“好玩”的素數(shù)和雙對定律

哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

“好玩”的素數(shù)和雙對定律

哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

素數(shù)問題一直是數(shù)論所研究的熱點(diǎn)之一。以任何相鄰的兩個自然數(shù)為源頭活水，從而揭示所存在的素數(shù)概率，并且具有可玩的趣味性，對提高情商有一定的作用。本文推出了三個雙對定律和一個素數(shù)定律。

素數(shù)；概率；修正值；情商

一、關(guān)于素數(shù)概率

素數(shù)（質(zhì)數(shù)）的定義是小學(xué)數(shù)學(xué)課本所講的知識。然而，素數(shù)問題一直是數(shù)論這一數(shù)學(xué)分支所研究的熱點(diǎn)之一。

數(shù)學(xué)大師陳省身說“數(shù)學(xué)好玩”。數(shù)學(xué)是宇宙的語言，當(dāng)然也是其包括社會情況在內(nèi)的解讀。比如，當(dāng)前二胎政策放開之后，一對夫妻生育子女一般會出現(xiàn)以下三種情況：（1）生兩個孩子。（2）只生一個孩子。（3）不生孩子。這樣的社會情況，在數(shù)學(xué)當(dāng)中也類似地存在著。

中國古典學(xué)說認(rèn)為：奇數(shù)屬陽，偶數(shù)屬陰。對于任何相鄰的兩個自然數(shù)來說，必定一個是屬陽的奇數(shù)，另一個是屬陰的偶數(shù)，從而奇數(shù)偶數(shù)互相配合便構(gòu)成了無窮無盡的自然數(shù)。

【素數(shù)概率】任何相鄰的兩個自然數(shù)相乘之積加上（或者減去）該兩個自然數(shù)相加之和，這樣所得的兩個結(jié)果數(shù)其素數(shù)概率存在三種情況：（1）有兩個素數(shù)；（2）有一個素數(shù)；（3）沒有素數(shù)，但通過修正值解決。

例1 3×4+（3+4）=12+7=19，3×4－（3+4）=12－7=5；4×5+（4+5）=20+9=29，4×5－（4+5）=20－9=11。如此這般，“3×4”的兩個結(jié)果數(shù)有兩個素數(shù)：19和5；“4×5”的兩個結(jié)果數(shù)也有兩個素數(shù)：29和11。

例 2 8×9+（8+9）=72+17=89，8×9－（8+9）=55；18×19+（18+19）=342+37=379，18×19 －（18+19）=342－37=305。如此這般，“8×9”的兩個結(jié)果數(shù)有一個素數(shù)：89；“18×19”的兩個結(jié)果數(shù)也有一個素數(shù)：379。

例 3 13×14+（13+14）=182+27=209，13×14－（13+14）=182 － 27=155；68×69+（68+69）=4692+137=4829，68×69－（68+69）=4692－137=4555。如此這般，“13×14”和“68×69”的兩個結(jié)果數(shù)均沒有素數(shù)。

如例3所示，盡管“兩個結(jié)果數(shù)均沒有素數(shù)”，然而可以通過“修正值”來解決。前面說過夫妻二人第三種情況“沒有孩子”，然而這種情況只是當(dāng)時那樣，說不定兩個月之后就會有孩子出生了呀！應(yīng)當(dāng)用發(fā)展的眼光看待事物。如此這般，解決例3沒有素數(shù)的問題，就是對結(jié)果數(shù)進(jìn)行加上或減去修正值2：209+2=211，155+2=157，4829+2=4831，從而解決了沒有素數(shù)的問題。修正值是數(shù)學(xué)計算的一種處理措施，同時顯示數(shù)學(xué)奧妙。

如例題所示，可一人獨(dú)自玩，也可多人通過事前競猜所約定的兩個相鄰自然數(shù)經(jīng)過運(yùn)算所能產(chǎn)生的三種情況，誰猜對了誰為贏者。如此這般，可事先準(zhǔn)備好一份現(xiàn)成的《素數(shù)表》作為依據(jù)，或者運(yùn)用計算機(jī)之類的計算器具檢驗(yàn)所得的結(jié)果數(shù)是不是素數(shù)。

如上所述，兩個相鄰自然數(shù)所產(chǎn)生的三種情況具有多樣性，不是非此即彼的兩面性，從而增加了玩的趣味性和挑戰(zhàn)性。所謂素質(zhì)教育，就是不僅要提高學(xué)生的智商，還要提高學(xué)生的情商啊！有益的數(shù)學(xué)游戲就是提高情商的好方法??！

二、關(guān)于雙對定律

有一首歌唱道：樹上的鳥兒成雙對。既然數(shù)學(xué)是宇宙的語言，數(shù)學(xué)理應(yīng)對此類自然現(xiàn)象予以解讀??！

【雙對定律】任何公差為2的三項(xiàng)等差數(shù)列（當(dāng)然包括連續(xù)的三個奇數(shù)或偶數(shù)在內(nèi)）a1、a2、a3，則a1×a2+（a1+a2）=b，a2×a3－（a2+a3）=b，從而兩個b成雙對。

例1 公差為2的三項(xiàng)等差數(shù)列－2.5、－0.5、1.5，則：（－2.5）×（－0.5）+ ［（－2.5）+（－0.5）］=－1.75，（－0.5）×1.5－［（－0.5）+1.5］=－1.75，從而兩個－1.75成雙對。

例2 公差為2的三項(xiàng)等差數(shù)列，即連續(xù)的三個偶數(shù)8、10、12，則8×10+（8+10）=98，10×12－（10+12）=98，從而兩個98成雙對。

例3 公差為2的三項(xiàng)等差數(shù)列，即連續(xù)的三個奇數(shù)9、11、13，則9×11+（9+11）=119，11×13－（11+13）=119，從而兩個119成雙對。

【雙對定律2】任何三項(xiàng)的等比數(shù)列a1、a2、a3，則a1×（a2+a3）=b，a2×（a1+a2）=b，從而兩個b成雙對。

例1 三項(xiàng)的等比數(shù)列0.5、2、8（公比為4），則0.5×（2+8）=5，2×（0.5+2）=5，從而兩個5成雙對。

例2 3、15、75這樣三項(xiàng)的等比數(shù)列（公比為5），則3×（15+75）=270，15×（3+15）=270，從而兩個270成雙對。

【雙對定律3】任何四項(xiàng)的連續(xù)自然數(shù)a1、a2、a3、a4，則a1×a2+（a1+a2）＝b，a3×a4－（a3+a4）＝b，從而兩個b成雙對。

例 1 8、9、10、11，則 8×9+（8+9）=72+17=89，10×11 －（10+11）=110－21=89，從而兩個89成雙對。

例 2 28、29、30、31，則 28×29+（28+29）=869，30×31 －（30+31）=869，從而兩個869成雙對。

如上所述，數(shù)學(xué)本來就不缺少好玩，而是缺少發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)好玩的心靈。敢問好玩何在？就在數(shù)學(xué)！

三、下面再介紹“好玩”的素數(shù)定律

【素數(shù)連加之和定律】在無窮的素數(shù)系統(tǒng)之中，任何從小到大連續(xù)二十項(xiàng)的素數(shù) a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8、a9、a10、a11、a12、a13、a14、a15、a16、a17、a18、a19、a20， 重 新 排 列 成 為 a1、a12、a3、a14、a5、a16、a7、a18、a9、a20、a11、a2、a13、a4、a15、a6、a17、a8、a19、a10，如此這般，前十項(xiàng)各項(xiàng)相加之和與后十項(xiàng)各項(xiàng)相加之和這樣的兩個和數(shù)相差無幾，也就是差不多相等，較小和數(shù)大于較大和數(shù)的百分之九十七。

例1 從小到大連續(xù)二十項(xiàng)的素數(shù)2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71，重 新 排 列 成 為 2、37、5、43、11、53、17、61、23、71、31、3、41、7、47、13、59、19、67、29，前十項(xiàng)各項(xiàng)相加之和：2+37+5+43+11+53+17+61+23+71=323，后十項(xiàng)各項(xiàng)相加之和：31+3+41+7+47+13+59+19+67+29=316，從而323和316相差無幾，差不多相等，316大于323的百分之九十七。

例2 從小到大連續(xù)二十項(xiàng)的素數(shù)5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79，重新排列 成 為 5、43、11、53、17、61、23、71、31、79、41、7、47、13、59、19、67、29、73、37，前十項(xiàng)各項(xiàng)相加之和：5+43+11+53+17+61+23+71+31+79=394，后十項(xiàng)各項(xiàng)相加之和：41+7+47+13+59+19+67+29+73+37=392，394和392相差無幾，差不多相等，只相差2。

如例題所示，素數(shù)連加之和定律揭示了素數(shù)的一般規(guī)律。在無窮的素數(shù)系統(tǒng)之中進(jìn)行別開生面的排列組合，使得貌似雜亂無章的所有素數(shù)也有規(guī)律可循了，并且有趣好玩，從而彰顯組合數(shù)學(xué)的生命力。隨著時代的進(jìn)步，組合數(shù)學(xué)這一數(shù)學(xué)分支越來越顯示出獨(dú)到的作用。