充分條件和必要條件的判定

肖麗君++胡福軍

“充要條件”是高中重要的數(shù)學(xué)概念，其內(nèi)容輻射面廣，在代數(shù)、幾何、三角函數(shù)中均有考查，因此我們必須全面透徹地理解“充要條件”. 本文從概念內(nèi)涵和判斷方法兩個(gè)方面來進(jìn)行全方位辨析.

辨清概念——掌握內(nèi)涵

（1）充分條件：有甲這個(gè)條件一定會(huì)推出乙這個(gè)結(jié)果，有乙這個(gè)結(jié)果不一定是甲這唯一一個(gè)條件.

生活中的例子：只要天下雨，地就會(huì)濕. 有“下雨”這個(gè)條件就一定有“地濕”這個(gè)結(jié)果，但“地濕”這個(gè)結(jié)果不一定就是“天下雨”造成的，也許還可能有其他的原因，如灑水車灑的等等. 數(shù)學(xué)中的例子：“[x=3]”[?]“[x2-2x-3=0]”，故“[x=3]”是“[x2-2x-3=0]”成立的充分條件，但使“[x2-2x-3=0]”成立的不一定是“[x=3]” .

（2）必要條件：有甲這個(gè)條件不一定能推出乙這個(gè)結(jié)果，但乙這個(gè)結(jié)果一定要有甲這個(gè)條件.

生活中的例子：只有陽光充足，菜才能長得好. 有“陽光充足”這個(gè)條件，“菜”不一定就長得好，還需要施肥、澆水等其他條件. 但“菜”要長得好一定要有“陽光充足”這個(gè)條件. 數(shù)學(xué)中的例子：“[x2-2x-3=0]”是“[x=3]”的必要條件，因?yàn)椤癧x2-2x-3=0]”不一定得到“[x=3]”，但“[x=3]”一定可以得到“[x2-2x-3=0]”.

（3）充要條件：若同時(shí)有“[p?q]”和“[q?p]”成立，則稱[p]是[q]的充要條件. 可以理解為[p，q]等價(jià).

合理選擇方法——步步為“贏”

1. 一口咬“定”

例1 已知[p，q]為實(shí)數(shù)，那么[A]：[q]<0是[B]：方程[x2+px+q=0]有相異實(shí)根的什么條件？

解析 由題意知，[q]<0[?][Δ][=p2-4q]>0[?]方程[x2+px+q=0]有相異實(shí)根，即[A?B]成立.

而[x2+px+q=0]有相異兩實(shí)根，無需[q]<0，如[x2+5x+1=0]，即[B?A]不成立.

[∴][q]<0是[x2+px+q=0]有相異兩實(shí)根的充分不必要條件.

點(diǎn)評 判斷[p]，[q]之間的關(guān)系，只需判斷兩個(gè)命題[A]：“若[p]，則[q]”和[B]：“若[q]，則[p]”的真假. 兩命題的真假與[p]，[q]之間的關(guān)系如下：（1）當(dāng)命題[A]真、命題[B]真時(shí)，[p]是[q]的充分必要條件；（2）當(dāng)命題[A]真、命題[B]假時(shí)，[p]是[q]的充分不必要條件；（3）當(dāng)命題[A]假、命題[B]真時(shí)，[p]是[q]的必要不充分條件；（4）當(dāng)命題[A]假、命題[B]假時(shí)，[p]是[q]的既不充分也不必要條件.

特別注意：若[p?q]，則有以下說法是等價(jià)的. （1）[p]是[q]的充分條件；（2）[q]是[p]的必要條件；（3）[p]的一個(gè)必要條件是[q]；（4）[q]的一個(gè)充分條件是[p].

2. 代代相“傳”

根據(jù)充要關(guān)系的傳遞性來判斷的方法叫傳遞法.

充分條件具有傳遞性，若[A1?A2?A3?]…[?An]，則[A1?An]，即[A1]是[An]的充分條件.

必要條件也具有傳遞性，若[A1?A2?A3?]…[?][An]，則[An?A1]，即[A1]是[An]的必要條件.

例2 若[A，B]都是[C]的充要條件，[D]是[A]的必要條件，[B]是[D]的必要條件，則[D]是[C]的（ ）

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件

C. 充要條件

D. 既不充分也不必要條件

解析 由題意得，[A?C]，[B?C]，[A?D]，[D?B].由傳遞性知，[D?B][?][C]，故[D][?][C]. 又[C?A][?D]，故[C][?][D]. 因此[D]是[C]的充要條件.

答案 C

點(diǎn)評 對于較復(fù)雜的（連鎖式）充要關(guān)系的判斷，用連鎖式的傳遞圖示法來解答最為適宜.

例3 已知[p]，[q]都是[r]的必要條件，[s]是[r]的充分條件，[q]是[s]的充分條件，那么[s]，[r]，[p]分別是[q]的什么條件？

解析 畫出關(guān)系圖，觀察求解.

[s]是[q]的充要條件 （[s][?][r][?][q]，[q][?][s]）；

[r]是[q]的充要條件 （[r][?][q]，[q][?][s][?][r]）；

[p]是[q]的必要條件 （[q][?]s[?][r][?p]）.

點(diǎn)評 通過畫圖，依據(jù)充分必要關(guān)系的傳遞性能，我更加清楚地看出多個(gè)命題之間的關(guān)系. 畫圖的關(guān)鍵是將[r]這個(gè)中心條件畫在中心位置，其余幾個(gè)條件都與之有直接聯(lián)系，畫在周圍.

3. 百感交“集”

例3 已知[p]：[20≥x2-8x]，[q]：[x2-2x+1-m2][≤0（m>0）]，若[p]是[q]的充分而不必要條件，求實(shí)數(shù)[m]的取值范圍.

解析 由[x2-2x+1-m2≤0]得，

[1-m≤x≤1+m（m>0）].

則[q]所表示的集合為[A= x1-m≤x≤1+m（m>0）.]

由[20≥x2-8x]得，[-2≤x≤10].

則[p]所表示的集合為[B=x∈R-2≤x≤10].

[∵][p]是[q]的充分而不必要條件，即[p?q]，但[q?p]，

[∴B?A].

[∴m>0，1-m≤-2，1+m≥10.]

[∴m≥9.] 故[m]的取值范圍為[m≥9].

點(diǎn)評 如果[p]，[q]以集合的形式出現(xiàn)，我們可以通過研究兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系來判斷[p]，[q]間的關(guān)系. 設(shè)滿足[p]的對象組成集合[A]，滿足[q]的對象組成集合[B]. （1）當(dāng)[A=B]時(shí)，“[x∈A]”是“[x∈B]”的充要條件；（2）當(dāng)[A?][B]時(shí)（真子集），[p]是[q]的充分不必要條件；（3）當(dāng)[B?][A]時(shí)（真子集），[p]是[q]的必要不充分條件；（4）若上述條件都不成立，則[p]是[q]的既不充分也不必要條件.

例4 對實(shí)數(shù)x，y，“[|x|+|y|≤1]”是“[|x|≤1，|y|≤1]”的什么條件？

解析 從集合的角度判斷，考慮集合[A=（x，y）|x+y≤1]與[B=（x，y）|x≤1，y≤1]的包含關(guān)系.

[A=（x，y）|x+y≤1]與[B=（x，y）|x≤1，y≤1]表示的集合為如圖甲、乙中陰影部分，將甲、乙兩圖象合成丙圖.

[甲乙丙]

由丙圖可以知道，[A?B]，所以“[x+y≤1]”是“[x≤1]，[y≤1]”的充分不必要條件.

點(diǎn)評 本例從代數(shù)角度不易入手，可以結(jié)合轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想與集合的觀點(diǎn)判斷“充分”“必要”“充要”條件，充分利用“小范圍推出大范圍，大范圍不能推出小范圍”這一通俗易懂的結(jié)論.

4. 心回意“轉(zhuǎn)”

例5 若[p：x≠2，或y≠3，q：x+y≠5，]則[p]是[q]的___________條件.

解析 考慮逆否命題：[?q：x+y=5，?p：x=2，且y=3]，顯然有[?p??q]，所以[q?p]，即[p]是[q]的必要但不充分條件.

例6 若“[x∈[2，5]]，或[x∈x|x]<1，或[x]>4}”是假命題，則[x]的取值范圍是______.

解析 [∵][x∈[2，5]]，或[x∈x|x]<1，或[x]>4}是假命題，

故“[x?[2，5]]，且[x?x|x]<1，或[x]>4}”是真命題.

[∴][x<2， 或x>5]，且[1≤x≤4].[∴][1≤x<2].

點(diǎn)評 對于例5、例6，若直接分析，則需分多種情況討論，且還很難說清，因此可以考慮等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，即當(dāng)某一命題不易直接判斷條件與結(jié)論的充要關(guān)系（特別是對于否定形式或“≠”形式的命題）時(shí)，可利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性來解決，即等價(jià)轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題. 它們之間的對應(yīng)關(guān)系如下：（1）[p]是[q]的充分不必要條件，則[?q]是[?p]的充分不必要條件；（2）[p]是[q]的必要不充分條件，則[?p]是[?q]的充分不必要條件；（3）[p]是[q]的充分必要條件，則[?p]是[?q]的充分必要條件；（4）[p]是[q]的既不充分也不必要條件，則[?p]是[?q]的既不充分也不必要條件.