認(rèn)識問題本質(zhì)，追求自然解法
——一道“希望杯”全國初中數(shù)學(xué)邀請賽試題的解法及變式探究

☉寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張 寧

認(rèn)識問題本質(zhì)，追求自然解法
——一道“希望杯”全國初中數(shù)學(xué)邀請賽試題的解法及變式探究

☉寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張 寧

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2016年第7期刊登了李玉榮老師的《自然解法“無果”，另辟蹊徑“有門”》一文，討論了第24屆“希望杯”全國初中數(shù)學(xué)邀請賽初二第2試第22題的解法，讀后受益匪淺.文中呈現(xiàn)了命題組給出的兩種參考答案，這兩種解法都是利用勾股定理列方程（組）求解，一是列出了二元二次方程組，二是列出了無理方程，正如李老師所說，這兩種解法的難點顯然是所列方程（組）超越了學(xué)生的能力范疇，學(xué)生難以求解.這兩種解法雖然自然，卻并不完美.李老師通過構(gòu)造輔助圓，給出了兩種解法，求解過程簡潔，令人拍案叫絕，具體解法參見文1，這里從略.筆者另辟蹊徑，通過從不同角度構(gòu)造直角三角形，得到了五種較為自然的解法，并對試題進行變式探究，得到一系列優(yōu)美的幾何問題，供讀者參考，不足之處，敬請讀者批評指正.

一、試題及解答

試題：（第24屆“希望杯”全國初中數(shù)學(xué)邀請賽初二第2試）如圖1，在梯形ABED中，∠D=∠E=90°，△ABC是等邊三角形，且點C在DE上，如果AD=7，BE=11，求△ABC的面積.

圖1

分析：本題涉及的基本圖形是直角梯形、直角三角形和等邊三角形.欲求△ABC的面積，只需求出等邊三角形ABC的邊長，或求出等邊三角形ABC的邊長的平方，或求出圖形中直角三角形的斜邊的長.求解這類問題的最基本的方法是利用直角三角形求解，其一，可直接在Rt△ADC和Rt△BCE中利用勾股定理列方程或方程組求解，即可得到命題組提供的求解方法；其二，可通過圖形的旋轉(zhuǎn)變換，將已知線段AD和BE轉(zhuǎn)化到同一個直角三角形中，然后利用勾股定理或直角三角形中的邊角關(guān)系求解；其三，可通過構(gòu)造相似三角形，建立已知線段AD和BE與所求線段之間的關(guān)系，從而通過列方程求解.

基于以上考慮，本題有如下較為自然的解法.

解法1：如圖2，將△ADC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BGC，點D的對應(yīng)點為G.過點G作GM⊥BE，GN⊥DE，垂足分別為M、N.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易知GB=AD=7，∠BGC=∠ADC=90°，∠DCG=60°，所以∠CGN=30°，∠BGM=30°.

圖2

圖3

點評：這種解法借助于圖形的旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造得到Rt△BGM、Rt△CGN及Rt△BGC，然后利用勾股定理，得到了等邊△ABC的邊長的平方，從而求出等邊△ABC的面積.這種解法避免了求解二元二次方程組或無理方程，通俗易懂，平實自然，是一種比較完美的解法.

解法2：如圖3，將△ADC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BGC，點D的對應(yīng)點為G.延長GC，交BE的延長線于點F.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易知GB=AD=7，∠BGC=∠ADC=90°，∠GBE=60°，所以∠GCE=120°，∠GBF=60°，∠F=30°.

在Rt△BGF中，BF=2BG=2×7=14，所以EF=BF-BE= 14-11=3.

點評：這種解法借助于圖形的旋轉(zhuǎn)變換，得到四邊形BECG.在四邊形BECG中，∠G=∠BEC=90°，∠GBE= 60°，GB=7，BE=11，根據(jù)四邊形的這些特征，易想到通過延長GC與BE構(gòu)造直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系及勾股定理求解.這種解法通俗易懂，平實自然，是一種非常完美的解法，可以視為求解這類問題的通法.

基于解法2，也可將△BCE繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°.因此，有如下解法3.

解法3：如圖4，將△BCE繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACG，點E的對應(yīng)點為G.延長AG，交DE的延長線于點F.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易知AG=BE=11，∠AGC=∠BEC= 90°，∠GCE=60°，所以∠F=30°.

在Rt△ADF中，AF=2AD=2×7=14，所以GF=AF-AG= 14-11=3.

在Rt△ACG中，AC2=AG2+CG2=112+（）2=124.

圖4

圖5

解法4：如圖5，BA、ED的延長線交于點G，過點C作CF⊥AB，垂足為F.

令A(yù)G=7a，則BG=11a，所以AB=11a-7a=4a.

所以AC2=16a2=124.

點評：根據(jù)已知四邊形ABED的特征，易想到通過延長BA與ED構(gòu)造直角三角形，為了構(gòu)架等邊△ABC與已構(gòu)造的直角三角形之間的聯(lián)系，易想到過點C作△ABC的高.這種解法通過構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識求解，通俗易懂，解法自然，對初中生而言，不失為一種好方法.

從教師的角度出發(fā)，本題有如下較為簡潔的解法.

解法5：如圖6，過點B作DE的平行線，交DA的延長線于點F，則△ABF是直角三角形.

圖6

所以cos∠BAF=cos（120°-∠DAC）=cos120°?cos∠DAC+sin120°sin∠DAC.

二、解法探源

對于借助于圖形變換或構(gòu)造直角三角形求解的思路，讀者可能存在困惑，認(rèn)為不容易想到將圖1中的△ADC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，構(gòu)造直角三角形，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系及勾股定理求解，或通過延長BA與ED構(gòu)造直角三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識求解.其實，任何一種解法都不可能憑空想象而來，它與解題實踐中積累的經(jīng)驗有密切的聯(lián)系.一方面，試題中所給出的已知條件∠D=∠E=90°，AD=7，BE=11，在直角梯形ABED中，根據(jù)這些條件不能直接求出等邊△ABC的邊長或面積，對于直角三角形而言，這些條件又比較分散.由此想到，利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換可以將已知條件轉(zhuǎn)換到直角三角形中，然后利用勾股定理求解.另一方面，受波利亞的著作《怎樣解題》一書中的“怎樣解題表”的影響，筆者想起了在學(xué)習(xí)直角三角形時，求解過如下幾何問題，由此也容易得出試題的解法.

如圖7，在四邊形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延長CD、BE，得到Rt△ABC.已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面積.

圖7

解析：由已知易知∠A=30°.

在Rt△ADE中，AD=2DE=2.所以AC=AD+CD=2+2=4.

點評：本題是北師大版八年級數(shù)學(xué)教科書上的一道習(xí)題，主要考查直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形面積的求法等知識.本題圖形簡潔，內(nèi)涵豐富，蘊含著重要的思想方法.在四邊形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，CD=2，DE=1，BC是未知量.已知條件中已經(jīng)反映出求解這類問題的方法，即延長CD和BE，從而得到Rt△ABC.根據(jù)勾股定理及直角三角形的邊角關(guān)系，即可求得線段BC與AD的長，從而求得Rt△ABC的面積.

受本例的啟發(fā)，筆者想到將圖1中的已知條件∠D=∠E=90°，AD=7，BE=11，通過圖形的旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)換到類似于圖7中的四邊形BCDE中，旋轉(zhuǎn)的角度與△ABC是等邊三角形有關(guān)，然后通過構(gòu)造直角三角形，使得問題得到圓滿解決.

三、變式探究

如圖1，點C在DE上，改變點C的位置，使點C在DE的延長線上，可以得到變式1.

解：如圖8，將△ADC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BGC，點D的對應(yīng)點為G.GC交BE于點F.

在Rt△FEC中，易求得CE=2.

在Rt△ADC中，易求得CD=7.從而可知DE=5.

基于變式1，改變圖8中△ABC的形狀，使△ABC是等腰三角形，且∠ACB=45°，可得變式2.

圖8

圖9

變式2：如圖9，在梯形ABED中，∠D=∠BED=90°，點C在DE的延長線上，△ABE是等腰三角形，且∠ACB= 45°，如果AD=4，BE=5，求DE的長.

解：如圖9，將△ADC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到△BGC，點D的對應(yīng)點為G.GC交BE于點F.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易知BG=AD=4，∠BGC=∠ADC= 90°，∠GCD=45°.

點評：變式1與變式2中，改變點C的位置，使點C在DE的延長線上，其解法與試題的解法2或解法3類似，都是通過圖形的旋轉(zhuǎn)變換將分散的條件轉(zhuǎn)換到直角三角形中，然后利用勾股定理及直角三角形的邊角關(guān)系求解.

改變圖1中△ABC的形狀，使△ABC是等腰三角形，且∠ACB=120°，可得變式3.

變式3：如圖10，在梯形ABED中，∠D=∠E=90°，△ABC是等腰三角形，且點C在DE上，∠ACB=120°，如果AD=2，BE=5，求DE的長.

解：如圖10，將△ADC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到△GBC，點D的對應(yīng)點為G.延長CG，交EB的延長線于點F.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易知GB=AD=2，∠BGC=∠ADC= 90°，∠GCD=120°，所以∠FCE=60°，∠F=30°.

在Rt△FGB中，易求得FB=2GB=4.從而可知EF=9.

在Rt△FCE中，由直角三角形的邊角關(guān)系，易求得CE=3

圖10

圖11

點評：改變圖1中△ABC的形狀，使△ABC是等腰三角形，其解法與試題的解法2或解法3類似，由此可以看出，旋轉(zhuǎn)變換是求解這類問題的通法.

將圖1中的梯形變?yōu)榫匦?，可得變?.

變式4：如圖11，四邊形ABCD是矩形，點E在AD上，點F在CD上，△BEF是等邊三角形.如果DE=7，BC=11，求AB的長.

解法提示：如圖11，將△DEF繞點F沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△GBF，點D的對應(yīng)點為G.延長GF，交BC的延長線于點H.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易知GB=DE=7，∠BGF=∠ADC= 90°，∠GFD=60°，所以∠GFC=120°，所以∠GBH=60°，∠H=30°.

在Rt△BGH中，易求得CH=3.

說明：本題也可以通過列二元二次方程組或無理方程求解，但對初中水平的學(xué)生而言，解這樣的方程（組）并不簡單.因此，圖形變換是解決這類問題的有效方法.

基于變式4，可得變式5.

圖12

變式5：如圖12，已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，求△CEF的周長.

解：如圖12，將△ABE繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG，則△ABE≌△ADG，所以AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG.

由∠EAF=45°，易知∠GAF=∠EAF.

由此可知△EAF≌△GAF，從而可知EF=GF.

從而易求得△CEF的周長為2.

點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識，將△ABE繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)造△GAF，由此得出△EAF≌△GAF，從而證明EF=GF，這是解決本題的關(guān)鍵.通過證明可知：只要點F不與點D或點C重合，點E不與點B或點C重合，不論點E、F分別在邊BC、CD上何處，只要保持∠EAF=45°，即可得到△CEF，而且它的周長是一個定值.

四、結(jié)束語

正如李玉榮老師所言：“在解題教學(xué)中，本著自然生成的原則，尋求自然解法無可厚非，但因循守舊、固步自封也會一無所獲.當(dāng)用自然解法受挫時，教師就必須想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生改進自然解法，或另辟蹊徑尋求其他解法，從而起到化隱為顯、化難為易的解題效果，實現(xiàn)解題從自然到完美的蛻變和升華.”在試題的求解過程中，如果本著自然生成的原則，尋求自然解法，會出現(xiàn)求解二元二次方程組或無理方程的問題，這對學(xué)生而言是不小的阻力，會使求解過程半途而廢.在這種情況下，需另辟蹊徑，根據(jù)圖形中已知條件的特征及解題實踐中積累的經(jīng)驗，進一步認(rèn)識問題的本質(zhì)，從多角度入手，追求其他自然解法，從而使問題圓滿解決.這不僅可以使學(xué)生對所學(xué)知識有更深層次的認(rèn)識，而且可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性.

1.李玉榮.自然解法“無果”，另辟蹊徑“有門”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

2.張寧.追尋本質(zhì)解法變式演繹精彩——一道競賽題的解法及變式探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.

3.張寧.對一道與正方形有關(guān)的競賽試題的變式探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

4.張寧.一道全國初中數(shù)學(xué)競賽試題的有關(guān)結(jié)論及變式探究［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2016（10）.

5.G·波利亞著.涂泓譯.怎樣解題［M］.上海：上海教育出版社，2011.