利用不等式解決函數(shù)最值問(wèn)題

山東濟(jì)寧一中高三11班 張東格

不等式是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)很重要的成分，也是數(shù)學(xué)中常常用到的工具。通過(guò)證明不等式、應(yīng)用不等式，可以訓(xùn)練思維能力，提高數(shù)學(xué)水平，同樣也能更好地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。不等式在高考以及自主招生考試中并不多，一般只作為工具來(lái)應(yīng)用，但是熟練掌握，學(xué)會(huì)創(chuàng)造不等式，會(huì)使一些題目的難度和計(jì)算量大大降低。

一、直接利用均值不等式求最值

求k的取值范圍。

二、利用“倒數(shù)”法構(gòu)造不等式

其實(shí)有許多題目中的分式函數(shù)的分母相對(duì)復(fù)雜，分子相對(duì)簡(jiǎn)單。例2，2008年上海交通大學(xué)的一道自主招生考試題：函數(shù)的最大值為 。如若直接解答，可能存在一定的困擾，求導(dǎo)計(jì)算也是十分麻煩，于是我們自然想到不等式。原式直接配湊成不等式使人難以下手，如果高次在分子上就好了，于是我們?nèi)?/p>

三、利用平移構(gòu)造基本不等式的使用條件

這是2013年全國(guó)卷中的一道填空題，判斷零點(diǎn)是這道題的第一步，通過(guò)觀察便可以知道，x=1或x=-1時(shí)

利用不等式解決極值問(wèn)題的好處是減少了相當(dāng)一部分計(jì)算量，如以上例題，若使用求導(dǎo)計(jì)算，計(jì)算量相當(dāng)大，但也有一定的局限性，且例3中，定義域就是一項(xiàng)很大的限制，以及是否能夠取等，取等條件又是什么把特殊情況排除后，剩下的構(gòu)造以及計(jì)算就簡(jiǎn)便很多了。例2中我們用到了一個(gè)有趣的結(jié)論：圖象左右平移后函數(shù)的極值不會(huì)改變。通過(guò)這一點(diǎn)來(lái)構(gòu)造不等式，同樣也需要關(guān)心取等條件以及定義域的問(wèn)題。而例1中的函數(shù)型，往往與我們所熟悉的對(duì)勾函數(shù)相通。

構(gòu)造不等式是利用不等式解決問(wèn)題的關(guān)鍵，也是減小計(jì)算量的方法。雖然有些技巧性很強(qiáng)，但是可以節(jié)約不少時(shí)間，使煩瑣復(fù)雜的題目變得有趣。