtH(X×[0,1])=dimH(X×[0,1])=dimHX+1.

其經(jīng)過(guò)多次迭代后的圖形如下:

(3)

結(jié)合(3)式得證.

2 定理的證明

本節(jié)分3種情形證明定理.

情形一(構(gòu)造引理1.3中的基)

對(duì)任意p=(a,b)∈V，存在k≥0，使得x∈Vk+1Vk. 取p的關(guān)于直線y=b對(duì)稱的鄰域U1(p)滿足

(iii)C1,2是C1,1向左平移2個(gè)單位所得.

遞歸作p的關(guān)于直線y=b對(duì)稱的鄰域Un(p)，n≥2滿足

圖3 F1的一個(gè)拓?fù)浠?/p>

(iii)Cn,2是Cn,1向左平移2/3n-1個(gè)單位所得.

如圖3所表示.

由上述構(gòu)造可得，對(duì)任意p∈V，有Un+1(p)∈Un(p)且

令

類似于F1中的方法，對(duì)于任意的p=(a,b)∈V(V同上)，作Un(p)滿足

圖4 F2的一個(gè)拓?fù)浠?/p>

如圖4所表示.

情形二(構(gòu)造引理1.2 中的基)

令

圖5 F3的一個(gè)拓?fù)浠?/p>

則任意的U∩F3∈Ц，U∩F3的頂點(diǎn)均屬于E×E，從而由引理1.2，Ц是F3的基.

如圖5所表示.

情形三

圖6 F5的一個(gè)拓?fù)浠?/p>

則任意的U∩F5∈Ц，U∩F5的頂點(diǎn)均屬于E×E，從而由引理1.2，Ц是F5的基.

如圖6所表示.

[1] Falconer K J. Fractal geometry-mathematical foundations and applications[J].Mathematical Fouundation and Applications, John Wiley, 1990.

[2] Lau K S, Luo J J,Rao H.Topological stucture of fractal squares[J].Math Proc Camb Phil Soc, 2013,155:73-86.

[3] Luo J J,Liu J C. On the classification of fractal squares[J].preprint.

[4] Zhu Y J, Rao H. Lipschitz equivalence of fractal aquares[J].preprint.

[5] Balka R,Buczolich Z, Elekes M.A new fractal dimension: The topological Hausdorff dimension[J].Advances in Mathwmatices. 2015,274:881-927.

[6] Heinonen J. Lectures on analysis on metric space[J], New York: Springer-Verlag,2001.

[7] Hurewicz W, Wallman H. Dimension Thorery[M].OSA princeton Uiversity Press,1948.

[8] 熊金成.點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M].北京：高等教育出版社，2011.

[9] 柯楓，代玉霞，李青. 一類分形方塊的拓?fù)浜浪沟婪蚓S數(shù)[J].預(yù)出版.

(責(zé)任編輯 趙燕)

The topological Hausdorff dimension of a class of fractal squares

LI Qing, DAI Yuxia, KE Feng

(School of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

fractal square; topological basic; topological Hausdorff dimension

2016-08-06

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301162)資助

李青(1990-)，女，碩士生；代玉霞，通信作者，講師，研究方向：分形幾何，E-mail:daiyuxia8173@163.com

1000-2375(2017)02-0112-07

O211

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.02.002