基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計

陳 靜，吳振揚 ，王文博，閆 昊

(1.桂林理工大學 a.廣西礦冶與環(huán)境科學實驗中心；b.機械與控制工程學院，廣西 桂林 541004；2.中國能源建設集團江蘇省電力建設第三工程有限公司 熱機專業(yè)公司，江蘇 鎮(zhèn)江 212001)

基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計

陳 靜1a,1b，吳振揚2，王文博1b，閆 昊1b

(1.桂林理工大學 a.廣西礦冶與環(huán)境科學實驗中心；b.機械與控制工程學院，廣西 桂林 541004；2.中國能源建設集團江蘇省電力建設第三工程有限公司 熱機專業(yè)公司，江蘇 鎮(zhèn)江 212001)

為了提高機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計工程適用性，分析機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計過程，綜合考慮目標函數(shù)和約束的穩(wěn)健性、設計變量的離散性、設計變量區(qū)間的公差約束，建立基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學模型，結合機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計特點，構建連續(xù)型設計變量和離散型設計變量二級穩(wěn)健優(yōu)化設計框架和流程，最后通過實例驗證了該方法的有效性。

區(qū)間分析；機械結構；穩(wěn)健優(yōu)化；公差

0 引言

機械結構設計過程中，存在各種不確定性因素，如材料特性、結構尺寸、載荷等的波動變化會影響產品質量特性。影響產品的質量特性的不確定性因素可以分成兩類，可控制因素和不可控制因素?？煽刂埔蛩匾卜Q為設計變量，如結構尺寸、材料的種類等；不可控制因素就是指在設計及加工的過程中人為不好控制的因素，也稱為設計參數(shù)，如載荷、材料特性等，或者是即使可以控制，也需要大量的時間或者金錢成本。穩(wěn)健設計[1]是研究在考慮不確定性因素的前提下降低不確定性因素對產品質量的影響。穩(wěn)健優(yōu)化設計通過增強對可控制因素的控制，使產品性能受不確定因素變化的影響較小，在工程設計問題中得到廣泛應用[2-3]。

根據(jù)對不確定因素處理方式的不同，穩(wěn)健優(yōu)化設計可被分成概率和非概率穩(wěn)健優(yōu)化設計兩種。概率穩(wěn)健優(yōu)化設計，需要預先知道不確定因素的概率密度函數(shù)，并且在實際工程中，某些不確定因素的精確概率分布很難獲得[4]。對于很難找到其概率分布的不確定參數(shù)可以用區(qū)間來描述。因此，基于區(qū)間分析的非概率穩(wěn)健優(yōu)化設計[5-6]在工程中的應用越來越廣泛。

在機械結構的優(yōu)化設計方面，國內外學者運用區(qū)間分析方法做了大量研究探索。孫偉等[7]直接利用區(qū)間分析算法求得在不確定因素影響下變化后的目標函數(shù)及約束的上下界，采用確定性的區(qū)間數(shù)序排列方法和基于度的區(qū)間數(shù)序排列方法對穩(wěn)健優(yōu)化的數(shù)學模型進行轉換,并且能夠求得滿足決策者任意偏好信息的穩(wěn)健解。董榮梅等[8]能夠根據(jù)設計者的偏好求解具有任意穩(wěn)健性指標的優(yōu)化解。許煥衛(wèi)等[7]提出利用最大波動法分析目標函數(shù)及約束的穩(wěn)健性。Jinglai Wu等[9]提出用高階泰勒包含函數(shù)來解決區(qū)間運算的擴展問題。但是，目前穩(wěn)健優(yōu)化的數(shù)學模型主要針對連續(xù)型設計變量，在機械結構的設計變量中，結構尺寸多數(shù)為整數(shù)，還有推薦的尺寸系列或經(jīng)驗值，并且結構尺寸還有公差，因此，連續(xù)型設計變量的優(yōu)化結果并不能直接使用。為了提高機械結構穩(wěn)健優(yōu)化的工程適用性，本文在文獻[7-8]提出的穩(wěn)健優(yōu)化的數(shù)學模型的基礎上，同時考慮離散型設計變量和設計變量的公差，研究基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計。

1 機械結構穩(wěn)健優(yōu)化工程設計過程

(1)連續(xù)型設計變量穩(wěn)健優(yōu)化設計

基于連續(xù)型設計變量和設計參數(shù)進行穩(wěn)健優(yōu)化設計，得到連續(xù)型設計變量的優(yōu)化結果。

(2)結構尺寸優(yōu)化設計

對于設計變量中的結構尺寸，首先，將連續(xù)型設計變量的優(yōu)化結果圓整后，再取推薦的尺寸系列或經(jīng)驗值，常用的取值方法有取最近的值、取最近的大值、取最近的小值等方法。結構尺寸經(jīng)取值后,是否能達到穩(wěn)健設計的目標是不確定的。

(3)結構尺寸公差設計

結構尺寸可按標準公差系列確定公差，標準公差系列由基本尺寸的標準公差和公差等級構成，國家標準對基本尺寸進行了分段，結構尺寸的標準公差值依據(jù)其基本尺寸所處的尺寸分段來確定。因此,結構尺寸是區(qū)間數(shù)，即設計變量值是區(qū)間數(shù)。此時,特別是結構尺寸中的自由尺寸，其公差值較大，是否還能達到穩(wěn)健設計的目標也是不確定的。

2 基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計數(shù)學模型

2.1 目標函數(shù)的穩(wěn)健性

2.1.1 優(yōu)化模型

目標函數(shù)的穩(wěn)健性指同時優(yōu)化目標的均值和波動，并考慮結構尺寸的公差約束，建立含不確定因素的優(yōu)化模型為：

s.t.

hj(X,Y)=0;j=1,2,…,m

Xmin+ΔX1≤X≤Xmax-ΔX2

(1)

2.1.2 結構尺寸的公差約束

由于結構尺寸公差有對稱公差和不對稱公差，采用上偏差ΔX1和下偏差ΔX2表達結構尺寸公差，用區(qū)間數(shù)表達包含公差的結構尺寸，采用區(qū)間數(shù)的運算，表達包含公差的結構尺寸的約束，其表達式為：

(2)

2.1.3 不確定性目標函數(shù)的確定性轉換

i=1,2,…,t

(3)

(4)

式中，Ac、Ar、Bc、Br分別為區(qū)間AI和BI的中值與半徑。

由式(4)可知，當且僅當區(qū)間BI的中值和半徑都小于區(qū)間AI的中值和半徑時，區(qū)間BI才優(yōu)于區(qū)間AI。對于BI，其中值和半徑的計算公式為：

(5)

式中，

(6)

(7)

(8)

式中，λ為權重系數(shù)，0≤λ≤1。

2.2 不等式約束的穩(wěn)健性

(9)

(10)

(11)

2.3 等式約束的穩(wěn)健性

(12)

式(12)可以轉化為兩個不等式約束：

(13)

若設計者要求等式約束的穩(wěn)健性不小于φj時，式(13)可以轉化為[4]：

(14)

3 基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計

3.1 機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計求解策略

根據(jù)上述目標函數(shù)及約束的穩(wěn)健性分析，將不確定性的優(yōu)化轉化為確定性的優(yōu)化問題后,優(yōu)化模型呈現(xiàn)多目標、非線性的形式。罰函數(shù)法是一種將有約束的優(yōu)化轉化成無約束優(yōu)化的方法，其結構簡單、計算方便、求解效率高；遺傳算法是一種啟發(fā)式的隨機搜索方法，其全局搜索性強、搜索效率較高。因此，本文采用罰函數(shù)法將有約束的優(yōu)化轉化成無約束優(yōu)化問題，采用遺傳算法對優(yōu)化問題進行求解。

3.2 機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計框架和流程

3.2.1 基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計框架

依據(jù)基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計數(shù)學模型,結合機械結構穩(wěn)健優(yōu)化工程設計過程，將機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計框架分為連續(xù)型設計變量穩(wěn)健優(yōu)化、離散型設計變量穩(wěn)健優(yōu)化兩個階段。

3.2.2 基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計流程

依據(jù)基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計框架,建立基于區(qū)間分析的機械結構兩級穩(wěn)健優(yōu)化設計流程圖如圖1所示。

(1)連續(xù)型設計變量穩(wěn)健優(yōu)化設計

①在設計變量區(qū)間隨機選取X，產生初始種群。

②依據(jù)設計參數(shù)區(qū)間，計算目標函數(shù)的間，進行不確定目標函數(shù)確定性轉換，設置目標權重λ，采用加權法將雙目標優(yōu)化轉化為單目標優(yōu)化。

③依據(jù)設計參數(shù)區(qū)間，計算約束區(qū)間，計算約束的區(qū)間可能度，進行不確定約束確定性轉換。

④采用罰函數(shù)法將有約束優(yōu)化轉化為無約束優(yōu)化，采用遺傳算法對無約束優(yōu)化問題進行求解；如果收斂或者達到最大迭代次數(shù)，得到設計變量X的連續(xù)型優(yōu)化解；否則，根據(jù)X和公差查標準得上偏差ΔX1和下偏差ΔX2。

圖1 基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計流程圖

(2)離散型設計變量穩(wěn)健優(yōu)化設計

①依據(jù)連續(xù)型設計變量X的優(yōu)化解，采用取最近的值的方法，將X離散化得Xd。

②根據(jù)Xd和公差查標準得上偏差ΔXd1和下偏差ΔXd2。

依據(jù)基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化流程可知，①通過區(qū)間數(shù)學的包含關系，判斷含公差的設計變量是否在設計變量區(qū)間，來考慮設計變量的公差約束；②設計變量離散化策略，采用取最近值的方法，得到離散化設計變量；③當離散型設計變量不滿足設計變量約束時，采用取最近值的方法對其進行調整。

4 算例

懸臂梁結構如圖2所示，在懸臂梁上分別作用兩個集中載荷F1和F2。

圖2 懸臂梁結構

懸臂梁的優(yōu)化問題要求在嚴格滿足強度和剛度的約束條件下，懸臂梁的造價最低，將懸臂梁的造價最低轉化為體積最小的問題，則懸臂梁的優(yōu)化問題的數(shù)學模型為：

依據(jù)基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計流程，采用兩種方法對該優(yōu)化問題進行求解，分別是不考慮公差的穩(wěn)健優(yōu)化解法(M1)和本文提出的方法(M2)，優(yōu)化結果如表1所示，強度和剛度如表2所示；依據(jù)式(11)計算不等式約束的穩(wěn)健性，不等式約束穩(wěn)健性如表3所示，其中該問題的三個約束函數(shù)的穩(wěn)健性指標分別用R1、R2、R3表示。

表1 優(yōu)化結果

表2 強度和剛度

表3 不等式約束穩(wěn)健性

由表1可知，本文提出方法所得的優(yōu)化結果為帶有公差的整數(shù)，可以直接用于工程設計。由表1、表2、表3可知，不考慮公差的穩(wěn)健優(yōu)化解好，但是，本文所提出方法所得的優(yōu)化結果的約束穩(wěn)健性高、強度和剛度高，因此，本文提出方法所得的優(yōu)化結果損失了目標函數(shù)，但穩(wěn)健性得到了提高。上述結果表明，要獲得較大的穩(wěn)健性，需要犧牲部分目標函數(shù)。

5 結論

結合機械結構穩(wěn)健優(yōu)化工程設計過程的特點，在考慮目標函數(shù)和約束的穩(wěn)健性的基礎上，同時考慮設計變量的公差、設計變量的離散性，建立基于區(qū)間分析的機械結構穩(wěn)健優(yōu)化設計模型，構建連續(xù)型設計變量和離散型設計變量的二級穩(wěn)健優(yōu)化設計框架和流程。本文提出方法所得的優(yōu)化結果，可以直接用于機械結構的設計，并且，相對于不考慮結構尺寸公差的方法，穩(wěn)健性好，提高了機械結構穩(wěn)健優(yōu)化的工程適用性。

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(編輯 李秀敏)

Robust Optimal Design of Mechanical Structure Based on Interval Analysis

CHEN Jing1a,1b, WU Zhen-yang2, WANG Wen-bo1b,YAN Hao1b

(1.a.Guangxi Scientific Experiment Center of Mining, Metallurgy and Environment;b.School of Mechanical and Control Engineering,Guilin University of Technology, Guilin Guangxi 541004,China;2. Engine Professional Company,China Energy Engineering Group Jiangsu No.3 Electric Power Construction Co., Ltd.,Zhenjiang Jiangsu 212001, China)

In order to improve the engineering applicability of robust optimization design of mechanical structure, analyzed the process of robust optimization design of mechanical structure, Comprehensive consideration of the robustness of objective function and constraint function, discreteness of design variables and tolerance constraints of design variable interval, to build the robust optimization mathematical model of mechanical structure based on interval analysis, to build two levels of robust optimization design frameworks and processes of continuous and discrete design variables with the features of robust optimization design of mechanical structure. Finally, an example was used to verify the effectiveness of the given method.

interval analysis; mechanical structure; robust optimization; tolerances

1001-2265(2017)02-0041-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.02.011

2016-05-29；

2016-07-04

陳靜(1963—)，女，重慶人，桂林理工大學副教授，研究方向為不確定性多學科優(yōu)化，(E- mail) jingc812@163.com。

TH122；TG65

A