“二次函數(shù)”，想說愛你不容易

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星浦學(xué)校 周育敏

“二次函數(shù)”，想說愛你不容易

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星浦學(xué)校 周育敏

九年級數(shù)學(xué)下冊“二次函數(shù)”一章，在整個初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，在中考中也是一大熱點(diǎn)和難點(diǎn)。二次函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想方法，同時也為高中階段一元二次不等式的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)。從多年的經(jīng)驗(yàn)來看，對于學(xué)生而言，要想學(xué)好這一章并不容易，特別是一遇到難度較大的綜合題，更是手足無措，甚至有的學(xué)生還對這一章產(chǎn)生了恐懼癥，認(rèn)為二次函數(shù)的題都是難題，只要遇到，不經(jīng)思考便放棄。下面我就以“二次函數(shù)圖象的平移”這個較為常見的知識點(diǎn)為例，談?wù)勎覍@章內(nèi)容的思考，不到之處，請各位同仁指正。

蘇科版九下“二次函數(shù)”其中有一個知識點(diǎn)是“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”，在有關(guān)于圖象的平移這一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)時經(jīng)常發(fā)生錯誤，方向不明確。用“平移法則”與“方程和圖象相結(jié)合”的方法進(jìn)行對比研究實(shí)驗(yàn)：

教材中通過畫幾個二次項(xiàng)系數(shù)相同的二次函數(shù)圖象，如：y=2x2，y=2（x+1）2和y=2（x+1）2+3的圖象，歸納總結(jié)y=a（x+m）2+k的圖象可以由函數(shù)y=ax平移得到，進(jìn)而得出平移法則：“一般地，函數(shù)y=a（x+m）2+k的圖象可以由函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)兩次平移得到：當(dāng)m＞0時，向左平移m個單位，當(dāng)m＜0時，向右平移|m|個單位；當(dāng)k＞0時，再向上平移k個單位，當(dāng)k＜0時，向下平移|k|個單位。”這三個方程式的內(nèi)容，很多同學(xué)在老師講解一次過后沒過多久便會遺忘或混淆，其根本原因就是對這部分的內(nèi)容沒有深刻的理解，很多學(xué)生只是似懂非懂。其實(shí)這一部分的本質(zhì)在于平移，都是在y=2x2這個方程式的基礎(chǔ)上衍變而來的，只要我們將y=2x2搞清楚，剩下的兩個就不難掌握了。

在這一部分的學(xué)習(xí)中還可運(yùn)用法則“左加右減，上加下減，變自變量”來解題，但很多同學(xué)仍然不知所云，主要癥結(jié)還是在于腦海中的常規(guī)思維定式無法打破，對y軸和x軸的移動法則分不清楚，容易混淆。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中最重要的方法之一，所以在教學(xué)的實(shí)踐中，利用方程與二次函數(shù)的關(guān)系來理解函數(shù)是教師所推崇的，令x+m=0，得x=-m；當(dāng)x=-m時，y=k。即頂點(diǎn)（0，0）到（-m，k）的移動，從而在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)獲得圖象的移動，這種方法簡稱為“方程——圖象結(jié)合法”，只要畫出坐標(biāo)軸來，在坐標(biāo)軸上移動圖象既簡單，又直觀，幫助不少同學(xué)解決了二次函數(shù)的難題。

二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)解析式y(tǒng)=a（x-h）2+k是學(xué)生熟記的公式，平移二次函數(shù)時，圖象的開口方向和開口大小是不變的，所以a是不變的，我們只需求出h、k即可，而（h，k）又是頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以，平移時把頂點(diǎn)坐標(biāo)作為參照物，只平移頂點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)生很容易求出平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k），把（h，k）代入解析式y(tǒng)=a（x-h）2+k就是平移后的解析式，這也是教學(xué)中的一個難點(diǎn)，但究其根本是只要把頂點(diǎn)坐標(biāo)作為參照物，便很容易就能判斷出兩個函數(shù)是如何進(jìn)行平移的。下面我們將通過舉例來梳理這一類題目的解題思路。

1．求平移后的解析式

例1 拋物線y=2x2向左平移8個單位，再向下平移9個單位后，所得拋物線的解析式是什么？

分析：原來拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)很容易就能口算出來是（-8，-9），即：h=-8，k=-9，a是不變的，所以平移后的拋物線解析式就是：y=2（x+8）2-9。

2．確定函數(shù)圖象的平移

例2 函數(shù)y=2（x-5）2+3的圖象是由y=2（x+2）2-3的圖象經(jīng)過怎樣的平移變化得到的？

分析：首先確定兩個拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)：變化前的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3），變化后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3），然后在直角坐標(biāo)系中畫出變化前后兩個頂點(diǎn)的位置，對照兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)生很容易就能看出來函數(shù)y=2（x+2）2-3的圖象先向右平移7個單位，再向上平移6個單位即可得到函數(shù)y=2（x-5）2+3的圖象。

縱觀近幾年的中考數(shù)學(xué)與二次函數(shù)相關(guān)的題目，其實(shí)都是一些基礎(chǔ)題或是中等難度的題目，所謂“萬變不離其宗”，他們都是在簡單的二次函數(shù)的基礎(chǔ)上演化的，只要我們撥開偽裝的外衣，就能發(fā)現(xiàn)它本來的面目。例如下面這兩道中考題：

例3 （2013年四川）在同一平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=2x2+4x+1的圖象先向左平移9個單位，再向上平移2個單位，得到的函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為多少？

在解這個題時，只要題目的問題沒有那么直接，很多同學(xué)就可能不知道從何下手了。其實(shí)這道題運(yùn)用我們上面的知識，稍加變通便可解決。首先，我們根據(jù)平移的法則“左加右減”，先在x的基礎(chǔ)上進(jìn)行加減，因?yàn)槭亲笠疲缘玫統(tǒng)=2（x+9）2+4（x+9）+1，然后再根據(jù)“上加下減”的法則，得到一個新函數(shù)y=2（x+9）2+4（x+9）+3，化簡之后得到最終平移后的函數(shù)為y=2（x+10）2+1。這是一個頂點(diǎn)式，根據(jù)所學(xué)的知識可知其頂點(diǎn)為（-10，1），問題得解。

拿到這個題目時，首先我們腦海里的第一反應(yīng)是這個題的考點(diǎn)在于考查二次函數(shù)的最值問題，需要把二次函數(shù)的解析式整理成頂點(diǎn)式，才能確定最大值。我們首先將整理后得出，所以，該拋物線的對稱軸是x=2，且在x上y隨x的增大而增大，因?yàn)?，所以?dāng)時，y取最大值，為，問題得解。

在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過程中，我們還要注意以下策略：

1．利用配方法解決一般形式為y=A（x+B）2+C的圖象問題

將一般式化為頂點(diǎn)式是二次函數(shù)的一個重難點(diǎn)，也是有效解決二次函數(shù)問題的有效方法，起著舉足輕重的作用，通過頂點(diǎn)式，學(xué)生可以直觀畫出每一個二次函數(shù)的圖象，并知道相應(yīng)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可以使用它來掌握二次函數(shù)的對稱軸、最值等問題。頂點(diǎn)公式是求最值的一個最有效的突破口，因此，老師在教學(xué)中要注意啟發(fā)，與學(xué)生共同配方，指出頂點(diǎn)坐標(biāo)公式中相應(yīng)字母的值。

2．學(xué)以致用，解決實(shí)際問題

數(shù)學(xué)在學(xué)生的整個學(xué)習(xí)生涯中一直都是難點(diǎn)，也是教學(xué)工作開展的難點(diǎn)，這不僅來自于教學(xué)實(shí)際，更是來自于學(xué)生的心理，所以數(shù)學(xué)的“學(xué)與教”不是一蹴而就的，教師在教學(xué)時必須循循善誘，掌握方法。在教學(xué)過程中，教師首先必須認(rèn)真分析教材，并在吃透教材的基礎(chǔ)上恰當(dāng)分析究竟采用什么樣的教學(xué)手段，是使用一種教學(xué)手段，還是使用多種教學(xué)手段。為了加深學(xué)生對二次函數(shù)的理解，掌握利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生參加一些實(shí)際的二次函數(shù)生活問題，加深學(xué)生對二次函數(shù)的理解，例如拱橋問題、籃球拋擲、隧道問題等等，讓學(xué)生充分認(rèn)識到“數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活”，這樣就能夠不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，而且可以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)略二次函數(shù)中的數(shù)學(xué)理念，達(dá)到深層次理解的目的。

總之，作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的內(nèi)容，二次函數(shù)的教學(xué)是不容忽視的問題，數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真閱讀教材，吃透原理，通過各種策略和方法有效喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，通過各種生活中學(xué)生所熟悉的例子來啟發(fā)學(xué)生，讓所有的數(shù)學(xué)知識“深入淺出”，從而不斷培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的綜合能力。