直流電機(jī)無(wú)抖動(dòng)滑模位置控制*

張江華

(常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164)

直流電機(jī)無(wú)抖動(dòng)滑模位置控制*

張江華

(常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164)

針對(duì)直流電機(jī)伺服系統(tǒng)中普遍存在的參數(shù)不確定性以及不確定性非線性等各種擾動(dòng)，提出了一種基于擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)臒o(wú)抖動(dòng)終端滑模位置控制策略，實(shí)現(xiàn)了直流電機(jī)伺服系統(tǒng)的高精度位置跟蹤控制。系統(tǒng)模型考慮了非線性摩擦特性以及外干擾等建模不確定性。所提出的全狀態(tài)控制器對(duì)連續(xù)非線性摩擦進(jìn)行了前饋補(bǔ)償，進(jìn)一步改善了系統(tǒng)的低速伺服性能；通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)未建模干擾等不確定性進(jìn)行估計(jì)并前饋補(bǔ)償，提高了系統(tǒng)對(duì)外干擾的魯棒性。同時(shí)，所設(shè)計(jì)的控制器還能保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)趨于平衡狀態(tài)，提高了系統(tǒng)的快速跟蹤性能。最終，通過(guò)對(duì)比的仿真結(jié)果對(duì)其進(jìn)一步工程應(yīng)用具有實(shí)際指導(dǎo)意義。

直流電機(jī)；終端滑模；擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器；運(yùn)動(dòng)控制

0 引言

直流電機(jī)伺服系統(tǒng)由于其響應(yīng)的速度快、傳動(dòng)的效率高以及維護(hù)方便等一系列優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛地應(yīng)用于國(guó)防、航空航天、民用工業(yè)等領(lǐng)域[1-3]。隨著這些領(lǐng)域的不斷快速發(fā)展，對(duì)其跟蹤性能的要求也越來(lái)越高，而系統(tǒng)的性能則與控制器的設(shè)計(jì)密切相關(guān)。直流電機(jī)伺服系統(tǒng)是一個(gè)典型的不確定以及非線性的系統(tǒng)，在設(shè)計(jì)控制器的過(guò)程中會(huì)面臨許多建模的不確定性，包括結(jié)構(gòu)不確定性(如隨環(huán)境、工況等變化的參數(shù)不確定性等)以及非結(jié)構(gòu)不確定性(如未建模動(dòng)態(tài)、外部擾動(dòng)等)，這些存在的不確定性因素可能會(huì)使系統(tǒng)期望的控制性能得到嚴(yán)重惡化，導(dǎo)致不理想的控制精度，產(chǎn)生極限環(huán)振蕩，甚至使所設(shè)計(jì)的控制器不穩(wěn)定，從而使控制器的設(shè)計(jì)變得困難[1]。

針對(duì)考慮電機(jī)伺服系統(tǒng)中存在的各種不確定性的位置控制策略，學(xué)者們進(jìn)行了大量的研究，主要有反饋線性化[4-5]、自適應(yīng)魯棒[3,6-7]以及滑模[8-11]等控制方法。反饋線性化控制方法可以保證系統(tǒng)的高性能，但是其前提是所建立的數(shù)學(xué)模型必須非常準(zhǔn)確，而在實(shí)際應(yīng)用中獲取系統(tǒng)的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型是比較困難的。自適應(yīng)魯棒控制方法[12]能夠?qū)σ活?lèi)同時(shí)存在結(jié)構(gòu)不確定性和非結(jié)構(gòu)不確定性的系統(tǒng)進(jìn)行有效的控制，然而隨著外部干擾的不斷增大，其可能會(huì)使系統(tǒng)的跟蹤性能變差，甚至使整個(gè)系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。較強(qiáng)的外干擾意味著較差的跟蹤性能，這是非線性自適應(yīng)魯棒控制器在實(shí)際使用時(shí)暴露出來(lái)的主要問(wèn)題。而存在的一些觀測(cè)器比如擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器[13]能夠?qū)ο到y(tǒng)中存在的強(qiáng)干擾予以有效的估計(jì)。滑?？刂品椒▽?duì)系統(tǒng)中存在的一些不確定性有很強(qiáng)的魯棒性，其主要包括一般的線性滑?？刂芠8]和終端滑?？刂芠9-11]等。但是傳統(tǒng)的滑?？刂破骺赡軙?huì)存在抖動(dòng)現(xiàn)象，同時(shí)終端滑?？刂破骺赡軙?huì)存在奇異性問(wèn)題。

本文為解決現(xiàn)有直流電機(jī)伺服系統(tǒng)控制中常被忽略的系統(tǒng)建模不確定性、實(shí)際使用時(shí)存在的高增益反饋及基于傳統(tǒng)的滑?？刂破鞔嬖诙秳?dòng)現(xiàn)象的問(wèn)題，建立了包含連續(xù)靜態(tài)摩擦模型的非線性系統(tǒng)模型，提出一種基于擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)闹绷麟姍C(jī)伺服系統(tǒng)無(wú)抖動(dòng)滑模位置控制策略。本文將利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)直流電機(jī)伺服系統(tǒng)中可能存在的大的擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)地估計(jì)，并在設(shè)計(jì)控制器的過(guò)程中利用這些估計(jì)的擾動(dòng)值進(jìn)行補(bǔ)償。所提出的控制方法為全狀態(tài)反饋控制且其控制電壓連續(xù)，十分有利于在工程實(shí)際中得到應(yīng)用。對(duì)比的仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出控制策略的有效性和先進(jìn)性。

1 直流電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性數(shù)學(xué)模型

在建立直流電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性模型時(shí)，主要有考慮系統(tǒng)的電氣動(dòng)態(tài)和不考慮系統(tǒng)的電氣動(dòng)態(tài)兩種形式。當(dāng)直流電機(jī)伺服系統(tǒng)中的驅(qū)動(dòng)器內(nèi)固化的電流環(huán)控制器動(dòng)態(tài)過(guò)程比較慢時(shí)，則基于考慮系統(tǒng)的電氣動(dòng)態(tài)的模型會(huì)更加有效，反之則不需要考慮系統(tǒng)的電氣動(dòng)態(tài)[14]。實(shí)際應(yīng)用的電機(jī)，其電氣過(guò)程大多相當(dāng)快，所以不需要考慮系統(tǒng)的電氣動(dòng)態(tài)，若考慮反而使得控制器設(shè)計(jì)變得困難同時(shí)其控制性能也未必能得到有效的提高。因此，根據(jù)牛頓第二定律，建立直流旋轉(zhuǎn)電機(jī)位置伺服系統(tǒng)(如圖1所示)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下：

(1)

圖1 直流電機(jī)伺服系統(tǒng)

本文選取如下所示的連續(xù)靜態(tài)摩擦模型為[2]：

(2)

y=x1

(3)

式中，θ1=kf/J，θ2=B/J，θ3=l1/J，θ4=l2/J，η(t,x)=d(t,x)/J，并且參數(shù)θ1、θ2、θ3、θ4均為已知的名義值，所有參數(shù)偏差造成的不確定性影響都可以歸結(jié)到系統(tǒng)中總的干擾η(t,x)中。

2 基于擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)幕？刂破髟O(shè)計(jì)

控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使直流旋轉(zhuǎn)電機(jī)伺服系統(tǒng)的位置輸出x1盡可能準(zhǔn)確地跟蹤期望跟蹤的位置指令x1d，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)存在的總干擾η(t,x)具有良好的魯棒性。

2.1 設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)擾動(dòng)

(4)

根據(jù)擴(kuò)張后的狀態(tài)方程(4)，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為[15]：

(5)

(6)

(7)

根據(jù)矩陣W的定義可知其滿(mǎn)足赫爾維茨準(zhǔn)則，因而存在一個(gè)正定且對(duì)稱(chēng)的矩陣P，使得WTP+PW=-I成立。

引理[16]：若h0(t)有界，則系統(tǒng)的狀態(tài)及總干擾的估計(jì)誤差總是有界的并且存在常數(shù)δi>0以及有限時(shí)間T1>0使得：

(8)

2.2 控制器設(shè)計(jì)

選取終端滑模面為：

(9)

式中，s為選取的終端滑模面；c1、c2是常數(shù)且其多項(xiàng)式p2+c2p+c1(p為拉普拉斯算子)滿(mǎn)足滿(mǎn)足赫爾維茨準(zhǔn)則，即多項(xiàng)式的所有特征根在復(fù)平面的左半平面；α1=α/(2-α)，α2=α，α為常數(shù)且α∈(0,1)；e1=x1-x1d為系統(tǒng)的跟蹤誤差，其中x1d是系統(tǒng)期望跟蹤的位置指令，并假設(shè)此指令值是關(guān)于時(shí)間二階連續(xù)可微的；sign(·)為標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)函數(shù)。

(10)

設(shè)計(jì)的基于擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)碾姍C(jī)伺服系統(tǒng)無(wú)抖動(dòng)滑?？刂破魅缦拢?/p>

(11)

2.3 穩(wěn)定性證明

基于非線性直流電機(jī)伺服系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的基于擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)臒o(wú)抖動(dòng)終端滑模位置控制器將會(huì)使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)以指數(shù)收斂速率到達(dá)滑模面s=0，然后將會(huì)沿著滑模面s=0在有限時(shí)間內(nèi)趨于平衡狀態(tài)。

根據(jù)控制理論中系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[17-19]，選取李亞普諾夫方程為：

(12)

運(yùn)用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論進(jìn)行穩(wěn)定性證明，對(duì)式(12)求導(dǎo)，并將公式(10)、公式(11)帶入求導(dǎo)后的李亞普諾夫方程可得：

(13)

(14)

由于0<ρ<1，1<1/[ρ+(1-ρ)e-φ|s|γ]<1/ρ，因此可得：

(15)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)終端滑模面s時(shí)，則：

(16)

因此，系統(tǒng)的跟蹤誤差將會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)趨于零，從而使系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面s=0在有限時(shí)間內(nèi)趨于平衡狀態(tài)[17-21]。

所提出的直流電機(jī)位置伺服系統(tǒng)非線性控制原理及流程如圖2所示。

圖2 電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性控制原理及流程圖

3 仿真驗(yàn)證

直流電機(jī)伺服系統(tǒng)參數(shù)為：慣性負(fù)載參數(shù)J=0.05kg·m2；力矩放大系數(shù)kf=5N·m/V；粘性摩擦系數(shù)B=4N·m·s/rad；連續(xù)摩擦模型參數(shù)q1=750，q2=20，q3=2，l1=0.15，l2=0.1。為了驗(yàn)證系統(tǒng)在所設(shè)計(jì)的控制器作用下對(duì)外干擾的魯棒性，擾動(dòng)d(t)=2sin(2πt)(1-e-0.1t3)N·m，為了防止剛開(kāi)始加入擾動(dòng)之后產(chǎn)生沖擊作用，因此對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行了光滑處理；系統(tǒng)期望跟蹤的位置指令為曲線x1d=sin(πt)(1-e-0.1t3)rad，采用這樣的指令是確保其足夠光滑。仿真采樣步長(zhǎng)為0.2ms。

本文將基于以下兩種控制器針對(duì)所建立的直流電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真對(duì)比。

(1)DCTSM：這是本文所設(shè)計(jì)的基于擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)慕K端滑模位置控制器，經(jīng)過(guò)不斷反復(fù)調(diào)試，其控制器參數(shù)選取為ω0=480，α=9/16，c1=10，c2=7，E=50，ρ=0.8，φ=2，γ=2。

(2)PID：這是Proportion Integration Differentiation(比例積分微分)控制器[22]。其中PID控制器參數(shù)的選取步驟是：首先把比例增益湊試好，直到過(guò)渡過(guò)程基本穩(wěn)定，然后再調(diào)節(jié)積分增益消除余差，最后通過(guò)調(diào)節(jié)微分增益進(jìn)一步提高控制效果。經(jīng)過(guò)不斷反復(fù)調(diào)試，其控制器參數(shù)選取為比例增益kp=1000，積分增益ki=200，微分增益kd=1。

圖3 DCTSM控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤性能以及 DCTSM和PID控制器分別作用下系統(tǒng)的 跟蹤誤差曲線

圖4 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)總干擾d(t) 的估計(jì)值以及其估計(jì)誤差曲線

圖5 ω0為0時(shí)DCTSM控制器作用下系統(tǒng) 的跟蹤性能以及跟蹤誤差曲線

圖3中上圖表示本文所設(shè)計(jì)的DCTSM控制器作用下其位置輸出跟蹤期望位置指令的曲線，下圖表示DCTSM和PID控制器分別作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差隨時(shí)間變化的曲線。從圖中可以明顯地看出，PID控制器作用下系統(tǒng)的最大穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為3×10-3左右而DCTSM控制器作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差幾乎為0，本文所設(shè)計(jì)的DCTSM控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于PID控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差，大大的提高了系統(tǒng)的跟蹤性能，表現(xiàn)出良好的跟蹤性能，利于在直流電機(jī)伺服系統(tǒng)高精度位置控制場(chǎng)合應(yīng)用。

圖4中上圖是擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中的總干擾d(t)的估計(jì)值隨時(shí)間變化的曲線，下圖是其估計(jì)誤差隨時(shí)間變化的曲線。從圖中曲線可以看出其最大跟蹤誤差為0.1左右，約占總干擾值的5%，從而可得所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器能夠準(zhǔn)確地將系統(tǒng)中的大干擾估計(jì)出來(lái)。由于仿真中使用的是大的高頻干擾，因此其估計(jì)誤差會(huì)比小的低頻擾動(dòng)相對(duì)大。當(dāng)把擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的參數(shù)ω0置0，也就是在控制器設(shè)計(jì)時(shí)不使用該擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，仿真如圖5所示，系統(tǒng)的跟蹤性能會(huì)變得很差，從這個(gè)方面也表明了所設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器能有效估計(jì)并補(bǔ)償擾動(dòng)。

圖6是DCTSM控制器作用下直流電機(jī)伺服系統(tǒng)的控制輸入電壓隨時(shí)間變化的曲線，從圖中可以清楚地看出所得到的控制輸入信號(hào)連續(xù)且有界，有利于在工程實(shí)際中應(yīng)用。

圖6 DCTSM控制器作用下系統(tǒng)的控制輸入曲線

4 結(jié)論

本文針對(duì)直流電機(jī)伺服系統(tǒng)高精度位置控制設(shè)計(jì)出了基于擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)慕K端滑模位置控制策略。該控制方法通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中存在的未建模干擾等不確定性進(jìn)行估計(jì)并前饋補(bǔ)償，極大地提高了系統(tǒng)對(duì)外干擾的魯棒性。所設(shè)計(jì)的控制器簡(jiǎn)單并且其輸出電壓不會(huì)產(chǎn)生抖動(dòng)及奇異現(xiàn)象，同時(shí)該控制器能保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)趨于平衡狀態(tài)，通過(guò)Lyapunov函數(shù)證明了整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)比仿真結(jié)果表明，所提出的控制方法極大地提高了系統(tǒng)的跟蹤精度，有利于在工程實(shí)際中應(yīng)用。

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(編輯 李秀敏)

Free Chattering Sliding Mode Motion Control for DC Motors

ZHANG Jiang-hua

(Changzhou Institute of Mechatronic Technology, Changzhou Jiangsu 213164, China)

For all kinds of disturbances existing in DC motor servo systems such as parametric uncertainties and uncertain nonlinearities and so on, we propose a disturbance compensation based free chattering terminal sliding mode control strategy which implements high-precision position tracking control of DC motors. The established system model takes nonlinear friction characteristics and modeling uncertainties as well as external disturbances of the system into account. The proposed full state controller feedforward compensates the nonlinear continuous friction and further improves low-speed servo performance of the system. By utilizing an extended state observer to estimate the model uncertainties as well as external disturbances and feedforward compensating it, the robustness of the system to external disturbances has been improved. At the same time, the presented controller can guarantee the system state converge to the equilibrium state in a finite time, which improves the fast tracking performance of the system. Eventually, comparing simulation results do have practical guiding significance to the further engineering application.

DC motors; terminal sliding mode; extended state observer; motion control

1001-2265(2017)02-0089-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.02.022

2016-10-13；

2016-11-11

國(guó)家自然科學(xué)基金科研資助項(xiàng)目(51675279)

張江華(1973—)，男，浙江東陽(yáng)人，常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)-電-液伺服控制，非線性控制，(E-mail)zhj88000@163.com。

TH166;TG506

A