“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)

袁 云

（江蘇省南京市第十三中學(xué)，江蘇南京 210008）

引 言

高中階段導(dǎo)數(shù)是研究變量和函數(shù)的重要手段，導(dǎo)數(shù)的概念從實(shí)際問題抽象而來，是對函數(shù)的圖象與性質(zhì)的總結(jié)與拓展，是研究單調(diào)性、最值問題，以及某些不等式的證明、求解和數(shù)列求解的重要工具[1]。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性這節(jié)課最大的難點(diǎn)在于如何把導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性聯(lián)系起來，是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)分析還是從單調(diào)性定義引入，都覺得很突兀。

本節(jié)課主要以如何求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為主線，以數(shù)到形、形到數(shù)的切換為輔線，實(shí)現(xiàn)從觀察到發(fā)現(xiàn)、到驗(yàn)證、到應(yīng)用的一個(gè)過程。高中數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。本節(jié)課通過典型例子的引入和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)含在其中的思想方法——特殊到一般的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想、算法的思想，使學(xué)生認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)比單調(diào)性更加精確地反映函數(shù)的變化趨勢，自主探究過程過渡自然，拉近了學(xué)生與研究問題的距離，有利于發(fā)揮學(xué)生思維的主動(dòng)性，突破教學(xué)難點(diǎn)。

一、教學(xué)過程

1.教學(xué)引入

展示一組過山車的圖片，和同學(xué)交流坐過山車沖入云霄又墜入谷底的感覺。提出從數(shù)學(xué)的角度看游客的位置與時(shí)間之間的關(guān)系，學(xué)生很快說出是函數(shù)關(guān)系。那么上升和下降過程中，函數(shù)值的變化可以用函數(shù)的哪個(gè)性質(zhì)描述呢，學(xué)生立刻聯(lián)想到單調(diào)性，從而引入本節(jié)課研究的問題，進(jìn)一步研究函數(shù)的單調(diào)性。

2.問題導(dǎo)入

問題1 求函數(shù)y=x2-4x+3的單調(diào)區(qū)間。

師：同學(xué)們思考一下如何求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？生：畫出函數(shù)的圖象，對稱軸為x=2，開口向上，所以單調(diào)增區(qū)間：（2，+∞）單調(diào)減區(qū)間：(－∞，2)。師：從圖象看就能確定一定是單調(diào)的嗎？生：可以用定義證明。師：請問單調(diào)性的定義是什么？以單調(diào)增為例。生：在區(qū)間上任取x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2)成立。師：非常好。剛才同學(xué)們從形的角度即圖象讀出函數(shù)是上升還是下降的，從而指出單調(diào)區(qū)間。又從數(shù)的角度進(jìn)行了論證。下面繼續(xù)看函數(shù)y=2x3-6x2+7，怎么求它的單調(diào)區(qū)間。生：用定義。師：為什么不畫圖？生：不會畫。師：求單調(diào)區(qū)間最直接的方法就是從形的角度去看，無法畫出圖象就選擇定義解決，那么繼續(xù)看y=ex-x，怎么求它的單調(diào)區(qū)間。生：圖不會畫，定義也用不了了，因?yàn)閒(x)-f(x)=(ex1-ex2)+(x-x)一正一負(fù)，確定不了符號。師：

1221從形的角度和數(shù)的角度都解決不了，只有另辟蹊徑，大家思考一下還有什么辦法？生：導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，感覺可以。師：導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是瞬時(shí)變化率，也是研究變化趨勢的，應(yīng)該可以，不妨我們來研究下一個(gè)問題。

問題2 導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性有什么聯(lián)系？

師：導(dǎo)數(shù)幾何意義是切線的斜率，那么在剛才的函數(shù)圖象上分別取點(diǎn)作出該點(diǎn)處的切線，觀察有什么規(guī)律。生：在對稱軸左側(cè)的點(diǎn)切線的傾斜角為鈍角斜率為負(fù)，在對稱軸右側(cè)的點(diǎn)切線的傾斜角為銳角斜率為正。師：回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義，說明了什么？生：在對稱軸左側(cè)導(dǎo)數(shù)值為負(fù)，函數(shù)遞減。右側(cè)為正，函數(shù)遞增。師：這樣就是說函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有密切聯(lián)系，你能說出一般性結(jié)論嗎？生：一般地，對于函數(shù)f(x)，x∈D，若f'(x)＞0，則f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)。若f'(x)＜0，則f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù)。師：我們從形的角度得到一般性的結(jié)論能不能從數(shù)的角度進(jìn)行論證呢?老師一邊指引學(xué)生一邊在黑板上板書論證過程。導(dǎo)數(shù)本質(zhì)瞬時(shí)變化率是由平均變化率逼近而來，導(dǎo)數(shù)大于0則平均變化率大于0。由表明分子分母同號，進(jìn)而滿足定義。師：找出了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系，我們回頭解決剛才的問題。老師帶領(lǐng)學(xué)生一起解決，老師板演。

例1 求函數(shù)y=2x3-6x2+7的單調(diào)增區(qū)間。

解：f '(x)=6x2-12x

令 f '(x)＞0得 x＞2或 x＜0

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)，（2，＋∞）

例2 求函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]單調(diào)減區(qū)間。

解：f '(x)=cosx

師：求單調(diào)區(qū)間注意什么？

生：單調(diào)區(qū)間不能并，要用逗號隔開或者連接，還要注意定義域。

問題3 如何利用導(dǎo)數(shù)大致地作出函數(shù)的圖象呢？

生：求出f(0)=7，f(2)=-1，利用遞增遞減區(qū)間畫出函數(shù)y=2x3-6x2+7的圖象

師：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性聯(lián)系如此緊密，不僅可以利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間還可以畫出原函數(shù)的大致圖象，這都離不開結(jié)論?；仡^看結(jié)論大家想一想，反過來成立嗎？

問題4 如果函數(shù)y＝f (x)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增的，一定有在這個(gè)區(qū)間f '(x)＞0上成立嗎？

學(xué)生舉出反例，y＝x3在實(shí)數(shù)R上單調(diào)增，但f '(x)≥0。所以反之不成立。師：本節(jié)課你有哪些收獲？生：學(xué)會了用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，學(xué)會了用導(dǎo)數(shù)畫圖象。

3.小結(jié)

導(dǎo)數(shù)的符號反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y＝f (x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟；體會了數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般、函數(shù)與方程、算法的數(shù)學(xué)思想。

二、教學(xué)反思

問題的引入環(huán)節(jié)，以一個(gè)具體的函數(shù)為例回顧了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法、定義法和圖象法，體會了圖象法的便捷和定義法的嚴(yán)謹(jǐn)。同時(shí)給出了一個(gè)三次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)圖象法和定義法都很難解決，進(jìn)而想到還有沒有其他方法。學(xué)生充滿好奇的求知欲，激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地參與思考。

探索函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系，采用問題串的形式逐步遞進(jìn)，層層深入。首先有學(xué)生想到導(dǎo)數(shù)，于是通過回憶導(dǎo)數(shù)的幾何意義是圖象上某點(diǎn)處切線的斜率，本質(zhì)是瞬時(shí)變化率，都體現(xiàn)了函數(shù)的變化，進(jìn)而從形的角度進(jìn)行觀察。通過觀察已有的二次函數(shù)的切線歸納出遞增區(qū)間切線斜率為正，遞減區(qū)間切線斜率為負(fù)。學(xué)生通過觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)，充分體驗(yàn)了知識發(fā)現(xiàn)、發(fā)生的過程，變被動(dòng)為主動(dòng)。接著從數(shù)的角度進(jìn)行驗(yàn)證。導(dǎo)數(shù)大于0，推出平均變化率大于0，推出進(jìn)而證得?？紤]到課堂容量，沒有提導(dǎo)數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處為0，不影響函數(shù)單調(diào)性的情況。

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間環(huán)節(jié)，主要通過回頭解決一開始提出的三個(gè)問題，一方面做到解決問題有始有終，一方面總結(jié)出解決問題的一般步驟，一舉兩得。同時(shí)，通過題目的變化將函數(shù)變?yōu)槿呛瘮?shù)、還有指數(shù)函數(shù)，讓學(xué)生規(guī)范解題步驟，同時(shí)體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)方法應(yīng)用的廣泛性。最后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識畫出三次函數(shù)的大致圖象，實(shí)現(xiàn)了由形到數(shù)、再由數(shù)到形的雙向通道，讓學(xué)生充分感悟數(shù)形結(jié)合的思想。

小結(jié)部分，首先讓學(xué)生回憶一節(jié)課所學(xué)重要內(nèi)容，學(xué)生之間相互補(bǔ)充，不斷地豐盈所學(xué)內(nèi)容，最后老師加以總結(jié)和強(qiáng)調(diào)。

結(jié) 語

本節(jié)課成功之處在于：注重教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了學(xué)生主體、教師主導(dǎo)的精神，精心設(shè)計(jì)了問題串，逐步遞進(jìn)環(huán)環(huán)相扣；注重探究方法和數(shù)學(xué)思想的滲透，教師啟發(fā)學(xué)生以已知熟悉的二次函數(shù)為研究的起點(diǎn)，從圖象上發(fā)現(xiàn)關(guān)系，再從理論上探究驗(yàn)證，既讓學(xué)生獲得了新知，又讓學(xué)生體會到研究一個(gè)新問題的探究方法，同時(shí)也滲透了歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法；突出學(xué)生主體地位，通過拋出問題，促使學(xué)生主動(dòng)探索、積極思維。美中不足的是最后一個(gè)問題的處理由于時(shí)間關(guān)系顯得有些倉促，多媒體應(yīng)用方面可以再提高制作水平，還有一些不足之處我將不斷發(fā)現(xiàn)和改進(jìn)。

[1] 劉雪娟.導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的地位[J].學(xué)園,2014,(33):154.