一道新概念型試題的命制過程及思考

☉浙江臨海市大田初級中學 應躍飛

☉浙江臨海市第五中學 李夢虎

一道新概念型試題的命制過程及思考

☉浙江臨海市大田初級中學 應躍飛

☉浙江臨海市第五中學 李夢虎

新概念型問題是指給出一個學生末曾學過的新概念，要求學生運用已有知識和經(jīng)驗學習新概念，并根據(jù)新概念進行判斷、計算、推理、遷移的一種新題型.新概念型問題能有效地檢測出數(shù)學閱讀、信息獲取和加工、反思概括及自主探究等數(shù)學核心能力，備受各地命題專家的青睞.2017年1月，筆者參與了學校七年級上冊期末模擬試題的命制工作.下面結(jié)合本次命題中一個新概念型問題的命制過程，淺談新概念型試題命制的一些想法與思考.

一、試題呈現(xiàn)

概念：當點C在線段AB上，AC=nAB時，我們稱n為點C在線段AB上的點值，記作dC-AB=n.

應用：

（1）如圖1，點C在線段AB上.

若dC-AB=，則AC=____AB；

圖1

若AC=3BC，則dC-AB=____.

（2）已知線段AB=10cm，點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，相向運動，點P到達點B時，點P、Q都停止運動，設(shè)運動時間為ts.

①若點P、Q的運動速度均為1cm/s，試用含t的式子表示dP-AB和dQ-AB，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系；

②若點P和點Q的運動速度分別為1cm/s和2cm/s，點Q到達點A后立即以原速返回，t為何值時，dP-AB+dQ-AB=？

拓展：

（3）如圖2，在三角形ABC中，AB=AC=6，BC=4，點P、 Q同時從點A出發(fā)，點P沿線段AB勻速運動至點B，點Q沿線段AC、CB勻速運動至點B，且點P、Q同時到達點B，設(shè)dP-AB=n.當點Q運動到線段CB上時，請用含n的式子表示dQ-CB.

圖2

二、命制過程

1.命題立意，確定方向.

命題之前，筆者先查閱了近幾年臨海市七年級上冊期末調(diào)研測試的數(shù)學試卷，發(fā)現(xiàn)2012學年和2013學年的壓軸題分別是線段上和數(shù)軸上的動點問題，2014學年和2015學年的壓軸題都是角的運動問題，這些題目往往會涉及數(shù)與代數(shù)、方程、分類討論等七年級上冊的核心內(nèi)容.作為期末模擬測試試題的壓軸題，若只是簡單如法炮制，勢必會降低這份試卷的信度、效度和區(qū)分度.

在對教育行為的反思中改善教育實踐。美國學者波斯納曾對教師成長提出了一個極為明確的公式：教師成長＝經(jīng)驗＋反思。

再綜觀近年來臺州中考的壓軸題，新概念型試題已成為臺州近幾年中考一個相對穩(wěn)定的題型，也是各地中考的熱點題型.考慮到壓軸題要有較好的信度、效度和區(qū)分度，并兼顧數(shù)學中考的導向性，因此，筆者設(shè)想命制一道新概念型問題作為壓軸題，旨在考查學生的數(shù)學閱讀能力、知識遷移能力及分類討論思想和方程思想.

2.他山之石，可以攻玉.

合適的素材是新概念型問題命制成功的關(guān)鍵，新概念型問題的素材選取，往往需要靈感.筆者就是在下面兩個素材的啟發(fā)下構(gòu)思謀劃的.

素材1：在幾何畫板5.0的版本中，線段上的任意一個點可以度量它的點值，這個值在0到1之間；反過來，給定任何一個0到1之間的實數(shù)，都可以在線段上畫出一個對應的點.這樣，線段上的點值類似于數(shù)軸上的點，可以把0至1之間的任何一個實數(shù)與線段上的點建立起一一對應關(guān)系.在素材遴選過程中，筆者就想借鑒幾何畫板的點值概念給出一個新概念“點值”，用“點值”來解決兩個動點在運動過程中的“精彩瞬間”.事實上，由于考慮到整份試卷閱讀量等因素，新概念型試題往往讓學生從抽象定義出發(fā)來學習新概念.由奧蘇伯爾的有意義接受學習理論可知，要使學生順利地習得新概念，新概念必須具有邏輯意義，學生的認知結(jié)構(gòu)中必須具備同化新概念的適當知識，這就需要體現(xiàn)“題在書外，根在書內(nèi)”的命題原則，使試題源于教材又高于教材.

素材2：如圖3，點M把線段分成相等的兩條線段AM與BM，點M叫線段AB的中點.類似地，還有三等分點、四等分點等（如圖4、圖5）.

圖3

圖4

圖5

教材中關(guān)于中點、三等分點、四等分點的概念，都包含有兩個要素：（1）位置要素，即點在線段上；（2）數(shù)量要素，如圖4中的點N，對應的數(shù)量關(guān)系可以表示為AN=AB.由此得到啟發(fā)，只要保持位置要素不變，對數(shù)量要素稍作延伸，把式子改成“AC=nAB”，點C與數(shù)字n就可建立起一一對應關(guān)系，這樣就可以得到與等分點類似但又不同的新概念“點值”，體現(xiàn)了“題在書外，根在書內(nèi)”的命題思想.借鑒幾何畫板的點值概念，給出如下定義：當點C在線段AB上，AC=nAB時，我們稱n為點C在線段AB上的點值，記作dC-AB=n.這樣教材中的等分點概念就被一般化了，等分點就成為新概念“點值”在已有認知結(jié)構(gòu)中的固著點.至此，材料部分的構(gòu)思初見雛形.

C-AB一般情形“：dC-AB=n”與“AC=nAB”具有相同的含義.目的是引導學生把符號與其所代表的實質(zhì)內(nèi)容聯(lián)系起來，有利于學生看到符號就能聯(lián)想符號所代表的實質(zhì)意義，進一步揭示了“點值”概念的內(nèi)涵.

細化2：為降低符號語言的抽象性，在“應用”的第（1）題，通過設(shè)置“dC-AB=____，則AC=AB；若AC=3BC，則dC-AB=____”的問題，進一步揭示概念的外延來強化對符號“dC-AB=n”的理解，目的是進一步突出實例在概念習得過程中的作用，使實例成為理解概念的一種思維載體.同時也可以考查新概念在知覺水平的應用能力.

這樣的新概念經(jīng)歷三次閱讀：首先是概念的概括性的閱讀，其次是特例的理解，最后是另一個特例的簡單應用，能夠更好地幫助學生理解概念，建立良好的答題信心，不致于因為審題障礙導致解題受阻.細化概念后

3.細化概念，以人為本.

“點值”概念會涉及文字、符號和圖形等多種語言，學生能否順利地把文字、符號和圖形語言相互轉(zhuǎn)化是準確理解“點值”概念的前提.考慮到七年級學生數(shù)學閱讀能力還處于起步階段，學生在理解上會有一定的難度，筆者決定在概念的內(nèi)涵和外延的揭示上再作細化.的試題，更加符合七年級學生數(shù)學閱讀理解的作答能力，貼近七年級學生新概念型問題的作答心理.

4.創(chuàng)設(shè)情境，回歸常態(tài).

“點值”的背景知識是線段及等分點，如果只是考查線段和差及中點等知識，那么這樣的壓軸題就會顯得單薄.筆者認為新概念型壓軸題，要把新概念應用到具體問題中去，一方面，來檢測新概念的理解層次；另一方面，還應讓新概念型問題承載考查對七年級上冊其他核心知識的掌握情況，當然這個“具體問題”也應是本冊的核心內(nèi)容.基于這樣的認識，我們就想到讓點在線段上運動起來，用速度和時間來表示“點值”，這樣就可以用到七年級上冊另兩個核心知識整式和方程，使“應用”環(huán)節(jié)的問題設(shè)置回歸常態(tài).

第（2）①題需用含時間t的整式來表示點P和點Q在AB上的點值，使對“點值”概念的理解，從具體的特例判斷過渡到更為一般的情形（用含t的整式來表示點值），從而實現(xiàn)“點值”在知覺水平較低層次的應用過渡到較高層次的應用.

為使考查內(nèi)容涉及方程思想和分類思想，筆者把第（2）①題中點Q的運動速度改為2cm/s，且點Q到達點A后以原速返回，旨在考查“點值”在思維水平的應用能力，同時還自然地回歸到對方程、分類討論等核心思想的考查.

為了有效地檢測出學生能否把新概念遷移到其他情境中去，筆者在“拓展”環(huán)節(jié)中，將動點P、Q放置在一個三角形中，把運動的速度和時間換成“dP-AB=n”，所求的問題設(shè)置成“當點Q運動到線段CB上時，請用含n的式子表示dQ-CB”.在這樣的問題情境中，符號“dP-AB=n和dQ-CB”所代表的實質(zhì)意義更難把握，使得問題解決更具挑戰(zhàn)性.至此，一個完整的新概念型壓軸題命制完成.

總之，命制新概念型試題時，概念的名稱、定義、實例和屬性的呈現(xiàn)都要符合學生的認知特點，體現(xiàn)以人為本；問題設(shè)置應緊扣新概念的內(nèi)容，注意引導學生思維的延續(xù)性，實現(xiàn)對學生數(shù)學學習能力及解決問題能力的考查，體現(xiàn)“不僅要關(guān)注學生學習結(jié)果，更要關(guān)注學生學習過程中的發(fā)展和變化”的評價理念.

1.曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2006.

2.李夢虎，蔣榮清.學習型試命制實踐與思考［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2011（10）.

3.李夢虎.基于“四基”考查的數(shù)學命題及感悟——以2015年臺州市中考壓軸題為例［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2016（4）.