一類廣義非線性Schr?dinger擾動(dòng)耦合系統(tǒng)的可解性

金 鐘， 汪方圓，汪維剛*,張海濤，高旭輝

(1.合肥幼兒師范高等?？茖W(xué)校 基礎(chǔ)部,安徽 合肥, 230011；2.云南大學(xué) 軟件學(xué)院，云南 昆明 650091；3..桐城師范高等專科學(xué)校 理工系，安徽 桐城 231402)

1 引言

眾所周知，光傳播時(shí)具有波、粒二重性, 薛定諤方程就是這類光學(xué)模型之一。 非線性薛定諤方程已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在現(xiàn)代光通信技術(shù)中。

考慮如下一類廣義非線性薛定諤擾動(dòng)耦合模型:

a1uxx-a2u+a3uv=f(u,v),

(1)

b1vt-b2ux=g(u,v),

(2)

u(0,t)=h1(t),ux(0,t)=h2(t),v(x,0)=h3(x)

(3)

其中u(x,t),v(x,t)為對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的物理場(chǎng)函數(shù);ai,bj(i=1,2,3,j=1,2)為對(duì)應(yīng)物理量的加權(quán)參數(shù);f,g為物理場(chǎng)函數(shù)的擾動(dòng)項(xiàng),hi(i=1,2,3)為場(chǎng)函數(shù)的初始函數(shù), 它們是在相應(yīng)的變化范圍內(nèi)的充分光滑的函數(shù)。

2 無擾動(dòng)解

先考慮如下對(duì)應(yīng)的無擾動(dòng)情形簡(jiǎn)單的耦合系統(tǒng)

a1uxx-a2u=0,

(4)

b1vt-b2ux=0,

(5)

并滿足初始條件(3)的解。 顯然, (4), (5)的解為

其中Ci(i=1,2,3)為任意函數(shù)。 再由條件(3), 可決定Ci(i=1,2,3)為

于是問題(3)-(5)的解為

(6)

+h3(x).

(7)

3 擾動(dòng)泛函迭代初始解

選取方程(1)-(3)相關(guān)的線性齊次問題(3)-(5)的解(6), (7)為漸近解的泛函迭代式的初始迭代u0,v0。 即

(8)

+h3(x).

(9)

由于非線性耦合模型(1)-(3)一般不能得到有限項(xiàng)初等函數(shù)形式的精確解。 因此我們需要求出非線性擾動(dòng)薛定諤擾動(dòng)耦合模型(1)-(3)解的近似表示式。

為此構(gòu)造泛函迭代式

-a2u(n-1)ξ+a3un-1vn-1,n=1,2,…,

+h3(x),n=1,2,…,

4 擾動(dòng)泛函迭代解

由漸近解的泛函迭代式, 可以得到廣義非線性薛定諤擾動(dòng)耦合模型(1)-(3)的一次泛函迭代解u1app,v1app:

-f(u0,v0))]dξ,

(10)

+g(u1app,v0))dτ+h3(x),

(11)

其中u0,v0由(8), (9)式表示, (11)式中的u1app由(10)式表示。

繼續(xù)由漸近解的泛函迭代(10)和(11)式, 可以得到廣義非線性薛定諤擾動(dòng)耦合模型(1)-(3)的二次泛函迭代解u2app,v2app:

-a2u1appξ+a3u1appv1app)

-f(u1app,v1app)]dξ,

(12)

(13)

同樣, 可以依次得到廣義非線性薛定諤擾動(dòng)耦合模型(1)-(3)的各次泛函迭代解unapp,vnapp,(n=3,4,…)。將unapp,vnapp,(n=3,4,…)兩邊取極限n→, 顯然，由

(14)式確定的極限函數(shù)(u(x,t),v(x,t))就是廣義非線性薛定諤擾動(dòng)耦合模型(1)-(3)的一組精確解(uexa(x,t),vexa(x,t))。 因而,unapp(x,t),vnapp(x,t)就是擾動(dòng)方程模型(1)-(3)對(duì)應(yīng)精確解(uexa(x,t),vexa(x,t))的n次泛函近似解析解。可以用泛函原理和不動(dòng)點(diǎn)理論證明，由上述得到的近似解析函數(shù)序列unapp,vnapp在自變量的有限區(qū)域范圍內(nèi)是一致收斂的。

5 結(jié)語

已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在現(xiàn)代光通信技術(shù)中的一類廣義非線性薛定諤擾動(dòng)耦合模型,我們可以通過求解其特定的非線性方程來控制它,為了達(dá)到精確控制,首先建立初始解模型,即無擾動(dòng)狀態(tài)下的解,然后以此作基礎(chǔ),構(gòu)造泛函迭代式,求解不斷接近準(zhǔn)確解的泛函迭代解,不僅解決了該系統(tǒng)的可解性和可控制性的問題,而且解決了精確控制的問題。

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