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    對一道課本規(guī)律題的探索歸納和推廣

    2017-03-11 05:50:13廣東江門市新會葵城中學(xué)陳家武
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年4期
    關(guān)鍵詞:個(gè)角交點(diǎn)本題

    ☉廣東江門市新會葵城中學(xué) 陳家武

    對一道課本規(guī)律題的探索歸納和推廣

    ☉廣東江門市新會葵城中學(xué) 陳家武

    在當(dāng)前應(yīng)試模式下,學(xué)習(xí)任務(wù)繁重,各種題目層出不窮,同樣或者同類型的題目多次重復(fù)出現(xiàn)的情況更是屢不見鮮,而當(dāng)學(xué)生遇到這些同類型的題目時(shí)卻絲毫沒有察覺,花大量的時(shí)間做了大量的練習(xí)后解題能力也不見得提高,這便是令人苦惱的題海戰(zhàn)術(shù).

    在教材中有很多經(jīng)典的習(xí)題,具有廣闊的拓展空間,很多題目“形不同而質(zhì)相同”,抓住圖形的結(jié)構(gòu)和題目本質(zhì)特征進(jìn)行研究、歸納,可以達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果,不管是對學(xué)生解題能力的提高和學(xué)習(xí)任務(wù)的減輕,還是對教師數(shù)學(xué)專業(yè)水平的提升,都有著重要的意義.

    本文呈現(xiàn)一道課本習(xí)題的探索歸納、拓展過程,供參考.

    原題:(人教版2012版教材七年級上冊第130頁拓廣探索第12題)兩條直線相交,有一個(gè)交點(diǎn),三條直線,最多有多少個(gè)交點(diǎn)?四條直線呢?你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎?

    圖1

    分析:本題放在拓展探索的最后一題,可見其實(shí)難度不一般.題目中畫出了兩條、三條和四條直線相交交點(diǎn)最多的圖像,設(shè)置了三小問,由于給出了準(zhǔn)確的圖形,前兩問可以直接數(shù),答案是顯然的,對于第三問,需要找出直線相交時(shí)直線數(shù)量與最多交點(diǎn)數(shù)量之間的規(guī)律.這個(gè)問題對于多數(shù)學(xué)生而言有以下難點(diǎn).

    1.對題目理解不到位,何時(shí)交點(diǎn)最多學(xué)生不容易理解,因?yàn)槿龡l以上直線相交的情況不止一種,以三條為例,其情況如下:

    圖2

    交點(diǎn)可以是0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè),交點(diǎn)最多是最后一種,有3個(gè).

    2.學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律.

    3.學(xué)生不懂得將規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來.

    經(jīng)過上面的分析,當(dāng)直線兩兩相交(沒有平行的情況),且沒有三條經(jīng)過同一個(gè)交點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)數(shù)最多.(這里要重點(diǎn)向?qū)W生解釋,不妨以3條直線為例)

    解:為了更容易找出規(guī)律,列表填空如下:

    表1

    為了使思路更加清晰,這里給每條直線標(biāo)上序號,2條直線相交最多1個(gè)交點(diǎn),3條直線在2條直線的基礎(chǔ)上添加1條直線,其交點(diǎn)數(shù)比前一種多2個(gè)(即直線③分別與直線①、②相交所得的2個(gè)交點(diǎn)),共有1+2=3(個(gè))交點(diǎn),而4條直線是在3條直線的基礎(chǔ)上添加1條,其交點(diǎn)數(shù)比前一種多3個(gè)(即直線④分別與直線①、②、③相交所得的3個(gè)交點(diǎn)),共有1+2+3=6(個(gè))交點(diǎn),依此類推,n條直線是在(n-1)條直線的基礎(chǔ)上添加1條,其交點(diǎn)數(shù)比前一種多(n-1)個(gè)(即直線n 分別與前(n-1)條直線直線相交所得的(n-1)個(gè)交點(diǎn)),共有1+2+3+…+(n-1)=(個(gè))交點(diǎn),至此問題解決.

    點(diǎn)評:一般與圖形有關(guān)的規(guī)律題通常圖形中的規(guī)律是較容易發(fā)現(xiàn)的,而本題直接從圖上找規(guī)律并不容易,如果題目沒有畫出前兩個(gè)圖形,剛接觸幾何的學(xué)生不一定能準(zhǔn)確畫出來,題目給出前三個(gè)圖形,學(xué)生可以直接從三種圖形的數(shù)字中找出規(guī)律,大大降低難度.對于規(guī)律題,對圖形進(jìn)行加工很重要,這里我用表格的方法,同時(shí)在表格中加入序號一行,這種方法對今后規(guī)律的探究有很大的幫助.另外本題還用到了連續(xù)多個(gè)數(shù)之和的計(jì)算公式(學(xué)生知道高斯計(jì)算1至100的和用到的方法,實(shí)質(zhì)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式).

    【觸類】

    題目1:在一條直線上取2個(gè)點(diǎn)A、B,共得幾條線段?在一條直線上取3個(gè)點(diǎn)A、B、C,共得幾條線段?在一條直線上取4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D,共得幾條線段?在一條直線上取n個(gè)點(diǎn),共可得多少條線段?

    分析:本題可以仿照解上一題的思路方法解決,線段由兩個(gè)端點(diǎn)確定,即兩個(gè)端點(diǎn)確定一條線段.

    解:同樣,為了更容易找出規(guī)律列表并分析填空如下:

    表2

    一條直線上有2個(gè)點(diǎn)可以確定1條線段,3個(gè)點(diǎn)是在2個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上添加1個(gè)點(diǎn),線段比前一種新增加了2條(即點(diǎn)C分別與點(diǎn)A、B新構(gòu)成的2條線段),共有1+2= 3(條)線段,4個(gè)點(diǎn)是在3個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上添加1個(gè)點(diǎn),線段比前一種新增加了3條(即點(diǎn)D分別與點(diǎn)A、B、C新構(gòu)成的3條線段),共有1+2+3=6(條)線段,依此類推,n個(gè)點(diǎn)是在(n-1)個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上添加1個(gè)點(diǎn),線段比前一種多(n-1)條(即第n個(gè)點(diǎn)分別與前(n-1)個(gè)點(diǎn)新構(gòu)成的(n-1)條線段),共有1+2+3+…+(n-1)=(條)線段,問題解決.

    點(diǎn)評:本題在方法上跟上一題類似,結(jié)果是一樣的,相對上一題本題要容易一些,主要是圖形簡單,但數(shù)線段容易數(shù)錯(cuò),小心即可.

    題目2:數(shù)一數(shù),找規(guī)律:

    (1)下列各圖中,角的射線依次增加,請數(shù)一數(shù)各圖中分別有幾個(gè)角.

    圖3

    ①____1個(gè)角②____個(gè)角③____個(gè)角④____個(gè)角

    (2)如果一個(gè)角內(nèi)部有8條射線,那么該圖中有________個(gè)角.如果一個(gè)角內(nèi)部有n條射線,那么該圖中有________個(gè)角.

    分析:首先這里的角是指小于平角的角,抓住角是有兩條公共端點(diǎn)的射線構(gòu)成的,只要兩條射線確定,則角就確定了,類比以上的方法解題.

    解:列表(如表3):

    表3

    點(diǎn)評:本題跟線段一題類似,這里不再贅述.

    以上三個(gè)問題,是第四章幾何圖形初步里的三個(gè)經(jīng)典問題,以表格填空的形式,可能學(xué)生更容易掌握和接受.

    【旁通】

    問題設(shè)計(jì):2條直線相交最多將平面分成4部分,3條直線相交最多將平面分成幾部分?4條直線相交最多將平面分成幾部分?n條直線相交最多將平面分成幾部分?

    圖4

    分析:仿照以上的方法,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)直線兩兩相交,且沒有三條直線相交于一點(diǎn)時(shí),分得的部分最多,而跟交點(diǎn)不同的是,直線分平面是每經(jīng)過平面的一部分都會將該部分一分為二,即每經(jīng)過1個(gè)部分就會增加多1個(gè)部分.經(jīng)過多少部分就會增加多少部分,因此要看每增加1條直線平面多幾部分,只要看這條線最多可以經(jīng)過幾部分,這是此題的不同之處,也是本題的最大難點(diǎn).

    解:列表(如表4):

    表4

    點(diǎn)評:本題相對多條直線相交交點(diǎn)最多問題,難度要大很多.1.要準(zhǔn)確畫出圖形不容易;2.規(guī)律也比前面的要難找;3.計(jì)算4+3+4+5+…+n要作處理.另外,本題還可以將題目“完整”化,即在題目前增加“1條直線最多將平面分成2部分”,這樣對應(yīng)的序號和射線數(shù)相同(步調(diào)一致),其做法基本一樣,不同的是題目顯得更加完整些,規(guī)律也更清晰.

    贈人魚不如授人漁,同樣教會學(xué)生一道題不如教會一類題.通過研究一些典型題目,歸納總結(jié),發(fā)揮好它的示范和輻射作用,往往能收到會一題通一類的效果,學(xué)會舉一反三、觸類旁通,才是我們真正要達(dá)到的學(xué)習(xí)目的.

    總之,在平時(shí)教學(xué)中,教師應(yīng)加強(qiáng)對課本典型習(xí)題的研究,立足基礎(chǔ)、力求變化、歸納、延伸,鍛煉思維、培養(yǎng)能力,讓學(xué)生在學(xué)會解題的同時(shí),在“異中求同,同中求異”中培養(yǎng)聚合思維和發(fā)散思維能力,真正做到“做一題,通一類,會一片,得一法”,讓學(xué)生從題海中解放出來,做到學(xué)習(xí)的效益最大化、方法最優(yōu)化.

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