問題驅(qū)動(dòng)法在定積分概念教學(xué)中的應(yīng)用

曹順娟

摘 要：教學(xué)的組織應(yīng)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，如何組織課堂教學(xué)更切合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出了“設(shè)置驅(qū)動(dòng)問題，激發(fā)學(xué)生思考，利用已知解決未知”的問題驅(qū)動(dòng)法。問題驅(qū)動(dòng)法是讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)新的知識(shí)，并在解決這些驅(qū)動(dòng)問題時(shí)，形成對(duì)新知識(shí)的初步認(rèn)識(shí)。該文介紹了如何將“問題驅(qū)動(dòng)法”應(yīng)用到定積分概念的教學(xué)中。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)法 學(xué)習(xí)型社會(huì) 認(rèn)識(shí)規(guī)律 驅(qū)動(dòng)問題

中圖分類號(hào)：G6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）09（b）-0166-02

“國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）”的戰(zhàn)略目標(biāo)為：到2020年，基本實(shí)現(xiàn)教育現(xiàn)代化，基本形成學(xué)習(xí)型社會(huì)，進(jìn)入人力資源強(qiáng)國(guó)行列。如何進(jìn)行教學(xué)改革促進(jìn)學(xué)習(xí)型社會(huì)的形成。中國(guó)科學(xué)院院士李大潛說過：教學(xué)改革的主體雖然是教師，但所針對(duì)的對(duì)象則是廣大的學(xué)生，因此，一定要遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，才能收到事半功倍的效果。教師一定要設(shè)身處地站在學(xué)生的角度思考，考慮怎樣組織教與學(xué)才能更切合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

教學(xué)組織應(yīng)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，尤其是數(shù)學(xué)這樣一門抽象的學(xué)科應(yīng)該如何實(shí)施教學(xué)。筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出了“組織適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)問題，激發(fā)學(xué)生思考，利用已知解決未知”的問題驅(qū)動(dòng)法。

1 依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)形成規(guī)律，得到“問題驅(qū)動(dòng)法”

我們先認(rèn)識(shí)一下一套數(shù)學(xué)理論是怎么形成的。

首先，人們?cè)谏a(chǎn)生活中遇到一個(gè)難解決的實(shí)際問題，數(shù)學(xué)家將之抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，設(shè)法利用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)去初步解決。其次，對(duì)于這種普遍存在的問題，數(shù)學(xué)家將初步解決的方法進(jìn)行充分抽象、提升，使之成為一套新的數(shù)學(xué)理論。對(duì)該數(shù)學(xué)對(duì)象，可以應(yīng)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行進(jìn)一步研究，從而完善這套數(shù)學(xué)理論。最后，數(shù)學(xué)家再將這套完整的理論反哺到最初解決的實(shí)際問題中，這樣就得到更有效的解決方法，并且還可以利用新得到的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決類似的其他問題。

至此，一套數(shù)學(xué)理論就形成了，可以把這個(gè)過程簡(jiǎn)化成下面的流程圖（如圖1）。

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)概念或知識(shí)點(diǎn)，很多同學(xué)往往知其然而不知其所以然，會(huì)效仿例子做題，但是問其為何這樣解，卻說不知道或不清楚，這和我們所要培養(yǎng)的學(xué)習(xí)型人才背道而馳，深究這里面的原因，是學(xué)生對(duì)該知識(shí)沒能深入思考，再究其深層原因，實(shí)為教師未遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律教學(xué)，對(duì)該知識(shí)點(diǎn)沒有通過恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行教學(xué)，這樣就使得學(xué)生只是被動(dòng)接受，而不能真正理解如何去用。問題驅(qū)動(dòng)法就可以很好解決學(xué)生未加思考就接收知識(shí)的問題。這種方法是教師通過設(shè)置一些適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)問題，層層引導(dǎo)學(xué)生去思考，學(xué)生在不斷思考和不斷解決問題的過程中形成對(duì)概念的初步認(rèn)識(shí)。這樣的過程使得學(xué)生既清楚概念的來龍去脈，又能深刻理解概念的意義。

2 “問題驅(qū)動(dòng)法”在定積分概念中的應(yīng)用

教師如何設(shè)置好驅(qū)動(dòng)問題，激發(fā)學(xué)生思考，層層解決完各個(gè)問題之后，使得原來的實(shí)際問題得以解決。我們以定積分概念為例，進(jìn)行說明如何設(shè)置驅(qū)動(dòng)問題，使得學(xué)生在思考中學(xué)習(xí)并領(lǐng)悟概念。

首先，以回憶三角形和梯形的面積開始引入，這兩個(gè)圖形的面積，是學(xué)生熟悉的“已知知識(shí)”。這時(shí)，老師可設(shè)置問題：把梯形的一斜邊變成曲線，這樣的圖形—— 曲邊梯形的面積如何計(jì)算？對(duì)于這個(gè)中心的驅(qū)動(dòng)問題，學(xué)生會(huì)無從下手，老師可以設(shè)置下面的一系列小的問題進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，使得學(xué)生逐一解決，最終解決該中心問題。

驅(qū)動(dòng)問題1：對(duì)于未知的曲邊梯形面積，雖然我們還不知是否有已知的公式計(jì)算其精確值，但是能否可以退而求其次，用已知圖形的面積來近似它的面積？

解決方案：用三角形或梯形的面積進(jìn)行近似。

驅(qū)動(dòng)問題2：直接用三角形或梯形的面積來近似，誤差是不是太大？如何減少誤差？

解決方案：把大的曲邊梯形分成一個(gè)個(gè)小的曲邊梯形，逐個(gè)近似再求和，且曲邊函數(shù)的連續(xù)性可保證這樣做的效果比直接近似更優(yōu)。

驅(qū)動(dòng)問題3：這樣得到的值仍然為近似值，怎樣消除誤差？

解決方案：（此時(shí)需要提示：什么時(shí)候誤差較小？怎樣才能使得誤差盡可能小？即誤差無限接近于0?？梢宰寣W(xué)生觀察曲邊梯形寬時(shí)誤差大還是窄時(shí)誤差大得到啟示。）利用極限這個(gè)數(shù)學(xué)工具進(jìn)行消除誤差。

這樣，中心驅(qū)動(dòng)問題得以解決。

驅(qū)動(dòng)問題4（延伸問題）：如何計(jì)算變速直線運(yùn)動(dòng)的路程？

這個(gè)問題和上面的中心驅(qū)動(dòng)問題一樣，需要用已知（勻速直線運(yùn)動(dòng)）近似未知（變速直線運(yùn)動(dòng)），進(jìn)而解決未知問題。通過前面問題的思考學(xué)生很容易把該問題解決好。

驅(qū)動(dòng)問題5：上面的兩個(gè)問題有什么相似之處？

一是解決過程相似：大化小、常代變、近似和、取極限。二是結(jié)論類似：均為乘積和式的極限。這兩個(gè)問題：一個(gè)是幾何上的問題；另一個(gè)是物理上的問題，把其過程和結(jié)論抽象出來即為一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念——定積分。

通過層層思考，學(xué)生主動(dòng)完成知識(shí)的形成過程，接下來再介紹定積分的定義時(shí)，學(xué)生就會(huì)容易理解，而不會(huì)感覺概念來的突兀，晦澀。

南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，首屆“國(guó)家級(jí)教學(xué)名師”顧沛曾說：一個(gè)教師，如果既把教學(xué)當(dāng)作職業(yè)去恪守，又把教學(xué)當(dāng)作事業(yè)去熱愛，還把教學(xué)當(dāng)作藝術(shù)去追求，那么，境界高了，教學(xué)效果也一定會(huì)更好。他還提出了教學(xué)的3個(gè)層次：第一層次，把教學(xué)僅當(dāng)作一種職業(yè)，在自己的崗位上勤勤懇懇，任勞任怨，認(rèn)真?zhèn)湔n、上課、批改作業(yè)、答疑輔導(dǎo)。第二層次，把教學(xué)也當(dāng)作一項(xiàng)事業(yè)，全身心投入，孜孜以求，探索規(guī)律，努力奉獻(xiàn)，追求成功。第三層次，把教學(xué)還當(dāng)作一門藝術(shù)，貫通古今，博采眾長(zhǎng)，精心設(shè)計(jì)，不斷創(chuàng)新，在課堂的舞臺(tái)上信手拈來，左右逢源，寓教于理，寓教于情，寓教于樂，讓學(xué)生在欣賞和享受中吸取廣泛的營(yíng)養(yǎng)。站在前輩的肩膀上，筆者對(duì)教學(xué)藝術(shù)的理解是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題且利用所學(xué)解決問題的藝術(shù)。

反觀現(xiàn)在的高校教育工作者，很大一部分教學(xué)工作者只會(huì)照本宣科，而沒有自己的理解、總結(jié)和概括，讓學(xué)生云里霧里；或只關(guān)注該課程內(nèi)容，而忽視學(xué)習(xí)的目的和方向，以及相關(guān)知識(shí)和技能的培養(yǎng)，這只能算作第一層次的教學(xué)。有些教學(xué)工作者去實(shí)施第二層次教學(xué)，但由于高?？蒲袎毫χ螅瑹o暇顧及教學(xué)方法的研究，所以這部分教師也為數(shù)不多。真正能把教學(xué)當(dāng)作一門藝術(shù)并成功實(shí)施的，數(shù)量很少。雖然大部分教學(xué)工作者能力，精力和經(jīng)驗(yàn)有限，但只要有足夠的熱情、并且不懈地努力，就有可能向著藝術(shù)性的教學(xué)不斷前進(jìn)。積極探討與實(shí)踐相適應(yīng)的教學(xué)方法，把學(xué)生培養(yǎng)成學(xué)習(xí)型人才，應(yīng)該從口號(hào)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，成為每一位教師都在踏踏實(shí)實(shí)做的事情。

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