從理解的角度思考運算定律學習中的困難及其對策

南欲曉

【摘 要】研究表明，學生在運算定律的應用方面存在一定困難。究其具體表現(xiàn)和原因而言，主要在于：一是對運算定律內涵的理解只停留在淺表層次，有理解的加深但缺乏結構化的認識；二是對內涵的理解只停留在工具性理解層面，缺乏關系性的理解。

【關鍵詞】運算定律 理解 理解增長 關系性理解

一、背景與思考

參加一次校本培訓活動，兩位教師分別執(zhí)教了四年級和六年級畢業(yè)班復習課“運算定律的整理和復習”。兩節(jié)課中，教師都先引導學生回憶學習了哪些基本運算定律，用字母公式表示后進行分類，對比各定律的異同點。無論是四年級還是六年級的學生對運算定律的公式倒背如流，且能從“位置”和“運算順序”“符號”等方面說出公式之間的異同點。最后教師給出了不同學生的錯例，進行查漏補缺和變式練習（具體的式子或者哪一種變式），兩節(jié)課最大的差異是練習中的數(shù)據(jù)不同。

如果只是數(shù)據(jù)特點的差異，那么是否需要重復梳理對比運算定律呢？為了進一步研究，筆者做了一些測查和訪談。

二、測查與訪談

（一）四年級學生筆試測查

1.樣本確定：隨機選取不同學校43個學生為樣本素材。

2.測查內容和答題情況。

題目一：56×5-□×8=（56-8）×□

題目二：442×25+358× （填上一個數(shù)使得計算簡便并計算）

（二）六年級訪談調查

在訪談六年級教師時，她表示困惑不已?！坝行╊}四年級整數(shù)查漏補缺過，五年級小數(shù)運算查漏補缺過，到了六年級還得查漏補缺，題目稍微有點不同，學生還是錯?！?/p>

針對六年級的學生，意圖通過學生的舉例來了解他們對運算定律的理解和掌握情況。訪談中發(fā)現(xiàn)有以下幾個現(xiàn)象值得作進一步思考和探討。

現(xiàn)象一：交換律舉例時“該寫2個數(shù)還是寫3個數(shù)”？

在要求學生舉例子表示加法交換律時，一部分學生無從下手，問：“加法交換律該寫2個數(shù)的，還是寫3個數(shù)的？”其余學生對加法交換律研究是“2個”“3個”感到茫然，甚至展開了爭辯。

現(xiàn)象二：乘法分配律只能是“a×（b+c）”的結構嗎？

學生舉例乘法分配律時更多的停留在a×（b+c）的結構上，比如25×（4+8）類似的例子運用計算。進一步追問：乘法分配律只能用在3個數(shù)的計算中嗎？2個、4個、5個甚至個數(shù)更多可以嗎？沒有相同的數(shù)a是否也有可能用乘法分配律進行簡便計算呢？如果運算的符號不止乘和加的關系有沒有可能用乘法分配律？

我們發(fā)現(xiàn)，學生只是在數(shù)的大小進行變化，無法在結構上實現(xiàn)變化，對于乘法分配律例子局限于平時經(jīng)常用到的一些標準變式。對于變式度較高的具體例子，如8.6×8.6÷3，大部分學生選擇合適的運算律是有困難的，問：它能用學過的定律來進行簡便運算嗎？生：從符號看好像沒有可以用的定律。

我們發(fā)現(xiàn)，學生在運算定律的應用中結構模糊，對于具體例子中運算律的選擇有困難。應用中“看上去都會，深入?yún)s不大會”說明學生對運算定律停留在形式模仿的層面會更多，對定律的理解是淺層次的。對此，筆者針對運算定律復習課中學生的一些困難展開思考和探索。

三、分析

如何對學生學習運算定律進行評價？人教版教材教師教學用書四年級下冊第68頁中指出：對知識技能的評價重點圍繞對“運算定律”內涵的理解和運用兩個方面進行。在數(shù)學基本思想和基本活動經(jīng)驗的考查上，需關注學生對運算定律與運算意義之間的關系的理解，以及在結合運算定律或性質進行簡便計算時，方法的合理性的理解。那么，學生應用定律的困難需要我們從運算定律內涵的理解角度尋找原因。

（一）運算定律內涵的理解已產生并逐步加深，但無法達到“結構性理解”的程度

從學生提出“加法交換律的例子是兩個數(shù)還是三個數(shù)”中我們能體會到學生對加法交換律內涵的理解是淺層次的，“加法是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算”這一內涵是教學需要把握的實質。

看似簡單的加法交換律對于其本質的理解還是有所欠缺的，這種欠缺來自哪里呢？回顧學生學習的過程，先是借助大量的兩個具體數(shù)的例子，通過不完全歸納定律后用字母公式表示加法交換律?！爱攲W生能夠將信息從一種表征形式轉化為另一種表征形式，理解就產生了?！?/p>

理解產生后，在學習分數(shù)和小數(shù)的加法運算中發(fā)現(xiàn)也可以使用加法交換律，并可以運用定律使得計算更加簡便，這種過程促進了理解的增長。我們知道理解增長的方式有兩種，一種是量的增加，就如把整數(shù)加法交換律和小數(shù)分數(shù)加法交換律聯(lián)系起來。第二種是結構的重新組織，比如學生提出的“兩個數(shù)還是三個數(shù)”的問題，需要對三個數(shù)進行重新建構，體會三個數(shù)其實就是兩次和的過程，這一過程重新建構的核心是對“加數(shù)是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算”內涵的理解。

同樣的道理，在舉例子表示乘法分配律時只能用在3個數(shù)的計算，要在個數(shù)上進行變式，需要對結構重新組織，促進理解的增長。我們知道，理解乘法分配律內涵的關鍵是乘法的意義，同樣，判斷是否符合規(guī)律也可以依據(jù)乘法意義進行，如果對內涵的理解不夠，學生也無法重新解釋。

學生對運算定律的理解已經(jīng)產生并也有理解逐步加深的表現(xiàn)，但是無法達到“結構性理解”的高度，由此對結構的重新解釋往往是困難的。

（二）更多停留在工具性理解上，關系性理解上難突破

Skemp將數(shù)學的理解分為工具性理解和關系性理解。所謂工具性理解是指知道怎么做但是不知道其中的道理。關系性理解是指既知道怎么做又知道為什么這樣做。比如從教師“有些題四、五、六年級都做過，題目稍微有點不同，學生就錯”的這句話中我們能體會到學生對運算定律的理解停留在工具性理解上，也就是說學生通常更關心怎么做，而不大去思考為什么可以這樣做及更進一步還可以怎么做。

在學習運算定律的初期時，如果教學只關注如何進行簡便計算，強調簡算形式的話，學生可以依據(jù)固定的程序很快得到標準變式，且有易懂、易模仿的優(yōu)勢，但這不利于學生在全新的情境中去應用，也就是無法順利遷移，容易導致學生在進行具體例子簡算因形式上的模仿而出錯。比如“442×25+358×25”做的又對又快，但是題目稍作變化如“442×25+358× ”學生的正確率就下降。部分學生無法找到它與基本定律之間的相似性和差異性，也就是無法找到基本結構和變式題之間的內部聯(lián)系。

在56×5-□×8=（56-8）×□解答中，我們發(fā)現(xiàn)許多學生無法找到它與分配律a×（b+c）= ab+ac之間的聯(lián)系，學生說：“沒有兩個數(shù)湊整，好像不能用分配律?！睂W生對于a×（b±c）= ab±ac中bc之間的湊整的感知比較強烈，而對a作為相同數(shù)以及分配律的內涵理解是不夠的。我們知道，乘法分配律的模型是固定的，具備三個基本特征，而例子恰恰是豐富的。

學生在大量“變式的例子”中發(fā)現(xiàn)其具備定律的結構和模型是有一定困難的。也就是說在這個過程中，教師沒有進一步引導學生發(fā)現(xiàn)“變化的結構”和“不變的本質”，并對照自己原先的想法修正、完善、建構，促進對乘法分配律新的關系性理解，也就是進一步思考為什么可以這樣做及更進一步還可以怎么做。

四、實踐

（一）對加法交換律的實踐思考

1.在應用的背景下產生加法交換律。

A.提供素材，學生計算。

75+168+25 21+67+19 347+418+353

B.交流過程，提出問題。如你為什么要先把75+25？這樣計算改變了什么？這種變化是否可以？

C.思辨交流，感受產生。

加法交換律對于學生來說已經(jīng)非常熟悉，從一年級的“一圖兩式”“一圖四式”中感受到加法的意義是兩個部分的合并，至于哪個部分在加號前哪個部分在加號后都是表示合并的過程。因此，在簡算的過程中產生研究加法交換律的必要性顯得尤為重要了，也就是說學生對“是什么”已經(jīng)有一定的經(jīng)驗，那么需要引領學生進一步思考“為什么學”“學了什么用”的關系性理解上來。

2.加強定律公式到具體例子的表征轉化。

A.任務：請你舉2到3個例子說明加法交換律。

B.反饋學生生成的素材，如3+2=2+3，8+7+2=8+2+7。

C.思辨：這道算式是不是用了加法交換律，你的判斷標準是什么？這些例子中誰是加法交換律中的a和b？湊整的兩個數(shù)怎么不是加法交換律中的a和 b？

兩個數(shù)的交換是為了凸顯概念的本質“和不變”，3個數(shù)是為了明確加法交換律的應用。在六年級學生訪談中，意外的是學生糾結“三個數(shù)應用簡便中，誰是加法交換律中的a和b”。學生一直認為加法交換律中a和b就是湊整的兩個數(shù)，而在每一個例子中發(fā)現(xiàn)，交換位置的兩個數(shù)不一定湊整，往往其中a或者b與其他數(shù)之間進行湊整。如8+7+2=8+2+7例子中，a、b分別是2和7，但是湊整的是8和2。我們發(fā)現(xiàn)，學生對于加法交換律運算結構非常熟悉，但是對在運用中的結構卻十分模糊。因此，需要加強學生a+b=b+a的字母結構與具體例子的對應關系，逐步實現(xiàn)兩種表征之間的轉化，獲得對加法交換律的理解。

（二）對乘法分配律的實踐思考

乘法分配律相對于其他基本運算定律而言較難，學生對于它基本結構的建立是非常牢固的。如果請學生運用運算定律進行簡便計算，如2.5×4×11和2.5×（40+4），學生幾乎沒有錯誤，但是在計算2.5×4.4時錯誤率就大大提高了，把乘法分配律和乘法結合律混淆起來，容易拆分成2.5×4×2.5×0.4或者4×25×0.4。顯然，學生在形式上做了進一步拆分，但是對這種拆分的意義思考和理解是不夠的，為了達到簡便計算的目的，導致規(guī)則錯誤，這是造成學生運用乘法分配律的難點之一。

1.基本結構的特征。

B.問題：乘法分配律中的數(shù)和符號有什么特點？

C.歸納：一般乘法分配律是對3個數(shù)進行分配，其中有相同數(shù)a，研究的符號是乘加，這就是乘法分配律最基本的特征。（板書：3個數(shù)、乘加、相同加數(shù)a）

2.基本結構的變式——“破個數(shù)”。

A.舉例：剛才我們發(fā)現(xiàn)乘法分配律是對3個數(shù)的分配運算，那大膽地想一想：能不能舉出不是3個數(shù)的例子？比如2個數(shù)、4個數(shù)……（學生舉例）

B.反饋：挑2個類似2.5×44結構的例子，讓全體同學進行簡便計算，并展示兩種方法。

2.5×44=2.5×4×11 2.5×44 =2.5×（40+4）

C.提問：都是由44拆分得到的，兩種方法有什么不一樣嗎？拆分后表示什么意思，你能舉個生活中的例子說明嗎？拆分成加法結構的要用什么定律？拆分成乘法結構呢？運用乘法分配律計算兩個數(shù)相乘時，公式中“a、b、c”分別在哪兒？

D.反饋： 2個數(shù)可以，3個數(shù)也可以，那4個數(shù)行嗎？

引導：跟以上結構不同的4個數(shù)能不能用乘法分配律？學生舉例。生成a×（b+c+d）和a×b+a×c兩種不同方向結構的具體例子。

追問：5個數(shù)的運算是否有應用乘法分配律的情況？a×b+a×c+a=a×（b+c+1）中易錯點。

借助乘法意義，理解10個a可以拆分成4個a和6個a的和。也可以拆分成2個a，3個a，5個a的和。從意義角度入手，理解拆分的是個數(shù)，個數(shù)可以從2個突破到3個，4個，5個……乘法分配律的內涵是乘法的意義，基于定律和意義的關系理解，讓學生在不斷的變式中感受方法的合理性。

E.反思：關于乘法分配律重新讓你舉例子，你儲備了哪幾個具有代表性的例子？

3.基本結構的變式——“破符號”。

A.過渡：剛才我們借助舉例子，突破了運算定律的固定模式，發(fā)現(xiàn)乘法分配律可以對不同個數(shù)進行運算，但是這些都是“乘加”結構的運算，難道運算符號一定要乘加嗎？能變嗎？

C.小結：原來乘減也可以用分配律，除法也可以轉化成乘加進行簡便運算。

4.基本結構的變式——“破相同數(shù)a”（編號不清）。

A.引導：如果沒有相同數(shù)a，還能用乘法分配律簡便計算嗎？

B.學生嘗試檢索例子。

乘法分配律新授時側重基本結構的“立”，抓住基本結構的核心要素。還需再進一步實現(xiàn)對基本結構的“破”，引領學生從乘法分配律的基本結構到變式題如何形成的過程，感受到基本結構可以從哪些方面進行突破，感受“破”的維度，逐步完善對分配律的理解，以此實現(xiàn)更好的遷移。從標準到非標準的變式轉化，實現(xiàn)基本結構和變式方向的關系性理解。

參考文獻：

[1]L.W.安德森.學習、教學和評估的分類學[M].皮連生，等，譯.上海：華東師范大學出版社，2008：63.

（浙江省永嘉縣教師發(fā)展中心 325100）