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    類比推理教學課例(數(shù)學)分析

    2017-02-27 12:28韓平
    廣西教育·B版 2016年11期
    關鍵詞:課例分析類比推理高中數(shù)學

    韓平

    【摘 要】以一節(jié)類比推理數(shù)學課為例,講解“先行組織者”在數(shù)學教學中的應用方法。

    【關鍵詞】高中數(shù)學 類比推理 課例分析

    【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

    【文章編號】0450-9889(2016)11B-0097-02

    “先行組織者”是美國教育心理學家奧蘇貝爾在1960年提出的一個教育心理學的重要概念,“先行組織者”就是為同化當前知識與原有的認知結構而先于學習任務本身呈現(xiàn)的一種引導性的材料,它在教學中起到相當重要的橋梁作用。2003年教育部制訂的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》明確指出,倡導積極主動、勇于探究的學習方式。將“先行組織者”教學策略應用于數(shù)學教學中,適合學生認知結構的特點,有助于教師設計教學內(nèi)容、安排教學順序,有助于學生的自主學習、記憶保持、遷移運用。這一種教學策略,能夠提高學生分析問題的能力和解決問題的能力,從而形成高效課堂。本課例是將“先行組織者”教學策略應用于課堂教學的實踐,現(xiàn)將具體的教學過程呈現(xiàn)如下。

    【學習目標】

    1.了解類比推理的數(shù)學方法含義,以及這種思維方法的過程和特點;

    2.運用類比方法進行簡單推理,做出數(shù)學猜想;

    3.培養(yǎng)學生的數(shù)學歸納能力,提高學生的創(chuàng)新探索意識;

    4.培養(yǎng)學生嚴謹、創(chuàng)新的數(shù)學思維習慣和鍥而不舍的鉆研精神。

    【重點難點】

    重點:了解類比推理的含義以及數(shù)學中類比思維的過程、特點,能利用類比進行簡單的數(shù)學推理。

    難點:運用“觀察—類比—猜想—證明”探求數(shù)學結論。

    【課堂片段實錄】

    任務1:問題導思

    閱讀教材(普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》選修1-2),P25—27,在理解的基礎上,完成下列知識點的填空。

    1.魯班由帶齒的草發(fā)明鋸;人們從蜻蜓的飛行過程發(fā)現(xiàn)直升飛機的飛行原理,仿照魚類外形及沉浮原理發(fā)明潛水艇,在教學中由指數(shù)函數(shù)性質探索發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的性質。以上都是類比思維,即類比推理。

    由兩類對象具有某些________和其中一類對象的某些________,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)。簡言之,類比推理是________的推理。

    2.初中在平面幾何中學習的勾股定理:如圖 1 所示,在Rt△ABC 中,a,b,c 為角 A,B,C 所對的邊,則用勾股定理表示為________。

    任務 2:合作探究

    例1 觀察下列等式:

    大家觀察這組式子,他們有什么不同之處?從中可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?由此,你能歸納出 Rt△ABC 中三個內(nèi)角的一個性質嗎?這個性質是不是與勾股定理有幾分相似呢?你進而能證明所得到的結論嗎?

    【設計意圖】以學生熟悉的兩個式子為“先行組織者”,引入課題,通過探索和發(fā)現(xiàn),激發(fā)學生學習的興趣。創(chuàng)設一個以學生為主體,師生互動,共同探索的教與學情境,讓學生帶著問題通過自主學習、課堂討論、相互合作等方式,使學生在解決問題的過程中不知不覺地實現(xiàn)知識的傳遞、遷移和融合。

    學生小組討論、展示。

    A 組的觀點是:由誘導公式得,從而得到在 Rt△ABC 中有;

    B 組的觀點是:因為,進而得到在 Rt△ABC 中有。

    教師:上面得到的結論與勾股定理在形式上是否相似?你能運用勾股定理來證明這個結論嗎?

    【設計意圖】從歸納推理過渡到類比推理。

    進入小組討論。

    C 組展示做法:由平面內(nèi)直角三角形的勾股定理:,得,從而得到。

    教師小結:大家能從勾股定理出發(fā),用歸納、類比的方法找到相關的性質。其實與勾股定理類似的還有許多數(shù)學性質,例如設 a 邊上的高為 ha ,b 邊上的高為 hb ,c 邊上的高為 hc , 是否成立?

    小組討論后,用特例說明,令 a=3,b=4,c=5,則 ha=4,hb=3,,故結論 明顯不成立。

    D 小組認為:通過實驗,等式可能成立,大家可以嘗試利用勾股定理作出說明。

    于是,又進入討論環(huán)節(jié),最終給出了這個性質的證明。

    【設計意圖】教師將“先行組織者”設計為勾股定理,設問采用漸進分化策略,降低思維難度,讓學生體會歸納推理的一般步驟,進而讓學生知道歸納推理能夠起到提供研究方向的作用,給出探索的路徑。學生積極主動地參與課堂活動(例如小組討論的形式),體驗歸納推理獲得數(shù)學結論的過程,了解歸納推理的含義,明確歸納推理的一般步驟。

    【平行訓練】

    (1)如圖 2 左圖所示,設長方形的長和寬分別為 x 和 y,則其對角線 l 的長為:l = ________。

    (2)如圖 2 右圖所示,設長方體的長、寬、高分別為 x,y,z,則其體對角線 l 的長為:l =________ 。

    【設計意圖】基礎訓練,檢查教學效果。練習題由淺入深,螺旋上升,逐步提高學生的思維能力。

    通過討論得到答案(1);(2)。

    由平行練習得到啟發(fā),我們可以將勾股定理從平面幾何圖形拓展到立體幾何圖形。

    例2 (普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》選修 1-2,P26 例 4 改編)如圖 3 ,在正方形中用直線截得一個 Rt△ABC,同樣在正方體中用平面截得一個三個側面兩兩垂直的四面體。類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質的猜想。

    【設計意圖】讓學生通過觀察、感知、分析和歸納,完成由易到難、由淺入深、由已知到未知、由特殊到一般的思維飛躍。思維提示:直角三角形中,∠C=90°,3 條邊的長度為 a,b,c,其中 2 條直角邊 a,b 和 1 條斜邊 c →在 3 個側面兩兩垂直的四面體中,∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°,4 個面的面積 ,, 和 ,其中 3 個“直角面”,, 和 1 個“斜面”→ 拓展:三角形到四面體的類比。

    E 小組用類比的思想方法得到猜想:

    教師:這個結論正確嗎?請同學們證明。

    通過學習討論,學生展示了這個性質的證明方法。

    【課后評析】

    在《普通高中數(shù)學課程標準》中,課程基本理念倡導自主學習、探索學習,指出“高中數(shù)學課程應返璞歸真,努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展背景、過程和本質,使學生理解數(shù)學概念產(chǎn)生的背景和逐步形成的過程,體會其中的思想,體驗尋找真理和發(fā)展真理的方法”。數(shù)學既是演繹的科學,也是歸納的科學,因此,數(shù)學已形成一整套結論的體系,而且結論的發(fā)現(xiàn)過程也成為我們教學的主要內(nèi)容。歸納推理是“推理與證明”一章中的重要組成部分,具有探索、發(fā)現(xiàn)和猜測部分數(shù)學結論的作用,有利于學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng),在實際生活中用途很大。類比推理這節(jié)課是以新課標為依據(jù),結合學??蒲姓n題“在新課改背景下高中數(shù)學教學中先行組織者策略的實踐與探索”進行課堂教學設計。

    在中學數(shù)學教學過程中,我們常常會遇到似曾相識的問題,如果把似曾相識的問題進行對比和比較,或許會發(fā)現(xiàn)許多意外的結果和方法。這種“把類似進行比較、聯(lián)想,由一個數(shù)學對象已知的特殊性質遷移到另一個數(shù)學對象上去,從而獲得另一個數(shù)學對象的性質”的思維方法就是類比法。本節(jié)課通過歸納的方法引出問題,用類比的方法去發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學性質,再用演繹的方法去證明。所提供的問題情境,需要探索性思維和整體性思維。通過學生的觀察和類比,尋找論證方法,給學生提供施展才華、發(fā)展智慧的機會。

    教學設計是以學生認知結構中“原有觀念”——勾股定理作為“先行組織者”,用類比的方法去同化和遷移,學習類似的新的數(shù)學知識。例如,在同一平面內(nèi)的類比,通過勾股定理的形式“”,類比得到內(nèi)角的關系“”以及三邊上高的關系“”。又如,從平面到空間的類比,利用長方形的對角線的長“”,推廣到長方體對角線的長“”;由直角三角形三邊的性質“”,拓展到四面體四個面的性質“”。每一次類比或推廣,都是通過學生認知結構中已有的有關觀念去同化和發(fā)現(xiàn)新知。

    在課堂教學中突出思維過程,在例題的配置方面,以探索性問題為主;在邏輯思維方面,注意解決問題的方向,充分體現(xiàn)數(shù)學猜想和類比推理在數(shù)學思維中的應用。在教學中運用了小組討論的方法,彰顯學生學習主體地位,充分發(fā)揮學生參與活動的主動性。在課堂上,給學生充分的思維活動空間,盡可能多地依靠學生自己去發(fā)現(xiàn)解題思路和動手作答。這是將“先行組織者”理論運用于課堂教學的一次有益的嘗試。

    (責編 盧建龍)

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