空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

山東省濟(jì)寧一中高三（4）班 車 暢

高中數(shù)學(xué)二期課改新教材引入了直線的方向向量及平面的法向量，這一引進(jìn)對(duì)解決空間問題提供了一個(gè)很方便、很實(shí)用的工具。向量學(xué)習(xí)的目的之一是“重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力”，將幾何題中的邏輯推理轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算，溝通代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，使問題解決顯得模式化、程序化，減少輔助線的添加，降低解題難度。

下面就如何求空間的角、空間的距離、證明平行與垂直這些問題進(jìn)行詳細(xì)的論述。

一、證明線面平行或垂直

證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明線面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量平行，從而得出結(jié)論，達(dá)到解決問題的目的。

例1 已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E、F、G分別是BC、CD和CC1的中心，求證：（1）AD1∥平面EFG。（2）A1C⊥平面EFG。

圖1

證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，則有：D（0，0，0），A（2，0，0），Al（2，0，2），Dl（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，2，0），F(xiàn)（0，1，0），G（0，2，1）。

令x=1，則

二、用空間向量求角

求平面向量的法向量：設(shè)平面α的法向量為n=（x，y，z），利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，從而列出兩個(gè)三元一次方程組，聯(lián)立后取其一解，即為平面α的一個(gè)法向量。

1.求異面直線所成角

設(shè)a，b分別為異面直線l1與l2的方向向量，則l1與l2所成角θ的余弦值為：

因?yàn)楫惷嬷本€所成角不大于90°，所以其余弦值取非負(fù)值。

2.求直線和平面所成角

圖2

如圖2，設(shè)平面α的法向量為n=（x，y，z），向量a是直線l的方向向量，則向量a與向量n所成角的余弦值為

又直線l與平面α所成角為向量a與法向量n所成角的余角，故其值為

3.求二面角

（1）如圖3，若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)面內(nèi)與l垂直的異面直線，則二面角α-l-β的平面角為所求角的余弦函數(shù)值為：

圖3

（2）如圖4，若n1，n2分別為二面角α-l-β的兩個(gè)半面的法向量，則角＜n1，n2＞或其補(bǔ)角為二面角的平面角，且

圖4

確定方法：

從二面角內(nèi)看，當(dāng)法向量n1，n2的方向在二面角內(nèi)，一個(gè)指向平面，另一個(gè)背離平面時(shí)，向量n1，n2的夾角即為二面角的平面角；當(dāng)兩個(gè)法向量或都指向平面或都背離平面時(shí)，二面角為向量n1，n2的夾角的補(bǔ)角。

三、用空間向量求距離

1.點(diǎn)到平面的距離

求點(diǎn)A到平面α的距離，可在平面內(nèi)任取一點(diǎn)B（如圖5）。設(shè)n為平面α的法向量，則向量在向量n方向上的投影的絕對(duì)值即為點(diǎn)A到平面α的距離：

圖5

2.直線到平面的距離

如圖6，已知直線l與平面α平行，在直線l上任取一點(diǎn)A，求此點(diǎn)到平面的距離可在平面內(nèi)任取一點(diǎn)B，設(shè)n為平面α的法向量，則向量在向量n方向上的投影的絕對(duì)值即為點(diǎn)A到平面α的距離：

圖6

3.兩平行平面間的距離

四、利用空間向量證明平行和垂直

對(duì)于空間的直線、平面間的平行與垂直的證明問題，需要建立空間直角坐標(biāo)系，確定出直線的方向向量、平面的法向量，利用向量間的關(guān)系來判斷空間的直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直問題。

1.直線與直線的平行和垂直

設(shè)直線a，b的方向向量分別為a，b，則證明兩直線平行的充要條件是它們的方向向量共線，即：

兩條直線垂直的充要條件是它們的方向向量互相垂直，即

2.直線和平面的平行和垂直

設(shè)直線l的方向向量為l，平面α的法向量為n，則直線與平面平行的充要條件是直線的方向向量和平面的法向量垂直，即：

直線與平面垂直的充要條件是直線l的方向向量l和平面的法向量共線，即：

3.平面與平面的平行與垂直

設(shè)平面α與平面β的法向量分別為a和b，則平面α與平面β平行的充要條件是兩個(gè)平面的法向量共線，即：平面α與平面β垂直的充要條件是兩個(gè)平面的法向量垂直，即

如圖7，已知空間四邊形ABCD中，AB=AD=CD=BD=2，且點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影恰好落在BC上。（1）求二面角A-BD-C的度數(shù)；（2）求異面直線AB與CD所成的角。

解：（1）設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影為E，BD的中點(diǎn)為F。

所以EF為線段BD的中垂線。

又因?yàn)樵凇鰾DC中，

圖7

所以∠BDC=90°，即DC⊥BD。

又因?yàn)辄c(diǎn)E在BC上，所以E為BC的中點(diǎn)。

以D為原點(diǎn)，DB，DC所在的直線分別為x、y軸，過D且垂直于平面BDC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖8），則：D（0，0，0）、B（2，0，0），C（0，2，0）。

圖8

設(shè)BC的中點(diǎn)為E，BD的中點(diǎn)為F，連接AE、EF。

因?yàn)樵赗t△ABE中，故所以點(diǎn)所以

設(shè)平面ABD的法向量為n=（x，y，z），

又平面BCD的法向量為m=（0，0，1），

所以二面角A-BD-C的度數(shù)為60°。

所以異面直線AB與CD所成的角為

從上例可以看出，引入空間向量后，避開了復(fù)雜的邏輯推理過程，通過建立空間直角坐標(biāo)系使幾何問題代數(shù)化，大大降低了空間思維量，降低了問題的難度。